追尋有過程的教學(xué)
——“烙餅問題”教學(xué)實(shí)踐與思考

陳 成 楊海榮

（1.重慶市秀山土家族苗族自治縣第一民族小學(xué)校；2.重慶市秀山土家族苗族自治縣高級(jí)中學(xué)校 重慶秀山 409900）

“烙餅問題”是人教版四年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”單元的第二課時(shí)。四年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)有了初步解決問題的能力，具備了在日常生活中，解決問題的基本方法。但這里的關(guān)鍵是讓學(xué)生理解優(yōu)化的思想，形成從多種方案中尋找最優(yōu)方案的意識(shí)，提高解決問題的能力。通過以往的教學(xué)，筆者發(fā)現(xiàn)，四年級(jí)學(xué)生對(duì)在烙3張餅時(shí)采用交替烙的方法在理解上存在一定困難，感覺很抽象，用語言描述既說不清，又道不明。如何讓學(xué)生在理解這一問題時(shí)不再感到抽象呢？

為解決這一問題，筆者經(jīng)過幾次教學(xué)設(shè)計(jì)的調(diào)整和課堂的重建，最終從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，讓學(xué)生在活動(dòng)中親身經(jīng)歷“動(dòng)手操作—思考感悟”的過程，積累了一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

一、談話導(dǎo)入

師：煮熟一個(gè)雞蛋大約要用5分鐘，煮熟3個(gè)雞蛋最快用多長(zhǎng)時(shí)間？

預(yù)設(shè)：

生1：要15分鐘。

生2：只需要5分鐘，因?yàn)榭梢苑旁阱伬镆黄鹬?，?jié)約時(shí)間。

師：是的，生活中許多問題需要講究策略。今天，我們就來研究烙餅問題。（揭示課題）

思考：從簡(jiǎn)單入手，通過煮1個(gè)雞蛋與3個(gè)雞蛋時(shí)間的對(duì)比，使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到煮1個(gè)雞蛋與同時(shí)煮3個(gè)雞蛋，用時(shí)都是5分鐘，初步感知優(yōu)化思想。

二、合作探究，體會(huì)優(yōu)化

（出示主題圖。）

（一）梳理信息，理解題意

師：請(qǐng)看圖，你獲得了哪些數(shù)學(xué)信息？

生1：兩面都要烙。

生2：每次最多只能烙2張餅，每面3分鐘。

師：為了表達(dá)方便，我們可以把先烙的一面叫正面，后烙的一面叫反面。

師：烙1張餅要用多少時(shí)間呢？

生：6分鐘。

（二）探究雙數(shù)餅，初步感受優(yōu)化

師：烙2張餅？可以怎樣烙？最少幾分鐘？

預(yù)設(shè)：

生1：一張、一張烙，要12分鐘。

生2：2張餅同時(shí)烙，要6分鐘。

師：為什么你想到要同時(shí)烙呢？

生：因?yàn)殄伬锩看慰梢酝瑫r(shí)烙2張餅。

師：是的，只有兩張同時(shí)烙，充分利用空間，鍋才不會(huì)空著，這樣最省時(shí)。

思考：根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知水平，讓學(xué)生探究2張餅的最優(yōu)烙法，降低學(xué)生思考的難度，同時(shí)，通過解決2張餅的問題體會(huì)到了優(yōu)化意識(shí)。

（三）合理轉(zhuǎn)化，運(yùn)用優(yōu)化

師：烙熟4張餅，至少要烙幾次？請(qǐng)大家先算一算。

生：4次。

師：怎樣安排才能只烙4次呢？

生：兩張、兩張同時(shí)烙。

師：把4張餅轉(zhuǎn)化成了兩張、兩張地烙，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想。真了不起!

師：烙熟4張餅至少要烙4次，最少需要幾分鐘？

生：最少需要12分鐘。

師：6張餅?zāi)兀肯人阋凰憷訋状?，最少需要幾分鐘?/p>

生：6次，最少需要18分鐘。

師：怎樣設(shè)計(jì)最佳方案呢？

生：把烙6張餅轉(zhuǎn)化成2、2、2。

師：8張餅?zāi)兀?/p>

生：8次，最少需要24分鐘。

師：像2張餅、4張餅、6張餅，我們都是同時(shí)烙的。你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：雙數(shù)張餅兩張、兩張地同時(shí)烙最省時(shí)，烙餅的次數(shù)和張數(shù)相等。

