以圖融數(shù)，讓數(shù)學(xué)課程更美一些

張海英

[摘要]數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，借助思維導(dǎo)圖為研究數(shù)學(xué)課程新發(fā)展的有效途徑之一。從數(shù)學(xué)課程與思維導(dǎo)圖形式融合（重思維導(dǎo)圖形式）、數(shù)學(xué)課程與思維導(dǎo)圖內(nèi)容融合（重?cái)?shù)學(xué)課程內(nèi)容）、數(shù)學(xué)課程與思維導(dǎo)圖辯證融合（重科學(xué)研究態(tài)度）三個(gè)方面進(jìn)行研究，依托思維導(dǎo)圖將學(xué)習(xí)者對于數(shù)學(xué)課程的不同角度的理解進(jìn)行不同形態(tài)的建構(gòu)，錘煉學(xué)習(xí)者對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的自我體驗(yàn)和重新創(chuàng)造，使之形成一個(gè)有序、有效的數(shù)學(xué)思維框架，達(dá)到數(shù)學(xué)課程和思維發(fā)展圖形的無限融合。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)課程;思維導(dǎo)圖;融合美

[中圖分類號]G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A [文章編號] 1007—9068（2019）32—0050—02

課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?！眱和乃季S是直觀形象的，而數(shù)學(xué)知識是抽象理性的，任何兒童的思維發(fā)展都有一個(gè)進(jìn)行的序列，需要在一個(gè)有序的時(shí)空中進(jìn)行數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)和發(fā)展。刻意的延緩節(jié)奏和盲目的越位教學(xué)都是不符合兒童認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的。皮亞杰亦認(rèn)為：“全部數(shù)學(xué)都可以按照結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來考慮。”無論是數(shù)學(xué)知識發(fā)展的序列還是數(shù)學(xué)知識的四大領(lǐng)域，抑或是兒童學(xué)習(xí)認(rèn)知能力的發(fā)展，都可以從結(jié)構(gòu)建構(gòu)角度來進(jìn)行探索和研究。

如何合理建構(gòu)數(shù)學(xué)課程？如何遵循學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律？如何將數(shù)學(xué)課程中的結(jié)構(gòu)元素與學(xué)生思維發(fā)展貼切融合？如何獲得“合理建構(gòu)”和“思維發(fā)展”有機(jī)融合？這一系列想法，隨著學(xué)校開展的“高年級數(shù)學(xué)課程與思維導(dǎo)圖的有效融合研究”而逐漸鋪陳開來。思維導(dǎo)圖又叫心智導(dǎo)圖，是表達(dá)發(fā)散性思想的有效圖形思維工具。思維導(dǎo)圖運(yùn)用圖文并重的技巧，把各主題的關(guān)系用相互隸屬和相關(guān)的層級圖表現(xiàn)出來，把主題關(guān)鍵詞通過圖像、顏色等鏈接或區(qū)分開來。

根據(jù)思維導(dǎo)圖的工具性和可操作性，筆者主要嘗試從數(shù)學(xué)課程與思維導(dǎo)圖融合研究中思維導(dǎo)圖形式、數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、科學(xué)研究態(tài)度三個(gè)方面進(jìn)行了研究，旨在以圖融數(shù)，讓數(shù)學(xué)課程更美一些。

一、借鑒思維導(dǎo)圖藍(lán)本，構(gòu)建數(shù)學(xué)課程美的形式

每一門學(xué)科都不是獨(dú)立存在的個(gè)體課程，或多或少都會(huì)包含其他學(xué)科的特色元素。例如，數(shù)學(xué)涉及畫圖即美術(shù)元素，數(shù)學(xué)涉及讀題即閱讀元素，數(shù)學(xué)涉及比賽成績即體育元素，數(shù)學(xué)涉及節(jié)約能源即德育元素，數(shù)學(xué)涉及用字母表示數(shù)即英語元素，等等。由此可見，如果割裂開來看一門學(xué)科教學(xué)是不科學(xué)的。有了這些多元的表達(dá)元素，數(shù)學(xué)課程的表達(dá)也得以多樣化，從而促進(jìn)學(xué)生能從多個(gè)維度學(xué)習(xí)邏輯抽象的數(shù)學(xué)課程。

