基于壓縮感知的探地雷達(dá)成像算法研究

張永寧 薛永剛 陳 皓 李 江 付曉慶

(西安應(yīng)用光學(xué)研究所 西安 710065)

0 引言

探地雷達(dá)是一種有效的淺層隱藏目標(biāo)(巖石、泥土、礫石等材料)探測(cè)技術(shù)。利用電磁波在地下介質(zhì)中傳播時(shí)遇到存在電性差異的分界面時(shí)發(fā)生反射，根據(jù)接收到的電磁波振幅強(qiáng)度、波形和時(shí)間的變化等特征參數(shù)推斷地下介質(zhì)的空間位置、形態(tài)、埋藏深度和結(jié)構(gòu)等信息。通常合成孔徑成像要求采集大量的時(shí)空數(shù)據(jù)，通過探地雷達(dá)掃描感興趣的區(qū)域并且記下空間域反射回來的時(shí)間信號(hào)。常用的探地雷達(dá)成像算法如時(shí)域標(biāo)準(zhǔn)反投影算法[2]和距離偏移算法[3]，都是利用標(biāo)量波動(dòng)方程建立目標(biāo)函數(shù)關(guān)系式，從而對(duì)目標(biāo)散射數(shù)據(jù)進(jìn)行成像。通常地下潛在目標(biāo)僅占雷達(dá)探測(cè)區(qū)域很小部分，以上算法為了得到更好的成像效果，按照奈奎斯特采樣率對(duì)地下目標(biāo)反射信號(hào)進(jìn)行采樣，在沒有考慮目標(biāo)區(qū)域所占探測(cè)區(qū)域很小一部分的先驗(yàn)知識(shí)，其要求探地雷達(dá)對(duì)目標(biāo)回波信號(hào)進(jìn)行采樣時(shí)，在滿足奈奎斯特采樣定理的條件下，盡量設(shè)置高的采樣率，以獲取足夠多的原始成像數(shù)據(jù)，這些算法導(dǎo)致探地雷達(dá)采樣數(shù)據(jù)量大、硬件設(shè)計(jì)復(fù)雜、測(cè)量時(shí)間較長(zhǎng)。

壓縮感知理論是建立在逼近原理和稀疏信號(hào)表示方法基礎(chǔ)上的新研究領(lǐng)域，它充分地利用了雷達(dá)目標(biāo)回波信號(hào)結(jié)構(gòu)所具有的稀疏特性，利用欠奈奎斯特率采樣數(shù)據(jù)的非相關(guān)測(cè)量實(shí)現(xiàn)高維稀疏信號(hào)的感知。壓縮感知算法摒棄了原始信號(hào)采樣中的冗余信號(hào)，并通過連續(xù)的時(shí)間信號(hào)變換處理，得到原始信號(hào)的壓縮樣本，最后在雷達(dá)數(shù)字信號(hào)處理中采用優(yōu)化處理算法來處理壓縮后的原始信號(hào)樣本。目前壓縮感知理論在通信、圖像處理、光學(xué)、微波成像等眾多領(lǐng)域引起高度關(guān)注。本文利用探地雷達(dá)探測(cè)目標(biāo)區(qū)域具有稀疏性的先驗(yàn)知識(shí)，以壓縮感知為理論基礎(chǔ)，通過對(duì)合成孔徑雷達(dá)回波信號(hào)的稀疏性進(jìn)行分析，提出了合成孔徑探地雷壓縮感知成像算法。該算法不但能提高探地雷達(dá)的成像性能，同時(shí)還可以縮短數(shù)據(jù)采集時(shí)間、降低探地雷達(dá)采集系統(tǒng)硬件成本，實(shí)現(xiàn)了以較少資源實(shí)現(xiàn)探地雷達(dá)的高分辨率探測(cè)成像。

1 壓縮感知的基本內(nèi)容

當(dāng)信號(hào)在某個(gè)變換域上可稀疏表示或者可進(jìn)行壓縮時(shí)，可用與變換矩陣非相干的測(cè)量矩陣將變換系數(shù)線性投影為低維觀測(cè)向量[4]，這種系數(shù)線性投影法具有重建信號(hào)所必需的所有重要信息，通過進(jìn)一步求解稀疏最優(yōu)化問題，可以從低維觀測(cè)向量精確地重建原始高維信號(hào)。

將給定的信號(hào)在己知函數(shù)集上進(jìn)行分解形成信號(hào)稀疏變換，通過在變換域上表達(dá)原始信號(hào)，用少量的基函數(shù)來準(zhǔn)確地重構(gòu)出原始信號(hào)。

RN中的離散信號(hào)x[n],n=1,2,…,N表示為

(1)

壓縮感知理論直接對(duì)稀疏信號(hào)進(jìn)行采樣，x為任意N維K階的稀疏信號(hào)，s通過x在空間RN的M=c(μ2(Φ,ψ)logN)K(M<

y=Φx=ΦΨs

(2)