思考：抓關(guān)鍵詞“同時(shí)”“節(jié)省時(shí)間”，滲透優(yōu)化的思想，讓學(xué)生明白“同時(shí)烙兩張”會(huì)“節(jié)省時(shí)間”。

（四）探究單數(shù)餅

師：思考一下，烙3張餅會(huì)有幾種不同的方法？但要想做到最省時(shí)，必須做到什么？

生：充分利用空間，讓鍋不要空著。

師：接下來，我們以小組合作的方式進(jìn)行研究，用數(shù)學(xué)書代替只能烙2張餅的平底鍋，圓片當(dāng)餅，看看怎樣才能盡快吃上餅？請(qǐng)看合作要求：

1.想一想，烙好3張餅，怎樣才能不空鍋；2.擺一擺，把你想到的方法動(dòng)手?jǐn)[出來；

3.記一記，把烙餅的過程用簡(jiǎn)潔的方式記錄下來；4.準(zhǔn)備匯報(bào)，思考怎樣讓別人聽明白你的想法。（生動(dòng)手操作，師巡視。）

師：做好的同學(xué)請(qǐng)舉手示意，并把你們組的研究成果向大家匯報(bào)一下。

方法一：先烙第一張餅和第二張餅的正面，要3分鐘；再烙第一張餅和第二張餅的反面，也要3分鐘；接著，烙第三張餅的正面，需要3分鐘；最后，烙第三張餅的反面，同樣要3分鐘。一共烙了4次，用了12分鐘。

方法二：先烙第一張餅和第二張餅的正面，要3分鐘；再取出第二張餅，烙第一張餅的反面和第三張餅的正面，同樣需要3分鐘；最后，待第一張餅熟了，烙第二張餅和第三張餅的反面，也要3分鐘。一共只烙了3次，用了9分鐘。

（生匯報(bào)第一種方案和第二種方案并上臺(tái)演示，師記流程圖。）

板書：1正2正—1反2反—3正—3反 4次 12分鐘

1正2正—1反3正—2反3反 3次 9分鐘

師：這兩種方法中，你們覺得哪種最好，為什么？

生：第二種方法更省時(shí)。

師：第二種烙法，最關(guān)鍵的是哪一步？

生：第二步。

師：第二步我們是怎么做的呢？

生：第二步，拿出2號(hào)餅，換上3號(hào)餅的正面和1號(hào)餅的反面。

師：這樣做的目的就保證了第三次烙的時(shí)候鍋里有幾張餅？

生：2張，第3次就烙2號(hào)的反面和3號(hào)的反面了，最大化地利用了鍋。

師小結(jié)：第一種方法的第三次和第四次都只烙了1張餅。但同一張餅的兩面不能同時(shí)烙，于是，你們想到了中間換一次餅。這就保證了每次鍋里都有2張餅同時(shí)烙，從而最大化地利用了鍋。我們可以把這種交替烙3張餅的方法叫作輪換烙餅法。

思考：“如何盡快烙好3張餅”是本節(jié)課的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)。教師讓學(xué)生借助學(xué)具動(dòng)手操作、直觀演示，結(jié)合課件演示兩種烙法的對(duì)比，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)充分利用鍋內(nèi)的空間，使鍋里每次烙2張餅，最節(jié)省時(shí)間。學(xué)生在直觀中思考、在操作中發(fā)現(xiàn)，從而感悟到簡(jiǎn)單的運(yùn)籌思想。

（五）找到規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型

師追問：想一想，有可能找到比烙3次還要少的方法嗎？為什么？

生：每次鍋里都有2張餅了，已經(jīng)充分利用了鍋的空間。

師：對(duì)啊，3張餅每張都要烙幾面？一共要烙多少面呢?

生：每張餅要烙兩面，一共要烙6面。

師：這口鍋每次最多能烙幾面？

生：兩面。

師：剛才，我們通過實(shí)際操作，得出了3張餅最少要烙3次的結(jié)論。你能不能用算式來計(jì)算出3張餅最少要烙3次呢？

生：3×2=6(面)，6÷2=3(次)。（師板書）

師：這里的6表示什么？

生：3張餅總的面數(shù)

師：2代表什么？

生：鍋里每次最多烙的面數(shù)。

師：求出的3表示什么?