在數(shù)學(xué)課程中嘗試進(jìn)行多樣化形式表達(dá)，讓每一個(gè)表達(dá)形式都存在各自的數(shù)值意義和美育價(jià)值。那么如何將繁多的文字表達(dá)、直觀的圖形、趣味的字母、特殊的符號、豐富的色彩等元素有效地融合在一起呢？如何構(gòu)建出一個(gè)有序、簡要、精準(zhǔn)表達(dá)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的有效模式？這樣的課程意義，是值得我們深入開發(fā)和進(jìn)行序列研究的，在這樣的場域之下，數(shù)學(xué)課程與思維導(dǎo)圖的有效融合就值得期待和推崇了。

在我組J老師的“多邊形的面積”復(fù)習(xí)課中，J老師從知識的梳理回顧序列中，為我們打開了一幅形式多樣、思維延展的融合美圖。

（1）形式多樣自然美。第一主干——專門回顧研究多邊形的面積。第一分支：常見多邊形有哪些？第二分支：你想研究這些多邊形的什么知識？（概念、面積、周長）。接著明確研究方向——回顧研究多邊形的面積。第三分支：多邊形面積公式以及如何推導(dǎo)公式，溝通這幾種圖形面積之間的聯(lián)系，進(jìn)行思維導(dǎo)圖的小分支圖建構(gòu)。第二主干——多邊形面積中的特殊關(guān)系。分三個(gè)分支進(jìn)行研究，分別是等底等高的平行四邊形和三角形、梯形的面積關(guān)系，等積等高的平行四邊形和三角形面積關(guān)系，等積等底的平行四邊形和三角形面積關(guān)系。第三主干——多邊形面積的萬能公式（梯形面積公式）。第一分支：演繹變化的梯形，發(fā)現(xiàn)只要上底與下底的和不變、高不變，多邊形面積就不變。第二分支：溝通長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形的面積公式，發(fā)現(xiàn)都可以用梯形面積公式來計(jì)算。隨著整堂課的結(jié)束，一根根粗細(xì)得當(dāng)?shù)牟噬€條、一塊塊布局分明的分支小圖、一整幅呈現(xiàn)多元元素的思維導(dǎo)圖躍然眼前。

（2）思維框架清晰美。在J老師的數(shù)學(xué)課程和思維導(dǎo)圖研究課中，我們似乎品味到了散文中“形散而神不散”的意味?？此粕y的課堂學(xué)習(xí)形式，卻始終緊緊圍繞著數(shù)學(xué)知識“多邊形面積”和“學(xué)生思維發(fā)展”雙向目標(biāo)進(jìn)行。從基本知識的回顧整理到延展多邊形面積內(nèi)部勾連知識，從常規(guī)的思考復(fù)習(xí)方式到結(jié)合思維導(dǎo)圖開放型自我復(fù)習(xí)，從雜亂無序到精準(zhǔn)有序的思維整理……一切都有條不紊地進(jìn)行。

學(xué)習(xí)思維導(dǎo)圖，引進(jìn)思維導(dǎo)圖，結(jié)合思維導(dǎo)圖進(jìn)行數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)合理建構(gòu)，將思維發(fā)展形式與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容完美結(jié)合，將前沿思維發(fā)展理論與數(shù)學(xué)課程實(shí)踐無縫對接，讓學(xué)生在一幅幅左右對稱、知識對應(yīng)的框架圖中，看到數(shù)學(xué)課程的結(jié)構(gòu)美;在色彩鮮明、箭頭指向小分支圖中，看到數(shù)學(xué)課程的色彩美;在多樣元素表征的思維導(dǎo)圖中，看到自我數(shù)學(xué)課程的融合美！

