結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)計(jì)算的優(yōu)化方法

潘大榮 白鴻宇

（南京工程學(xué)院 江蘇 南京 211167）

0 引言

結(jié)構(gòu)可靠性是指結(jié)構(gòu)在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，在規(guī)定的條件下，完成規(guī)定功能的能力。目前我國(guó)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中采用的分項(xiàng)系數(shù)法就是基于近似概率法的可靠性設(shè)計(jì)方法。而作為度量結(jié)構(gòu)構(gòu)件可靠性一個(gè)最重要的參量——可靠指標(biāo)，它與構(gòu)件失效概率有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，直接反應(yīng)了構(gòu)件可靠度的大小。大多數(shù)情況下，結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)很難直接求出，從而提出了許多近似計(jì)算方法以及優(yōu)化算法，本文利用MATLAB 在傳統(tǒng)的一次二階矩基礎(chǔ)上提出了一種可靠指標(biāo)的優(yōu)化算法，對(duì)某橫梁進(jìn)行了可靠性的分析，并把計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)的一次二階矩理論的驗(yàn)算點(diǎn)法進(jìn)行了對(duì)比，從而驗(yàn)證了這個(gè)方法的可行性。

1 結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)計(jì)算的數(shù)學(xué)模型

一般地，對(duì)于包含n 個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)變量的情況，結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程可表為Z=g（X1，X2，…Xn）[1]，X1，X2，…Xn為影響結(jié)構(gòu)功能的基本變量。Z 表示n 維空間Xi中的稱為極限狀態(tài)面，它將歐氏空間分為可靠區(qū)和失效區(qū)兩部分。

可靠指標(biāo)β 作為度量結(jié)構(gòu)可靠性的尺度，其幾何意義為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間坐標(biāo)系（i=1，…，n）中原點(diǎn)到極限狀態(tài)方程曲面的最短距離，如圖1所示，β= OP*，P*即為設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)。在計(jì)算時(shí)一般我們都是先人為的給定一個(gè)驗(yàn)算點(diǎn)，然后進(jìn)行多次迭代，隨著驗(yàn)算點(diǎn)的改變，OP*也在不斷改變，其最小值就是我們要求的可靠指標(biāo)β。

圖1 三維正態(tài)坐標(biāo)系中β 的幾何意義

據(jù)此構(gòu)建強(qiáng)約束非線性優(yōu)化模型求解標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坐標(biāo)系原點(diǎn)到極限狀態(tài)曲面距離的最小值即可求得可靠指標(biāo)β。模型表述如下：

2 算例

根據(jù)上述優(yōu)化模型，可靠指標(biāo)的求解轉(zhuǎn)化為強(qiáng)約束非線性優(yōu)化問(wèn)題，即尋找目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最小值。本文采用罰函數(shù)法作為優(yōu)化算法，編制MATLAB 程序進(jìn)行求解。程序輸入部分為模型的目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)，輸出結(jié)果為可靠指標(biāo)值（β）、驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)（X*1，X*2，…，X*n）及驗(yàn)算點(diǎn)處約束值、優(yōu)化函數(shù)調(diào)用次數(shù)等。為保證結(jié)果的準(zhǔn)確性，應(yīng)用經(jīng)典的驗(yàn)算點(diǎn)法對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。計(jì)算表明所編程序準(zhǔn)確可行。

具體求解過(guò)程通過(guò)算例說(shuō)明如下：

例：某鋼結(jié)構(gòu)的臨時(shí)橋，承受50t 履帶載，其橫梁截面為32a 號(hào)工字鋼，截面的抵抗矩W 服從正態(tài)分布：μW=692×10-6m3，σW=14×10-6m3；其材料強(qiáng)度f(wàn) 對(duì)數(shù)正態(tài)分布：μf=390×106Pa，σf=28×106Pa；經(jīng)過(guò)計(jì)算可求出橫梁承受的最大彎矩M 均值為 μM=210×103N·m，方差 σM=4.2×103N·m，服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，求可靠指標(biāo)β。

求解步驟如下：

（1）f 為對(duì)數(shù)正態(tài)變量，利用Rackwitz-Fiessler 算法當(dāng)量正態(tài)化得：

μ′f=f*（20.78-lnf*）

σ′f=0.072f*

所以有：

（4）M 為對(duì)數(shù)正態(tài)變量，當(dāng)量正態(tài)化得：

μ′M=M*（13.25-lnM*）

σ′M=0.02M*

所以有：

綜上得：

目標(biāo)函數(shù)為：

約束條件為：Z=f*W*-M*=0。

（5）將已知輸入MALAB 優(yōu)化程序得：

驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)為：

（f*，W*，M*）=（309.54×106Pa，677.22×10-6m3，209.63×103N·m）；可靠度指標(biāo)β=3.36。

采用經(jīng)典的一次二階矩理論中的驗(yàn)算點(diǎn)法求解，可得可靠指標(biāo)β=3.358，驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)（f*，W*，M*）=（309.4×106，677.5×10-6，209.6×103）；所得結(jié)果與之非常接近。

3 結(jié)束語(yǔ)

算例表明，對(duì)于一些簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)，根據(jù)可靠指標(biāo)的幾何意義，構(gòu)建強(qiáng)約束非線性優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，采用優(yōu)化方法對(duì)結(jié)構(gòu)的模型進(jìn)行求解，是可靠指標(biāo)計(jì)算的快速有效途徑，對(duì)于功能函數(shù)為非線性的情況，不用采用泰勒級(jí)數(shù)展開成線性函數(shù)，避免了繁雜的迭代過(guò)程，是對(duì)可靠指標(biāo)計(jì)算方法的重要補(bǔ)充，在結(jié)構(gòu)的可靠性計(jì)算中具有一定的實(shí)用價(jià)值。