式(2)中y表示M維隨機(jī)測(cè)量值，Φ為M×N維隨機(jī)測(cè)量矩陣，常量C一般很小，μ(Φ,ψ)是Φ與ψ之間的相關(guān)值。當(dāng)Φψ滿足有限等距特性[5]時(shí)，通過求解l1范數(shù)約束最優(yōu)化問題

(3)

可從欠定方程式(2)的M個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)中用稀疏表示s還原原始信號(hào)x。

2 壓縮感知合成孔徑探地雷達(dá)成像原理

探地雷達(dá)使用雷達(dá)電磁脈沖對(duì)地下成像，當(dāng)發(fā)射電磁波從不同的電介質(zhì)邊界做出反射時(shí)，接收天線記錄反射回來的信號(hào)。本文使用常規(guī)的點(diǎn)目標(biāo)模型，利用該模型得出延遲時(shí)間的反射回的接收信號(hào)

(4)

s(t)是發(fā)射信號(hào)，τi(p)是天線在第i個(gè)孔徑點(diǎn)時(shí)收發(fā)天線和目標(biāo)p之間總的往返時(shí)間延遲，σp是目標(biāo)的反射系數(shù)，Ai,p是衰減和傳播損失的縮放比例因子。

通過探地雷達(dá)在空間中移動(dòng)來收集從不同的掃描區(qū)域反射回的時(shí)間數(shù)據(jù)，這些掃描點(diǎn)的集合，構(gòu)成了合成孔徑雷達(dá)的接收時(shí)空數(shù)據(jù)。系統(tǒng)使用收發(fā)天線分開固定裝置，收發(fā)天線間距為dtr，如圖1(a)所示。計(jì)算傳輸時(shí)間τi必須知道從發(fā)射天線到目標(biāo)，再到接收天線波的傳輸路徑，以及不同介質(zhì)中的波速。

圖1 探地雷達(dá)數(shù)據(jù)組圖

兩種不同的媒介如空氣和土壤有不同的電介質(zhì)特性，根據(jù)斯涅爾折射定律改變波的傳播方向，波的折射對(duì)于擬域成像特別關(guān)鍵，因此精確計(jì)算折射點(diǎn)的方法至關(guān)重要[6]。確定折射點(diǎn)后，圖1(a)中的d1:4,i四個(gè)部分的距離路徑可計(jì)算得到，時(shí)間τi的計(jì)算為

(5)

隨著收發(fā)天線的移動(dòng)收集掃描區(qū)域的數(shù)據(jù)，一個(gè)單目標(biāo)在x=0，深度在10cm位置處時(shí)，探地雷達(dá)天線沿單道方向從-70cm到70cm進(jìn)行掃描，得到一個(gè)單點(diǎn)目標(biāo)時(shí)空域空間變換曲線響應(yīng)圖如圖(b)，當(dāng)采集這個(gè)感興趣的區(qū)域的數(shù)據(jù)時(shí)，這個(gè)過程叫合成孔徑成像。

忽略目標(biāo)之間的相互影響，探地雷達(dá)在掃描點(diǎn)(ux,uy)的時(shí)空數(shù)據(jù)的測(cè)量值計(jì)算為

(6)

τ(ux,uy,x,y,z)是從發(fā)射天線到目標(biāo)空間點(diǎn)(x,y,z)再到接收天線的總的傳輸時(shí)間，σ(x,y,z)是在目標(biāo)空間點(diǎn)(x,y,z)的反射系數(shù)，AL(ux,uy,x,y,z)代表傳播損失。使用測(cè)量值d(ux,uy,t)的目的是為了產(chǎn)生反射剖面，即目標(biāo)空間的成像。

標(biāo)準(zhǔn)成像算法對(duì)每一個(gè)時(shí)空域如圖1(b)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行匹配濾波，時(shí)域標(biāo)準(zhǔn)反投影算法[6]表達(dá)式為

f(x,y,z)=?w(ux,uy)d(ux,uy,t)×
δ(t-τ(ux,uy;x,y,z))dtduxduy

(7)

w(ux,uy)是在掃描區(qū)域的加權(quán)函數(shù)，通常用于減小圖像的旁瓣，δ()是脈沖響應(yīng)。

2.1 創(chuàng)建探地雷達(dá)數(shù)據(jù)字典

在探地雷達(dá)工程應(yīng)用中，當(dāng)雷達(dá)對(duì)地下目標(biāo)進(jìn)行探測(cè)時(shí)，目標(biāo)探測(cè)區(qū)域通?？烧J(rèn)為是由多個(gè)離散的散射中心組成，目標(biāo)散射中心只占據(jù)雷達(dá)探測(cè)區(qū)域的很小一部分空間單元。把雷達(dá)探測(cè)成像區(qū)域均勻的離散分成N個(gè)點(diǎn)散射目標(biāo)，通過離散的空域目標(biāo)空間πT創(chuàng)建每一個(gè)離散空域探地雷達(dá)模型。該模型產(chǎn)生一個(gè)有限系列的點(diǎn)目標(biāo)β={π1,π2,…,πN} ，每一個(gè)πj是三維向量[xj,yj,zj]，對(duì)于i孔徑點(diǎn)，ψi的j列是相對(duì)于目標(biāo)在πj的接收信號(hào)，第j列的n個(gè)元素可以表示成公式(8)所示。

