有限水深海流感應(yīng)電磁場數(shù)值模擬?

朱心宇， 李予國,2??

(1.中國海洋大學海洋地球科學學院，山東 青島 266100；2.青島海洋科學與技術(shù)試點國家實驗室 海洋礦產(chǎn)資源評價與探測技術(shù)功能實驗室，山東 青島 266237)

海水是良導體，處于不停地運動之中。根據(jù)法拉第定律和安培定律，運動的海水因切割地磁場而產(chǎn)生感應(yīng)電流，從而產(chǎn)生感應(yīng)電磁場。人們在研究海流感應(yīng)電磁場時，通常只考慮地磁場垂直分量的作用。在兩極及其附近區(qū)域，磁力線與地表近乎垂直，只考慮地磁場垂直分量的作用是合適的。在低緯度地區(qū)，地磁場水平分量會對海流感應(yīng)電磁場產(chǎn)生一定的影響。因而研究地磁場三分量作用下的海流感應(yīng)電磁場很有意義。在計算海流感應(yīng)電磁場時，通常假定海水的電導率是均勻不變的，而實際上海水電導率隨海水溫度和鹽度的變化而變化，故而研究變化的海水電導率產(chǎn)生的海流感應(yīng)電磁場很有必要。

海流感應(yīng)電磁場的研究始于20世紀50年代，Longuet-Higgins等分析了表面波和穩(wěn)定海流引起的電場及電流[1]。Sanford計算了帶地形的一維大尺度低頻海流感應(yīng)磁場[2]。Chave用格林函數(shù)法計算海水運動感應(yīng)電磁場，分析了表面重力波和開爾文波感應(yīng)電磁場的特征[3]。Larsen等推導了海流中任意兩點間電勢差表達式，分析了大尺度海流感應(yīng)電場的分布[4]。陳標等計算了地磁場垂直分量作用下寬海流產(chǎn)生的感應(yīng)磁場，研究表明當海流寬度較大時，海流感應(yīng)磁場不應(yīng)被忽略[5]。林春生等根據(jù)電磁感應(yīng)原理分別討論了地磁場水平分量和垂直分量作用下的海流感應(yīng)電場[6]。李洪平結(jié)合世界地磁場模型WMM2005，計算了地磁場垂直分量作用下海流產(chǎn)生的感應(yīng)磁場[7]。張自力模擬了地磁場垂直分量作用下海流感應(yīng)電磁場[8]。Bhatt采用格林函數(shù)法計算了地磁場垂直分量作用下一維和二維勻速海水運動感應(yīng)電磁場[9]。

本文利用麥克斯韋方程推導出地磁場三分量作用下一維海流感應(yīng)磁場表達式，構(gòu)建了海流-地電模型，模擬地磁場三分量作用下的海流感應(yīng)電磁場，分析了地磁場水平分量對海流感應(yīng)電磁場的影響，并分析了不同海流速度以及變化的海水電導率產(chǎn)生的海流感應(yīng)電磁場特征。

1 方法原理

1.1 海水運動感應(yīng)電磁場控制方程

在忽略位移電流的情況下，海水運動產(chǎn)生的感應(yīng)電磁場滿足如下麥克斯韋方程：

▽×H=σE+σμ[v×(F+H)]，

(1)

(2)

式中：F為地磁場；H為感應(yīng)磁場；v為海水運動速度；σ為介質(zhì)電導率；μ=4π×10-7Vs/Am，為真空磁導率。由于海水運動產(chǎn)生的磁場|H|遠小于地磁場|F|，故可用F代替式(1)中的F+H。

假設(shè)海水運動速度v是諧變的(e-iωt)，ω=2π/T為角頻率，T為海水運動周期，則方程(1)和(2)式可寫成：

▽×H=σ[E+μ(v×F)]，

(3)

▽×E=iωμH。

(4)

由式(3)和式(4)，可以得到海水運動感應(yīng)磁場所滿足的偏微分方程：

▽2H-k2H=-μσ▽×(v×F)。

(5)

式中：k2=-iωμσ,(Re(k)>0)，k稱為波數(shù)。

1.2 海流感應(yīng)電磁場表達式

考慮如圖1所示的海流-地電模型，它由海流、海水和海底基巖構(gòu)成。建立直角坐標系(x,y,z)，坐標原點位于海流頂界面中心，z軸正向垂直向下。假設(shè)海流寬度為b，海流底界面深度為h1，海水深度為h2，海流、海水和海底基巖的電導率分別為σ1、σ2和σ3。

圖1 海流-地電模型Fig.1 Ocean current model

滿足的亥姆霍茲方程：

(6)

采用分離變量法求解方程(6)，可得到磁場水平分量Hy的表達式：

(7)

式中

(8)

結(jié)合(3)式，可得到電場分量Ex的表達式。

方程(7)中的A和B為待求系數(shù)。為了得到A和B，必需利用如下邊界條件：(1)在水平分界面上，海流感應(yīng)電場和磁場的切向分量連續(xù)；(2)在空氣-海水界面上，電流密度的垂直分量為零；(3)在海底下半空間中，當z→∞時，感應(yīng)磁場衰減至零。