生：最少次數(shù)。

師（板書：總的面數(shù)，最少次數(shù)）：求出了最少次數(shù)，最短時(shí)間怎么算？

生：總的時(shí)間3×3=9(分)。

師：實(shí)際上，烙餅的最少次數(shù)就等于烙餅的總面數(shù)除以每次最多烙的面數(shù)。

課件出示：最少次數(shù)=烙餅的總面數(shù)÷每次最多烙的面數(shù)。

師：我們通過計(jì)算，也發(fā)現(xiàn)了烙熟3張餅最少要烙3次。這已經(jīng)是最省時(shí)的方案了。那么，以后我們遇到這類題，就可以先通過計(jì)算算出最少次數(shù)，再設(shè)計(jì)出最佳方案。

（六）遷移規(guī)律

師：烙熟5張餅，至少要烙幾次？需要幾分鐘？

生：把烙5張餅轉(zhuǎn)化成2張餅和3張餅的烙法，烙了5次，用了15分鐘。

師：像5、7、9這樣單數(shù)張餅，我們應(yīng)該怎樣烙才最省時(shí)呢？

生：先兩張、兩張地烙，最后3張輪換烙最省時(shí)。

師：知道了烙的最少次數(shù)，能算出最短時(shí)間嗎？

生：能，用最少次數(shù)乘3。

思考：從探究烙2張餅和3張餅最省時(shí)的方法入手，學(xué)生從操作中總結(jié)出怎樣烙，由動(dòng)作思維到抽象思維，層層深入，探究出烙偶數(shù)張餅和烙奇數(shù)張餅的方法都是轉(zhuǎn)化成2張餅、3張餅去烙，滲透轉(zhuǎn)化思想。

三、知識(shí)應(yīng)用

例1 復(fù)印3張資料，每次最多放2張，兩面都要復(fù)印，如果復(fù)印一面需要3秒，最少需要多少秒？

例2 有一種電腦小游戲，玩1局要5分鐘，可以單人玩，也可以雙人玩。小東和爸爸、媽媽一起玩，每人玩兩局，至少需要多少分鐘？

四、課堂總結(jié)

1.今天我們學(xué)習(xí)了怎樣合理安排時(shí)間，說說學(xué)習(xí)感受。

2.解決問題的方法很多，我們要善于思考，找到最好的方法，提高做事的效率。

思考：在此環(huán)節(jié)，“今天你有什么收獲嗎？”這個(gè)問題的提出，主要是想培養(yǎng)學(xué)生整理、歸納的意識(shí)和習(xí)慣，提高他們學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。

五、反思

“烙餅問題”教學(xué)有以下幾個(gè)特點(diǎn)[1]。

（一）從簡(jiǎn)到繁，層層遞進(jìn)

本節(jié)課導(dǎo)入部分做了很好的鋪墊，讓學(xué)生體會(huì)到同時(shí)操作會(huì)省時(shí)，然后，提出烙雙數(shù)張餅怎樣烙最省時(shí)的問題（同時(shí)烙），接著，重點(diǎn)探討了烙單數(shù)張餅（3張餅）的方法。烙3張餅既是本節(jié)課的重點(diǎn)，又是難點(diǎn)。為了突破這個(gè)難點(diǎn)，筆者給予學(xué)生充分的時(shí)間與空間，先讓學(xué)生小組合作，然后讓學(xué)生到黑板上展示，最后對(duì)比，尋找烙餅的最佳方案。探究活動(dòng)注重學(xué)生動(dòng)手能力和思維發(fā)散能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生的手、眼、腦等多種感官協(xié)同活動(dòng)。整個(gè)烙餅過程層層遞進(jìn)，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓他們能借助烙2張餅、3張餅的經(jīng)驗(yàn)研究烙5張餅、7張餅和多張餅的方法。

（二）層次分明，體會(huì)最優(yōu)

從整體上看，探究烙餅問題可分為四個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)。第一層次，主要是讓學(xué)生體會(huì)烙雙數(shù)張餅同時(shí)烙最省時(shí)間。第二層次，主要是突破烙3張餅的難點(diǎn)，讓學(xué)生在對(duì)比中了解為什么用時(shí)9分鐘的烙法是最佳烙法，滲透最佳烙法的前提是充分利用鍋的空間。第三層次，找到規(guī)律，建立模型。烙餅的最佳烙法是最大限度地利用好這口鍋。在教學(xué)中，筆者讓學(xué)生不斷體會(huì)、思考最優(yōu)方法，并把這種方法轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，即“最少次數(shù)=烙餅的總面數(shù)÷每次最多烙的面數(shù)”的計(jì)算公式。第四層次，在學(xué)生完全理解2張餅、3張餅的烙法后，探究出烙偶數(shù)張餅和烙奇數(shù)張餅的方法都是轉(zhuǎn)化成2張餅、3張餅去烙，滲透轉(zhuǎn)化思想。