失配誘導光熱敏感凝膠-橡膠雙層梁彎曲行為分析

顏慧賢，董 則

（1.三明學院 機電工程學院，福建 三明 365004；2.三明學院 裝備智能控制福建省高校重點實驗室，福建 三明 365004）

刺激響應性水凝膠是近年來備受關注的新型智能材料[1-3]。 這類材料可以對溫度、pH、濕度等因素的變化作出積極響應而發(fā)生體積、形狀的變化，在人造肌肉、軟機器、機械手和爬行器等領域具有廣泛應用前景[4-6]。 凝膠應用于這些領域時，常需要粘附于基底，利用凝膠與基底溶脹系數(shù)的失配使復合結構發(fā)生彎曲，從而實現(xiàn)致動效應[7]。 對于層狀凝膠復合結構的彎曲行為，國內外學者展開了相關研究并取得了一定的成果。 Cai 等利用梁理論對粘附于不可壓彈性基底的中性凝膠雙層復合結構的彎曲行為進行研究，并比較了采用不同彈性模型時結果的差異性[8]；Takuya 等[9]討論了溫敏凝膠-彈性基底復合結構的彎曲大變形特征；Arbabi 等[10-11]研究了pH 敏感凝膠-中性凝膠雙層復合梁的彎曲行為，并給出解析解；Abdolahi 等則對溫敏凝膠-不可壓彈性體-溫敏凝膠三層復合結構的彎曲行為展開研究，給出了曲率表達式。

本文則主要討論光熱敏感凝膠-橡膠雙層復合梁的彎曲行為，利用光熱敏感凝膠溶脹變形理論與梁彎曲理論推導相應的平衡方程、彎矩方程與應變協(xié)調方程，計算不同光強、溫度條件下此類雙層復合梁的曲率半徑，分析彎曲變形規(guī)律。

1 理論模型

1.1 雙層梁模型簡介

本文研究的雙層復合梁結構如圖1 所示，下層為不可壓橡膠，上層為光熱敏感凝膠。 將該復合梁浸于溶液中，隨著環(huán)境光強、溫度的變化光熱敏感凝膠層溶脹或收縮，而橡膠層體積保持不變。上、下層材料溶脹率的嚴重失配使得應力集中于復合梁的邊緣，從而使得雙層復合梁發(fā)生彎曲。 假設光熱敏感凝膠層與橡膠層的初始厚度均為 1，初始寬度分別為 t10和 t20，初始長度為L0。

圖1 光熱敏感凝膠-橡膠復合梁示意圖

1.2 光熱敏感凝膠溶脹本構

在光輻射作用下，光熱敏感凝膠吸收光能并轉化為熱能使凝膠溫度升高，從而導致凝膠溶脹或收縮。 Toh 等[12]給出了光熱敏感凝膠的本構方程

式中：SiK是作用于凝膠的名義應力；是凝膠的自由能密度函數(shù)；FiK為變形梯度；N 為凝膠網絡鏈數(shù)密度；k 和T 分別為玻爾茲曼常數(shù)和凝膠感受到的溫度；v是單個溶劑分子體積；J 為變形梯度第三不變量；I0為輻射光光強；hf 為單個光子的能量；分別為凝膠網絡和溶劑的體積比熱容；μs為溶劑化學勢，而 χ0=A0+B0T 和 χ1=A1-B1T 為兩個溶劑與凝膠網絡相互作用參數(shù)，φ=1/J=1/（1+vCs）為聚合物體積分數(shù)；T=T0+ΔT=T0+αI0φ，T0為環(huán)境溫度，ΔT 為光熱轉化增加的溫度，α 為比例系數(shù)；A0,A1,B0和B1是4 個與凝膠種類相關的材料參數(shù)。

1.3 光熱敏感凝膠-橡膠雙層復合梁彎曲理論

如圖2 所示，由于光熱敏感凝膠層的溶脹以及橡膠層的不可溶脹作用，上下層的尺寸失配使得凝膠層與橡膠層間存在相互作用力[14]。 在相互作用力作用下，雙層梁發(fā)生彎曲，如圖3 所示。

如圖2 所示，設凝膠層和橡膠層橫截面間的相互作用力分別為F1和F2，由于無其他外力作用，因此可得

圖2 凝膠-橡膠雙層復合梁受力圖

圖3 雙層梁彎曲示意圖[13]

其中：M1和M2分別為作用于凝膠與橡膠橫截面的彎矩； 而t1和t2分別為彎曲后的凝膠層和橡膠層的厚度，分別滿足 t1=λ3t10，t2=t20，λ3為凝膠寬度方向溶脹比。