2 海流感應(yīng)電磁場

假定圖1所示模型中，海水深度為3 100 m，海流厚度為500 m，海流寬度為10 km，海流速度v0為0.1 m/s，運動周期為10 s。海流、海水和海底基巖的電導率分別為3.3、3.3和1.0 S/m。

利用上一節(jié)所述計算方法及公式，計算北極附近某點(90°00′00″N，110°00′00″E)的海流感應(yīng)電磁場。基于國際地磁場模型WMM2015，計算得到該點地磁場水平分量為-543.2 nT,垂直分量為56 718.4 nT。利用本文方法可以得到該點地磁場三分量作用下的海流感應(yīng)電磁場振幅隨深度變化曲線，如圖2所示。

((a)電場Ex Electric fields; (b)磁場By Magnetic field.)

為了驗證前述方法和程序的正確性，圖2中也繪出了地磁場垂直分量作用下的海流感應(yīng)電磁場曲線[10]。圖中紅色曲線為地磁場垂直分量作用下的海流感應(yīng)電場和感應(yīng)磁場振幅隨深度變化曲線，藍色曲線為地磁場三分量作用下的海流感應(yīng)電場和感應(yīng)磁場振幅隨深度變化曲線。由圖2可知：

(1)當緯度為90°N時，地磁場垂直分量作用下的海流感應(yīng)電磁場曲線與地磁場三分量作用下的海流感應(yīng)電磁場曲線重合。

(2)電場水平分量Ex在海表面處有最大值2.964 5 μV/m，但隨著深度的增加而減小，在海底界面處達到最小值0.129 0 μV/m；磁場水平分量By在海表面處取最小值0.011 nT，且隨著深度的增加而增大；在海流底界面處達到最大值5.736 1 nT，然后By開始減小。

假定計算點的經(jīng)緯度為(20°00′00″N，110°00′00″E)。利用國際地磁場模型WMM2015計算得知，該點地磁場值水平分量為27 489.6 nT,垂直分量為28 335.5 nT。圖3繪出地磁場三分量作用下海流感應(yīng)電磁場振幅隨深度變化曲線。為了比較起見，圖3中也繪出了地磁場垂直分量作用下的海流感應(yīng)電磁場曲線。由圖3可知，兩種情形下感應(yīng)電磁場隨深度變化曲線的形態(tài)類似，但幅值相差較大。地磁場三分量作用下的海流感應(yīng)電場和磁場的最大值分別為2.271 5 μV/m和4.405 5 nT，但地磁場垂直分量作用下的海流感應(yīng)電場和磁場的最大值分別1.488 7 μV/m和2.880 1 nT，電場和磁場最大值降低了大約35%?？梢?，研究低緯度地區(qū)海流感應(yīng)電磁場時，地磁場水平分量的影響不應(yīng)被忽略。

((a)電場Ex Electric fields；(b)磁場By Magnetic field.)圖3 低緯度測點地磁場三分量作用下的海流感應(yīng)電磁場與地磁場垂直分量作用下的海流感應(yīng)電磁場對比Fig.3EM fields induced by ocean current with considering three components of the Earth’s magnetic fieldin low latitudes, compared to those obtained with only considering vertical component

地磁場水平分量隨緯度增大而逐漸減小，其對海流感應(yīng)電磁場的影響也隨之減少。沿110°E經(jīng)度線，從赤道到北極，緯度每增加10°選取一個計算點，分別計算每個點處地磁場垂直分量作用下和地磁場三分量作用下的海流感應(yīng)電磁場。首先利用國際地磁場模型WMM2015計算得到各觀測點的地磁場值，然后分別計算地磁場三分量和地磁場垂直分量作用下各個深度處的海流感應(yīng)磁場，選取各觀測點兩種情形下感應(yīng)磁場最大值，并計算其相對差。圖4為沿經(jīng)度線上地磁場三分量和地磁場垂直分量作用下的海流感應(yīng)磁場最大值相對差與地磁場三分量作用下海流感應(yīng)電磁場最大值之比。

由圖4可知，在赤道處，地磁場水平分量對海流感應(yīng)磁場的影響很大。隨著緯度的增加，地磁場水平分量對海流感應(yīng)磁場的影響逐漸減小。當緯度增大到80°N(或80°S)時，地磁場水平分量對海流感應(yīng)磁場的影響降到1.4%?？梢?，在80°N～90°N(或80°S～90°S)區(qū)域內(nèi)，地磁場水平分量對海流感應(yīng)磁場影響可以忽略，模擬海流感應(yīng)電磁場時可以只考慮地磁場垂直分量。而在0°N～80°N(或0°S～80°S)區(qū)域內(nèi)，地磁場水平分量對海流感應(yīng)電磁場的影響較大，模擬海流感應(yīng)電磁場時應(yīng)將地磁場水平分量的影響考慮在內(nèi)。

