二次函數(shù)中的最值問(wèn)題

最值問(wèn)題的研究，有著悠久的歷史。早在古希臘時(shí)，就研究了“等周問(wèn)題”。在歐幾里得的著作《幾何原本》中，實(shí)際上已證明了如下的最值問(wèn)題：具有相同周長(zhǎng)的矩形中，正方形的面積最大。研究函數(shù)的最值，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的基礎(chǔ)，是生活生產(chǎn)的必備工具。二次函數(shù)的最值問(wèn)題也是中考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，今天我們就一起來(lái)認(rèn)識(shí)一下吧。

初中階段確定二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）最值的方法：

方法1：將二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）配方化為y=a（x-h）2+k的形式，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=h。若a>0，y有最小值，當(dāng)x=h時(shí)，y最小值=k;若a<0，y有最大值，當(dāng)x=h時(shí)，y最大值=k。

方法2：直接利用頂點(diǎn)公式求其頂點(diǎn)為（[-b2a]，[4ac-b24a]），對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=[-b2a]。若a>0，y有最小值，當(dāng)x=[-b2a]時(shí)，y最小值=[4ac-b24a];若a<0，y有最大值，當(dāng)x=[-b2a]時(shí)，y最大值=[4ac-b24a]。

二次函數(shù)的圖像是一條拋物線(xiàn)，根據(jù)實(shí)際情況它的最值又分為以下幾種情況：

1.自變量x沒(méi)有范圍限制，可以取到整個(gè)實(shí)數(shù)。這時(shí)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y值是這個(gè)函數(shù)的最值，也就是說(shuō)，當(dāng)x取拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的值時(shí)，即x=[-b2a]時(shí)，所得的y值是這個(gè)函數(shù)的最值。

2.自變量x有范圍限制，它只能取到拋物線(xiàn)的一部分，這時(shí)需要判斷x能夠取到的范圍是否包括拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=[-b2a]。如果包括，那它的一個(gè)最值一定在對(duì)稱(chēng)軸處得到（最大值還是最小值要由a的正負(fù)判斷，a正就是最小值，a負(fù)就是最大值）。另外一個(gè)最值出現(xiàn)在所給范圍的端點(diǎn)，此時(shí)可以把兩個(gè)端點(diǎn)值都代入函數(shù)，分別計(jì)算y值，比較一下就可以。如果給的是代數(shù)形式，也可以用與對(duì)稱(chēng)軸距離的大小來(lái)判斷，與對(duì)稱(chēng)軸距離大的那個(gè)端點(diǎn)能夠取到最值。如果x的取值范圍不包括對(duì)稱(chēng)軸，則它的最值一定出現(xiàn)在范圍的端點(diǎn)處。當(dāng)a>0時(shí)，離對(duì)稱(chēng)軸最遠(yuǎn)的端點(diǎn)取得最大值，最近的端點(diǎn)取得最小值;當(dāng)a<0時(shí)，離對(duì)稱(chēng)軸最遠(yuǎn)的端點(diǎn)取得最小值，最近的端點(diǎn)取得最大值。

例1 （2018·黃岡）當(dāng)a≤x≤a+1時(shí)，函數(shù)y=x2-2x+1的最小值為1，則a的值為（）。

A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2

【分析】利用二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出當(dāng)y=1時(shí)x的值，結(jié)合當(dāng)a≤x≤a+1時(shí)函數(shù)有最小值1，即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論。

解：當(dāng)y=1時(shí)，有x2-2x+1=1，

解得：x1=0，x2=2。

∵當(dāng)a≤x≤a+1時(shí)，函數(shù)有最小值1，

∴a=2或a+1=0，

∴a=2或a=-1，

故選：D。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的最值，利用二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征找出相應(yīng)的值是解題的關(guān)鍵。

例2 （2018·濰坊）已知二次函數(shù)y=-（x-h）2（h為常數(shù)），當(dāng)自變量x的值滿(mǎn)足2≤x≤5時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為-1，則h的值為（）。