材料力學表明梁彎曲的曲率與彎矩成正比[13]，因此可得

其中：E1I1和E2I2分別為凝膠和橡膠的抗彎剛度；E1和E2分別為凝膠和橡膠的楊氏模量；I1和I2分別為凝膠和橡膠梁對彎曲中性軸的慣性矩，ρ 為曲率半徑。

假設雙層復合梁彎曲時其厚度的量級遠小于其曲率半徑，可近似認為凝膠層與橡膠層的曲率相等，因此，式（4）和式（5）簡化為

由于凝膠的可溶脹性，其楊氏模量隨凝膠的溶脹發(fā)生相應變化，因此，凝膠材料其彈性變形難易程度往往用增量模量表征[14]。 因此，凝膠梁的彎矩為：

而凝膠梁增量模量的計算方法如下。 在光輻射條件下，光熱敏感凝膠溶脹，由于凝膠沿厚度方向無應力作用，由式(1)得

面內應力S1與面內溶脹率λ1的關系由本構方程（1）解得

將式(9)與式(10)聯(lián)立得

因此，光熱敏感凝膠增量模量為

假設凝膠層的最終厚度和寬度分別為λ1和t1=λ1t10，而橡膠層的厚度和寬度仍為1 和t2=t20，根據(jù)材料力學求得凝膠層和橡膠層對彎曲中性軸的慣性矩分別為：

界面處的應變協(xié)調條件為

其中：ρ 為雙層復合梁的曲率半徑。

將式(2)～(9)、(12)～(15)聯(lián)立求得雙層復合梁的曲率半徑 ρ

其中，A 和 B 分別為

2 數(shù)值模擬

光熱敏感凝膠在一定的光強、溫度條件下預溶脹后粘附于橡膠層構成雙層復合梁結構，隨著光強、溫度的改變，凝膠層繼續(xù)溶脹或收縮使雙層復合梁發(fā)生彎曲。 本節(jié)利用matlab 軟件計算了不同預溶脹條件下光熱敏感凝膠-橡膠雙層復合梁的曲率半徑隨光強、溫度變化關系，模擬用到的物理常數(shù)與材料參數(shù)如表1 所示。

表1 材料參數(shù)與物理常數(shù)[15]

2.1 光強的影響

圖4 給出了溫度T0為300 K，凝膠預溶脹率λ1分別為1, 2 和3 時雙層復合梁的曲率半徑ρ 隨光強I0變化的關系曲線。 由圖4 可見，溫度一定，預溶脹率相同時，雙層復合的曲率半徑均隨著光強的增大而增大。 這是由于溫敏性水凝膠其平衡溶脹率隨溫度升高而降低，當環(huán)境光強越強時，因光熱轉化作用而獲得的溫升越高，溫度越高凝膠吸收的溶劑越少。 凝膠的彈性模量與其含有的溶劑量有關，溶劑含量越低其彈性模量越大，凝膠材料則越硬越不容易變形。 因此，光強越強時，雙層復合梁越不容易變形，其彎曲程度越小，曲率半徑越大；預溶脹率越大時，光強相同的情況下曲率半徑越小，雙層復合梁彎曲程度越大，這是因為預溶脹率越大，凝膠材料初始含水率就越高，材料越軟越容易發(fā)生變形。

2.2 溫度的影響

圖5 給出了光強I0=500 W, 凝膠預溶脹率I0分別為1, 2 和3 時雙層復合梁的曲率半徑ρ 隨溫度T0變化的關系曲線。 由圖5 可見，雙層復合梁的曲率半徑隨溫度的增大先增大后減小，呈拋物線形狀，曲率半徑存在一個極大值。這可能與溫敏性凝膠存在最低臨界轉變溫度(LCST)有關。當溫度在LCST 附近時，凝膠的溶脹率隨溫度升高發(fā)生突變式變化，凝膠急劇收縮使其彈性模量增大到一臨界值，而溫度高于LCST 后凝膠又緩慢溶脹。 由圖5 還可以看出，預溶脹率越大，相同溫度時雙層復合梁的曲率半徑越小，彎曲程度越大。

圖4 溫度T0=300 K時，不同預溶脹條件下雙層復合梁的曲率半徑ρ隨光強I0 變化關系

圖5 不同預拉伸時曲率半徑ρ隨溫度T0 變化關系曲線

3 結論

結合光熱敏感凝膠溶脹大變形理論與梁彎曲理論推導了光熱敏感凝膠-橡膠雙層復合梁彎曲曲率半徑的計算模型，并用matlab 進行計算，得到以下結論。

（1）光強對光熱敏感凝膠-橡膠雙層復合梁彎曲行為有很大影響，溫度一定，預溶脹率相同時，雙層復合的曲率半徑均隨著光強的增大而增大； 預溶脹率越大時，光強相同的情況下曲率半徑越小，雙層復合梁彎曲程度越大。

（2）雙層復合梁的曲率半徑隨溫度的增大呈拋物線變化關系，曲率半徑存在一極大值。 這或許與光熱敏感凝膠存在最低臨界轉變溫度(LCST)有關，溫度在LCST 附近時，隨著溫度的升高凝膠急劇收縮，溫度高于LCST 后凝膠又緩慢溶脹。