應用曲線積分與路徑無關性求解恰當方程

李祖雄

[摘? ? ? ? ? ?要]? 恰當方程求解是常微分方程的一個重要知識點， 而在常微分教材中往往只介紹積分求解法和分項組合法，這兩種方法有時候不容易解出方程的通解，在這里介紹應用曲線積分與路徑無關性求原函數(shù)的方法來求解恰當方程的通解， 方法簡便， 學生容易掌握.

[關? ? 鍵? ?詞]? 恰當方程;曲線積分;路徑無關;通解

[中圖分類號]? O151? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2020）10-0192-02

一、基本概念

定1[1]：方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0中左端正好為某函數(shù)u（x，y）的全微分，也就是M（x，y）dx+N（x，y）dy=du（x，y），則方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0是恰當方程.由此可得方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0的通解是u（x，y）=c，其中c是任意常數(shù).

定2[2]：如果D？奐R2為單連通閉區(qū)域，又函數(shù)M（x，y）和N（x，y）在閉區(qū)域D內(nèi)為連續(xù)函數(shù)，并且其一階偏導數(shù)也連續(xù)，就有下列四個等價條件：

（1）曲線積分∮LM（x，y）dx+N（x，y）dy=0，這里曲線L是沿D內(nèi)的任意分段光滑的閉曲線.

（2）曲線積分∫LM（x，y）dx+N（x，y）dy與路徑無關，只和曲線L的起點與終點相關，其中封閉曲線L是D內(nèi)的任意分段光滑的曲線.

（3）在D內(nèi)有du（x，y）=M（x，y）dx+N（x，y）dy，也就是M（x，y）dx+N（x，y）dy是D內(nèi)某個函數(shù)的全微分.

（4）對于D內(nèi)任意一點處都

二、積分求解法和分項組合法

由常微分方程教材可知方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0是恰當方程的充要條件為：

積分求解法的一般步驟為：（1）判斷M（x，y）dx+N（x，y）dy=0是否為恰當方程，若是則進入下一步;（2）求u（x，y）=∫M（x，y）dx+φ（y）;（3）由x，y）求出φ（y）;（4）寫出通解u（x，y）=∫M（x，y）dx+？覫（y）=c.

分項組合法基本步驟為：（1）判斷M（x，y）dx+N（x，y）dy=0是否為恰當方程，若是則進入下一步;（2）分出已構(gòu)成全微分的那些項;（3）將剩下的項通過拆項、增減項湊出全微分;（4）求得全微分，寫出通解u（x，y）=c.此方法還需要熟記一些常用的簡單二元函數(shù)的全微分.

三、曲線積分與路徑無關性方法解恰當方程

由，同樣可得曲線積分∫LM（x，y）dx+N（x，y）dy與路徑無關，所以可獲得微分M（x，y）dx+N（x，y）dy的（一個）原函數(shù)為：

u（x，y））dx，（沿（x0，y0）→（x0，y）→（x，y）方向）.

由此我們可得恰當方程M（x，y）dx+N（x，y）dy=0的解為u（x，y）=c.

通常我在授常微分方程課時會將此法介紹給學生.綜上可知曲線積分與路徑無關性求解恰當方程的方法的基本步驟是：

（1）判斷M（x，y）dx+N（x，y）dy=0是否為恰當方程;

（2）若是則有u（x，y）=（x，y）dx;

（3）寫出通解u（x，y）=c.

四、例題

我們給出一道例題，用三種方法求解微分方程.下面這道例題由華東師范大學數(shù)學系《數(shù)學分析》[3]中的習題改編.

例 求解方程ex[ey（x-y+2）+y]dx+ex[ey（x-y）+1]dy=0.

這里的M（x，y）=ex[ey（x-y+2）+y]，N（x，y）=ex[ey（x-y）+1]，，

所以方程ex[ey（x-y+2）+y]dx+ex[ey（x-y）+1]dy=0為恰當方程.

解法1：積分求解法

u（x，y）=∫M（x，y）dx+φ（y）

=∫ex[ey（x-y+2）+y]dx+φ（y）

=ex[ey（x-y+1）+y]+φ（y）

由此可是u（x，y）=ex[ey（x-y+1）+y]=c.

解法2：分項組合法

原方程可變?yōu)閑x+y（x-y）（dx+dy）+2ex+ydx+yexdx+exdy=0，

通過添項、拆項可得（x-y）d（ex+y）+ex+ydx-ex+ydy+ex+y（dx+dy）+d（yex）=0，

也就是（x-y）d（ex+y）+ex+yd（x-y）+ex+yd（x-y）+d（yex）=0，

由此可得d[（x-y+1）ex+y+yex]=0，

可得通解是u（x，y）=ex[ey（x-y+1）+y]=c.

解法3：曲線積分與路徑無關求解法

取x0=0，y0=0，可有

=ex[ey（x-y+1）+y]-1，

由此可知通解是u（x，y）=ex[ey（x-y+1）+y]=c.

由上面三種解法能夠看出：解法1中被積函數(shù)明顯要比解法3的被積函數(shù)復雜，還得求解，步驟較繁雜，計算難度大于解法3;解法2的難度在于不好湊微分，這道例題還需要通過添項、減項、拆項等技巧才能得到全微分，難度顯然比解法3的難度大.所以曲線積分與路徑無關求解恰當方程法是一種易掌握且計算容易的方法，值得學習常微分方程這門課程的學生掌握.

參考文獻：

[1]王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

[2]陳紀修，於崇華，金路.數(shù)學分析[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.

[3]華中師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

◎編輯 陳鮮艷