A.3或6 B.1或6

C.1或3 D.4或6

【分析】分h<2、2≤h≤5和h>5三種情況考慮：當(dāng)h<2時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出關(guān)于h的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論;當(dāng)2≤h≤5時(shí)，由此時(shí)函數(shù)的最大值為0與題意不符，可得出該情況不存在;當(dāng)h>5時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出關(guān)于h的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論。

解：當(dāng)h<2時(shí)，-（2-h）2=-1，

解得：h1=1，h2=3（舍去）;

當(dāng)2≤x≤5時(shí)，y=-（2-h）2的最大值為0，不符合題意;

當(dāng)h>5時(shí)，-（5-h）2=-1，

解得：h3=4（舍去），h4=6。

綜上所述：h的值為1或6。

故選：B。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的性質(zhì)，分h<2、2≤h≤5和h>5三種情況求出h值是解題的關(guān)鍵。

例3 （2017·樂(lè)山）已知二次函數(shù)y=x2-2mx（m為常數(shù)），當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，函數(shù)值y的最小值為-2，則m的值是（）。

A.[32]B.[2]

C.[32]或[2]D.[-32]或[2]

【分析】將二次函數(shù)配方成頂點(diǎn)式，分m<-1、m>2和-1≤m≤2三種情況，根據(jù)y的最小值為-2，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解。

解：y=x2-2mx=（x-m）2-m2，

①若m<-1，當(dāng)x=-1時(shí)，y=1+2m=-2，

解得：m=[-32];

②若m>2，當(dāng)x=2時(shí)，y=4-4m=-2，

解得：m=[32]<2（舍）;

③若-1≤m≤2，當(dāng)x=m時(shí)，y=-m2=-2，

解得：m=[2]或m=[-2]<-1（舍），

∴m的值為[-32]或[2]。

故選：D。

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的最值，根據(jù)二次函數(shù)的增減性分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵。

例4 （2019·鐵嶺）小李在景區(qū)銷(xiāo)售一種旅游紀(jì)念品，已知每件進(jìn)價(jià)為6元，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為8元時(shí)，每天可以銷(xiāo)售200件。市場(chǎng)調(diào)查反映：銷(xiāo)售單價(jià)每提高1元，日銷(xiāo)量將會(huì)減少10件。物價(jià)部門(mén)規(guī)定：銷(xiāo)售單價(jià)不能超過(guò)12元。設(shè)該紀(jì)念品的銷(xiāo)售單價(jià)為x（元），日銷(xiāo)量為y（件），日銷(xiāo)售利潤(rùn)為w（元）。

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式。

（2）要使日銷(xiāo)售利潤(rùn)為720元，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

（3）求日銷(xiāo)售利潤(rùn)w（元）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x為何值時(shí)，日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)。

【分析】（1）根據(jù)題意得到函數(shù)解析式;

（2）根據(jù)題意列方程，解方程即可得到結(jié)論;

（3）根據(jù)題意得到w=（x-6）（-10x+280）=-10（x-17）2+1210，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論。

解：（1）根據(jù)題意得，

y=200-10（x-8）=-10x+280。

（2）根據(jù)題意得，（x-6）（-10x+280）=720，解得：x1=10，x2=24（不合題意舍去）。

答：要使日銷(xiāo)售利潤(rùn)為720元，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為10元。

（3）根據(jù)題意得，w=（x-6）（-10x+280）=-10（x-17）2+1210，

∵-10<0，

∴當(dāng)x<17時(shí)，w隨x的增大而增大，當(dāng)x=12時(shí)，w最大=960。

答：當(dāng)x為12元時(shí)，日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)960元。

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程和二次函數(shù)的運(yùn)用，利用“總利潤(rùn)=單個(gè)利潤(rùn)×銷(xiāo)售數(shù)量”建立函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)一步利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題，解答時(shí)求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵。

總之，二次函數(shù)的最值問(wèn)題是一個(gè)在充分理解題意的基礎(chǔ)上，綜合運(yùn)用各種方法進(jìn)行解答的過(guò)程。通過(guò)這方面的學(xué)習(xí)，同學(xué)們能感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)、最值的合理。

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校）