離心泵雙圓弧圓柱形葉片的幾何方程

蔡洪濤

1.武漢工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢 430205；

2.化工裝備強(qiáng)化與本質(zhì)安全湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（武漢工程大學(xué)），湖北 武漢 430205

低比轉(zhuǎn)速離心泵葉輪揚(yáng)程較高、流量較小、流道狹長(zhǎng)，葉輪流道擴(kuò)散嚴(yán)重，因此，技術(shù)人員對(duì)此進(jìn)行了大量的研究［1-10］，但優(yōu)化的水力設(shè)計(jì)是比較困難的［11］，低比轉(zhuǎn)數(shù)葉輪常采用圓柱形葉片［12-14］，其中雙圓弧葉片有比較好的效率。但是在已知葉輪內(nèi)徑、外徑、包角及進(jìn)、出口安放角的情況下，這兩段圓弧的半徑一直是未知的，沒(méi)有精確的表達(dá)式。劉向軍［15］提出的方法中，兩端圓弧的半徑是靠經(jīng)驗(yàn)確定的；胡家順等［16］提出的方法是用迭代的方法才能得到兩段圓弧的半徑。本文在后者研究的基礎(chǔ)上，提出了一種新的繪制方法，并推導(dǎo)該兩段圓弧的解析方程。根據(jù)本文的方法可以快速、精確的畫(huà)出該兩段圓弧。

1 兩段圓弧繪制圓柱葉片的作圖法

已知葉輪內(nèi)徑r1、外徑r2、包角?及進(jìn)、出口安放角β1、β2，按如下方法作圖：

步驟 1：如圖1（a），分別以點(diǎn) O為圓心，以 r1、r2為半徑畫(huà)同心圓；從圓心O點(diǎn)畫(huà)作線段OA，使OA與OC線段的夾角等于葉片的包角?，點(diǎn)A在內(nèi)圓周上。作射線AB，與線段OA的夾角為β1，作射線CD，與線段OC的夾角為β2，點(diǎn)C在外圓周上。

步驟2：如圖1（b），過(guò)A點(diǎn)作射線AE，AE與AB的夾角為α，過(guò)C點(diǎn)作直線CH與AE交于H點(diǎn)，CH與CF的夾角為過(guò)H點(diǎn)作直線HF與CD交于點(diǎn)F，與AB交于G點(diǎn)，HF與CH的夾角為

步驟3：如圖1（b），以F點(diǎn)為圓心，以FC為半徑︵畫(huà)圓?。灰訥點(diǎn)為圓心，以AG為半徑畫(huà)圓弧，則這兩段圓弧即為所求圓弧。

2 幾何證明

從作圖法中可知，在三角形ΔCFH中，CF=FH，故第二段圓弧的圓心就是F點(diǎn)?！螩FH=180-∠CHF×2=2α+β1+?-β2-180。設(shè)FH交OC于點(diǎn)N，AB交OC于點(diǎn)M。在三角形△CFN中，∠HNC=∠GNM=(∠CFH+β2)=2α+β1+?-180；

在三角形ΔAMO中，

在三角形ΔGMN中，

在三角形ΔAGH中，∠AGH=180-∠AHG-∠HAG=180-∠AHG-α=180-2α，故 ∠AHG=∠HAG=α，即三角形ΔAGH為等腰三角形，GA=GH，故點(diǎn)G可以作為圓心畫(huà)同時(shí)經(jīng)過(guò)A點(diǎn)與H點(diǎn)圓弧。該圓弧是第一段圓弧。

3 兩段圓弧的半徑及方程

求兩段圓弧的半徑，即求線段CF和AH的長(zhǎng)度。以圓心點(diǎn)O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，得到C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-r2，0），直線CH的斜率為tg(γ-β2)，γ=180-α+，故直線CH的方程為：

A 點(diǎn)坐標(biāo)為 (-r1cos?，r1sin?)，直線 AE 的斜率 為 -tg(α+?+β1)，故 直 線 AE 的 方 程 為y=-tg(α+β1+?)(x+r1cos?)+r1sin?

聯(lián)立這兩個(gè)方程即可求得H點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得線段AH的長(zhǎng)度，即為第一段圓弧的半徑。進(jìn)一步求得CH的長(zhǎng)度后可以求出CF的長(zhǎng)度，即CF的長(zhǎng)度為第二段圓弧的半徑。H點(diǎn)的坐標(biāo)為：

第一段圓弧的半徑為

第二段圓弧的半徑為：

第二段圓弧圓心F點(diǎn)的坐標(biāo)為

則第二段圓弧的方程為

第一段圓弧的圓心G點(diǎn)坐標(biāo)可由A點(diǎn)坐標(biāo)得到，

則第一段圓弧的方程為：

由式（1）和（2）可知，在葉片參數(shù)給定情況下，圓弧半徑R1和R2僅僅是α的函數(shù)。在圖1（b）建立坐標(biāo)原點(diǎn)在O點(diǎn)的極坐標(biāo) (r，θ)，則式（3）和式（4）可改寫(xiě)為極坐標(biāo)下的方程。第二段圓弧的方程為：

解得：

第一段圓弧的方程為：

解得：

由微分幾何可知，葉片點(diǎn)的安放角β與點(diǎn)的極坐標(biāo)的關(guān)系為：

則由式（5）和式（6）可求出圓弧上點(diǎn)的安放角。

4 算例與討論

為了便于比較，以胡家順等［16］文中例子進(jìn)行計(jì)算，并作圖比較。已知r1=10 mm，r2=28 mm，?=110°，β1=25°，β2=30°，α=60 °，如圖2所示。計(jì)算結(jié)果如表1所示，表中R和θ為圓弧上點(diǎn)的極坐標(biāo)。

圖2 算例圖Fig.2 Example diagram

表1 解析法與迭代法的比較Tab.1 Comparison of analytical and iterative methods

從表1的比較可知本文的畫(huà)圖法與文獻(xiàn)［16］方法完全一致。根據(jù)繪圖所得到的圓弧半徑分別為14.71 mm和28.34 mm；根據(jù)公式得到圓弧半徑分別為14.713 mm和28.341 mm。上述計(jì)算結(jié)果表明驗(yàn)證了本作圖法的準(zhǔn)確性及所得到的公式的正確性。但要說(shuō)明因?yàn)楸疚闹袌A弧的起點(diǎn)和文獻(xiàn)［16］不同，表1中用解析法計(jì)算r時(shí)，用“θ+60”代替式（5）和式（6）中的θ；當(dāng)θ+60＞120時(shí)用公式（6）。

圖3 不同α值的圓弧比較Fig.3 Arc comparison of differentα

圖3給出不同的α取值時(shí)用上述作圖法得到的3組圓弧?？梢缘弥旱谝欢螆A弧的圓心始終在直線AB上，第二段圓弧的圓心始終在直線CD上；較大的α對(duì)應(yīng)于較小包角的第一段圓弧，相應(yīng)地第二段圓弧的包角則較大；但是兩段圓弧的半徑都較??；隨著α的減小，兩段圓弧的半徑都將增大，第一段圓弧的包角也隨之增大，曲線也變得陡峭，安放角變化快，第二段圓弧的包角則隨之減小，曲線也變得平緩，安放角變化慢。綜合考慮，α居中，即取60°時(shí)，最有利于獲得較好的離心泵性能，這一點(diǎn)與文獻(xiàn)［16］結(jié)論一致。