圖4 地磁場水平分量對海流感應(yīng)磁場的影響Fig.4 Impact of the horizontal component of the Earth’s magnetic field on the induced field

3 海流感應(yīng)電磁場模擬及特征分析

3.1 海流速度對海流感應(yīng)電磁場的影響

海流感應(yīng)電磁場的幅值主要取決于海流速度及海流厚度[8]。下面，我們討論海流速度對海流感應(yīng)電磁場的影響。

圖5繪出三個不同海流速度(v0=1、0.75、0.5 m/s)情形下海流感應(yīng)電磁場隨深度變化曲線。由圖5可知：

(1)海流感應(yīng)電場強度與海流速度正相關(guān)。海流速度越大，感應(yīng)電場值越大，衰減的也越快。海流速度為1、0.75和0.5 m/s時，相應(yīng)的感應(yīng)電場最大值分別為22.715 4，17.036 6和11.357 7 μV/m，即海流速度每增大0.25 m/s，感應(yīng)電場最大值增大約 5.68 μV/m。

(2)海流感應(yīng)磁場強度亦與海流速度正相關(guān)。海流速度越大，其產(chǎn)生的感應(yīng)磁場越大。在海流層內(nèi)，海流速度越大，感應(yīng)磁場增長越快。在海流底界面處，感應(yīng)磁場達到極大值。海流速度為1、0.75和0.5 m/s時，相應(yīng)的感應(yīng)磁場最大值分別為44.054 9 ，33.041 2，22.027 5 nT，即海流速度每增大0.25 m/s，感應(yīng)磁場最大值增大約11.013 7 nT?？梢姾Ａ魉俣葘ζ涓袘?yīng)磁場具有明顯的影響。

((a)電場Ex Electric fields；(b)磁場By Magnetic field.)

3.2 變化的海水電導率對海流感應(yīng)電磁場的影響

在模擬海流感應(yīng)電磁場時，通常假設(shè)海水的電導率是均勻不變的，而實際上海水的電導率與海水的鹽度、溫度等因素有關(guān)。隨著深度的增加，海水的鹽度和溫度降低，海水電導率也隨之減小。

考慮如圖6所示海流-地電模型。假設(shè)海水深度為400 m, 海流厚度為300 m，海流速度為0.1 m/s。假設(shè)海流層可以分為三層：0～100 m，電導率為σ1=5.0 S/m；100～200 m，電導率為σ2=4.2 S/m；200～300 m，電導率為σ3=3.3 S/m。300～400 m為海水層，海水的電導率為σ4=3.3 S/m。海底基巖電導率為σ5=1.0 S/m。

圖7繪出圖6所示海流-地電模型的海流感應(yīng)電場和感應(yīng)磁場隨深度變化曲線。圖中綠色曲線為變化的海水電導率情況下海流感應(yīng)電磁場振幅隨深度變化曲線。為了比較起見，圖7中也繪出了海流層電導率均勻不變時，海流感應(yīng)電場和磁場隨深度變化曲線，圖中藍色、紅色和青色曲線表示海流層電導率分別為5.0,4.2和3.3 S/m時的計算結(jié)果。由圖7可知：

圖6 海水電導率分層變化的海流-地電模型 Fig.6 Ocean current model with variable seawater conductivity

(1)當海流層電導率均勻不變時，海流感應(yīng)電場與海流電導率正相關(guān)。海流電導率越大，電場振幅越大。電導率增大約1 S/m，感應(yīng)電場振幅最大值增大約0.005 μV/m。當海流層電導率分層變化時,感應(yīng)電場振幅最大值增大約0.05 μV/m，可見變化的海水電導率對海流感應(yīng)電場值具有較明顯的影響。

((a)電場Ex Electric fields；(b)磁場By Magnetic field)

(2)在海表面處，不同海水電導率情況下海流感應(yīng)磁場By幅值相近，約為 2.2 nT。隨著深度的增加，By快速增大，在海流底界面處，感應(yīng)磁場達到極大值。在海流層內(nèi)，海流電導率越大，感應(yīng)磁場增長越快，同一深度的感應(yīng)磁場越大。海流電導率每增大1 S/m，感應(yīng)磁場最大值增大約0.2 nT，即感應(yīng)磁場振幅值增大約5%。可見海流電導率對其感應(yīng)磁場具有明顯的影響。當海流層電導率分層變化時, 感應(yīng)磁場非線性增長，且增長速率與海流電導率有關(guān)。

4 結(jié)語

本文推導了地磁場三分量作用下的一維海流感應(yīng)磁場表達式，建立海流-地電模型，模擬和分析了地磁場水平分量對海流感應(yīng)電磁場的影響。算例表明，地磁場水平分量對海流感應(yīng)電磁場的影響隨著緯度的降低而增大，在模擬較低緯度處海流感應(yīng)電磁場時，應(yīng)將地磁場水平分量的影響考慮在內(nèi)。海流速度與海流感應(yīng)電磁場正相關(guān)，海流速度越大，其感應(yīng)電磁場越大，且衰減越快。變化的海水電導率對海流感應(yīng)電場具有較明顯的影響。