(8)

其中：tn=t0+n/Fs0≤n≤Nt-1，分母是時(shí)間信號(hào)能量，F(xiàn)s是采樣頻率，t0是初始時(shí)間，Nt是暫存采樣數(shù)目，對(duì)β中每一個(gè)可能的目標(biāo)點(diǎn)重復(fù)計(jì)算式(8)，在i孔徑點(diǎn)產(chǎn)生字典ψi的大小為Nt×N，接收信號(hào)表示為

ζi=ψib

(9)

其中向量b表示加權(quán)系數(shù)，其滿足稀疏性，表示為探測(cè)目標(biāo)像矩陣中的各個(gè)元素。如果探測(cè)目標(biāo)處在πj網(wǎng)格處時(shí)，向量b的第j個(gè)元素即為πj對(duì)應(yīng)的反射系數(shù)，否則其元素值為0。

2.2 壓縮感知數(shù)據(jù)獲取

標(biāo)準(zhǔn)探地雷達(dá)接收器通常需要很高的采樣率，當(dāng)目標(biāo)空間是稀疏時(shí)，該文提出的基于壓縮感知的數(shù)據(jù)采集模型用一定量的雷達(dá)測(cè)量信號(hào)來重構(gòu)雷達(dá)稀疏信號(hào)。一般情況下，信號(hào)x的測(cè)量值寫成y=Mx，M是測(cè)量矩陣。在第i個(gè)孔徑處

βi=φiζi=φiψib

(10)

βi是測(cè)量向量，Фi是M×Nt的測(cè)量矩陣(M?Nt)。壓縮感知理論要求矩陣ΦΨ滿足約束等距特性，保證Фi的行不能由ψi的列稀疏表示，反之亦然。隨機(jī)測(cè)量矩陣Фi服從獨(dú)立同分布或者伯努利分布。

2.3 壓縮感知探地雷達(dá)成像

(11)

(12)

其中：ui=φini～N(0,σ2)，ni為系統(tǒng)噪聲向量。b的重建問題可通過以下方法得到

(13)

或者

min‖b‖1s.t. ‖β-Ab‖2〈ε2

(14)

其中A=Фψ，ε1,2是正規(guī)化參數(shù)。通過求解式(13)、式(14)代表的約束問題，可以較高概率地從含有噪聲隨機(jī)測(cè)量信號(hào)中重構(gòu)出加權(quán)系數(shù)向量b。

3 實(shí)驗(yàn)仿真及分析

選面積為900cm2的地下二維模擬區(qū)域進(jìn)行探測(cè)試驗(yàn)，用π來標(biāo)記目標(biāo)空間。將地下二維目標(biāo)空間劃分成30×30=900個(gè)等面積的網(wǎng)格，記作∏=[∏1,…,∏j,…,∏900]T，目標(biāo)空間π的加權(quán)系數(shù)向量則用b=[b1,…,bj,…,b900]T表示。在地下模擬目標(biāo)空間內(nèi)隨機(jī)的放置4個(gè)模擬點(diǎn)目標(biāo)，目標(biāo)分布情況如圖2(a)所示。

反投影成像算法成像結(jié)果如圖2(f)所示，該算法首先計(jì)算出孔徑i處的探測(cè)信號(hào)從發(fā)射天線經(jīng)目標(biāo)空間第πj個(gè)目標(biāo)反射進(jìn)入接收機(jī)后的延時(shí)量τi(πj)，并將所有孔徑中具有相同延時(shí)量的回波信號(hào)進(jìn)行相加，利用全部目標(biāo)空間512×900個(gè)目標(biāo)回波數(shù)據(jù)恢復(fù)出目標(biāo)函數(shù)b。

圖2 仿真探測(cè)試驗(yàn)組圖

4 結(jié)束語(yǔ)

通過數(shù)據(jù)仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于壓縮感知的探地雷達(dá)成像算法與傳統(tǒng)探地雷達(dá)成像算法相比，具有分辨率高，采集數(shù)據(jù)少，硬件實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單以及更易于目標(biāo)辨識(shí)等優(yōu)點(diǎn)。在實(shí)際探地雷達(dá)實(shí)時(shí)成像應(yīng)用中，需要進(jìn)一步研究效率更高的凸優(yōu)化問題計(jì)算方法，并且選擇使用一個(gè)更廣義的測(cè)量矩陣，即一個(gè)完整的隨機(jī)矩陣代替現(xiàn)有對(duì)角陣Ф，更好地實(shí)現(xiàn)基于壓縮感知探地雷達(dá)實(shí)時(shí)成像的工程應(yīng)用目的。