二、遷移思維導(dǎo)圖本質(zhì)，豐富數(shù)學(xué)課程美的內(nèi)容

數(shù)學(xué)知識不僅包括“客觀性知識”（如乘法運(yùn)算法則、三角形面積公式等），還包括從屬于學(xué)生自己的“主觀知識”，即帶有鮮明個(gè)體認(rèn)知特征的個(gè)人知識和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。如對“數(shù)”的作用認(rèn)識、解決某種數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣性方法等，可謂仁者見仁，智者見智。這類知識是學(xué)生可以個(gè)性化理解的，不能一味地判斷對錯(cuò)，只能說合適與否。由此可見，數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容也是包容萬象，各者兼可融合的。

本學(xué)期，有幸聆聽了數(shù)學(xué)課程中思維導(dǎo)圖研究領(lǐng)域?qū)＜依畋ダ蠋煹难芯空n和專題講座。筆者對于李保偉老師關(guān)于“分?jǐn)?shù)知識”這一數(shù)字領(lǐng)域的思維導(dǎo)圖課頗有感觸。李保偉老師從一個(gè)分?jǐn)?shù)引發(fā)了思維的發(fā)散研究，對分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)的讀寫、分?jǐn)?shù)的組成、比較分?jǐn)?shù)大小、分?jǐn)?shù)小數(shù)整數(shù)的轉(zhuǎn)化、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算、分?jǐn)?shù)的由來、解決分?jǐn)?shù)的實(shí)際問題、研究過程中的注意點(diǎn)（即強(qiáng)調(diào)內(nèi)容）等諸多方面進(jìn)行了梳理，脈絡(luò)清晰、支支分明。從本堂課的內(nèi)容來看，涉及了分?jǐn)?shù)概念、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算、分?jǐn)?shù)的歷史淵源、數(shù)學(xué)的思想方法、學(xué)習(xí)思維品質(zhì)諸多元素。從李保偉老師的思維導(dǎo)圖研究課中，我們見到了思維導(dǎo)圖和數(shù)學(xué)課程豐富內(nèi)容的緊密結(jié)合，更看到了數(shù)學(xué)課程內(nèi)容和思維導(dǎo)圖的有效融合。由李保偉老師的“分?jǐn)?shù)知識”思維導(dǎo)圖可聯(lián)想到：小數(shù)知識的思維發(fā)展、自然數(shù)的思維發(fā)展、整數(shù)的思維發(fā)展、近似數(shù)的思維發(fā)展……一張張看得到的數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖直觀展現(xiàn)了豐滿的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，迸發(fā)出數(shù)學(xué)課程和思維導(dǎo)圖的融合之美，同時(shí)也誘發(fā)了我們對思維導(dǎo)圖中看不到極限領(lǐng)域的無限探究欲望。

三、甄別思維導(dǎo)圖合理性，辯證助力數(shù)學(xué)課程美的發(fā)展

端正的研究態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)品質(zhì)，也是每一個(gè)數(shù)學(xué)課程執(zhí)行者行走著的動(dòng)力和宗旨。世間萬事萬物皆有發(fā)展規(guī)律，數(shù)學(xué)課程發(fā)展也不例外，學(xué)生思維能力的培養(yǎng)和思維品質(zhì)的發(fā)展更需要遵循辯證發(fā)展觀。關(guān)于數(shù)學(xué)課程與思維導(dǎo)圖的融合研究我們經(jīng)歷的不多，但是我們在思考，更在不斷地行走下去。

任何一個(gè)課程的研究都不是一蹴而就的，需要一個(gè)長效的機(jī)制。制訂切實(shí)可行的研究計(jì)劃，并隨著研究的有效展開，及時(shí)調(diào)整策略和修改研究的計(jì)劃。遵循數(shù)學(xué)課程中知識的科學(xué)發(fā)展序列，秉持認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难芯繎B(tài)度，從一個(gè)知識點(diǎn)到另一個(gè)知識生長點(diǎn)進(jìn)行知識的序列衍生，由一個(gè)點(diǎn)勾連起另一個(gè)點(diǎn)，星星點(diǎn)點(diǎn)成一線;一條線串聯(lián)起另一條線，線線連連成一網(wǎng);一張網(wǎng)配搭另一張網(wǎng)，網(wǎng)絡(luò)輻射無極限……這也是思維導(dǎo)圖和數(shù)學(xué)課程融合的一大價(jià)值體現(xiàn)。

在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)知識和解決實(shí)際問題的教學(xué)中，有的數(shù)學(xué)內(nèi)容可以結(jié)合思維導(dǎo)圖進(jìn)行有效融合。例如，數(shù)的知識序列、圖形面積序列、找規(guī)律等知識，就可以很好地結(jié)合思維導(dǎo)圖，進(jìn)行從主干到分支的思維延展鋪設(shè)，在一個(gè)個(gè)思維分支點(diǎn)中，形式和內(nèi)容迸射成一朵朵思維之花。但在數(shù)學(xué)課程與思維導(dǎo)圖的實(shí)際融合中，仍舊存在一些需要商榷的因素。第一，知識點(diǎn)跨度大。如，一冊書中的每一個(gè)單元、每一個(gè)知識，是否都可以串聯(lián)成一幅思維導(dǎo)圖？如果知識點(diǎn)的跨度比較大，對學(xué)生知識的掌握完整性方面還是存在一定影響的。第二，知識點(diǎn)的勾連。每一個(gè)知識點(diǎn)中是否存在數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系？這種存在的勾連是否經(jīng)得起推敲？如果僅僅是設(shè)計(jì)者（老師）一家之言，不一定能夠引發(fā)學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)共鳴，那么對于學(xué)生的思維發(fā)展促進(jìn)性就需要考量了。

數(shù)學(xué)來源于人類的創(chuàng)造，在人們創(chuàng)造數(shù)學(xué)的過程中，數(shù)學(xué)真理由一個(gè)個(gè)直接經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為間接經(jīng)驗(yàn)，并依賴一代一代人的重新演繹而傳承延續(xù)下來。皮亞杰說：“個(gè)體的認(rèn)識發(fā)展在一定意義上被看成整個(gè)人類認(rèn)識的發(fā)展在較小范圍內(nèi)的重演或縮影。”在再創(chuàng)造過程中，學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識的思維活動(dòng)就如同人類認(rèn)識發(fā)展的重新演繹。在這個(gè)傳承過程中，代代相傳的課程執(zhí)行者更有不可懈怠的責(zé)任和義務(wù)，為數(shù)學(xué)課程的研究不懈努力。

美國著名課程理論家派納和美術(shù)教育家艾斯納將課程解讀為一種包容性、開放性的文本，教師和學(xué)生都能夠?qū)ξ谋具M(jìn)行不同角度的解讀和不同形態(tài)的建構(gòu)，讓教育成為“自身經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)造者的歷程”，進(jìn)而“學(xué)會(huì)如何創(chuàng)造自己”，達(dá)到“美的生命境界”。嘗試依托思維導(dǎo)圖，讓學(xué)習(xí)者從不同角度對數(shù)學(xué)課程進(jìn)行不同形態(tài)的建構(gòu)，重在錘煉學(xué)習(xí)者對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的自我體驗(yàn)和重新創(chuàng)造，形成一個(gè)有序、有效的數(shù)學(xué)思維框架，達(dá)到數(shù)學(xué)課程和思維導(dǎo)圖的無限融合。實(shí)踐證明，跨越領(lǐng)域、引進(jìn)思維導(dǎo)圖的數(shù)學(xué)課程研究，能讓“教”與“學(xué)”從單一的數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)延伸搭配其他各科課程學(xué)習(xí)，讓學(xué)生透過支點(diǎn)相連的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)圖看到無極限的思維發(fā)展可能性，獲得直觀和抽象的有效融合感，架構(gòu)起數(shù)學(xué)課程中豐富多彩的思維導(dǎo)圖。

（責(zé)編 吳關(guān)玲）