定常黏性外流氣動(dòng)力分量的同源性及流場(chǎng)斷層掃描診斷原理

鄒舒帆, 吳介之

(北京大學(xué) 工學(xué)院 湍流與復(fù)雜系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100871)

0 引 言

減阻是外流空氣動(dòng)力學(xué)的基本任務(wù)之一，大飛機(jī)減阻是當(dāng)代航空技術(shù)的一個(gè)迫切需求。減阻的前提是對(duì)阻力主要組分做出正確的物理解釋和準(zhǔn)確的理論預(yù)測(cè)。在傳統(tǒng)流場(chǎng)診斷和減阻方案中采用的原則是線性分解、各個(gè)擊破和線性疊加，并據(jù)此選定合適的阻力分類方式，追溯阻力各組分的物理來源，尋找對(duì)應(yīng)的減阻措施[1]。例如，采用改變壁面條件來控制摩擦阻力[2]，采用吹吸氣抑制流場(chǎng)分離來控制壓差阻力[3]，采用翼梢小翼來控制誘導(dǎo)阻力，等等。在實(shí)際工程應(yīng)用中則把對(duì)各個(gè)阻力的相應(yīng)減阻方案結(jié)合起來以達(dá)到總體減阻的目標(biāo)。

但是，如我們最近的研究[4]評(píng)述的，當(dāng)前國內(nèi)外的減阻思路存在若干根本性弊病，普遍的問題包括：阻力分類不唯一，阻力成分占比預(yù)測(cè)不精確，總體減阻結(jié)果也并非各減阻措施的簡(jiǎn)單線性疊加。

其實(shí)，對(duì)于任意構(gòu)型的定常繞流(包括雷諾時(shí)均定常湍流)，在亞聲速情況下只有兩種阻力分解方式具有嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)[5]：第一種把物面應(yīng)力積分得到的總阻力D分解成壓差阻力Dp和摩擦阻力Df，其物理意義是清晰而無歧義的；第二種則用流場(chǎng)動(dòng)量平衡的體積分得到誘導(dǎo)阻力Di和型阻DP。這里的流場(chǎng)體積分可以轉(zhuǎn)換為外邊界的面積分，再通過選取合適的控制面簡(jiǎn)化為適當(dāng)尾流截面的積分。第一種分解方式是普適的，對(duì)任何物體在任何流動(dòng)條件下都成立，但無法將阻力與實(shí)際流場(chǎng)中的結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，故需轉(zhuǎn)向基于動(dòng)量平衡積分的第二種分解方式?？墒牵捎贑FD和EFD都無法分別單獨(dú)測(cè)量Di和DP，它們中至少一個(gè)必須先給出精確的理論定義 (另一個(gè)可由總阻力推出)才知道要測(cè)量或計(jì)算什么，其可靠性完全取決于理論的可靠性。理論好，則定義合理可信；若理論過于簡(jiǎn)化，則定義不準(zhǔn)，減阻措施打不中要害，而毛病何在卻是根據(jù)定義算不出測(cè)不到的?，F(xiàn)在工程中常用的誘導(dǎo)阻力公式均基于線化尾流模型，引入Trefftz平面假設(shè)，通過展向升力[6]或者尾流面上流向渦量分布[7]來確定誘導(dǎo)阻力。這些公式對(duì)小攻角大展弦比薄翼的附著流基本適用，但對(duì)真實(shí)的復(fù)雜流動(dòng)卻偏差很大。為此，Zou等[4]對(duì)該問題進(jìn)行了深入的研究，提出了三維不可壓縮定常黏性流動(dòng)中基于尾流積分的氣動(dòng)力分量精確理論。

這個(gè)理論仍基于傳統(tǒng)的線性思維，卻揭示了兩個(gè)無法回避的問題。一是在給定構(gòu)型和流動(dòng)條件下，型阻和誘導(dǎo)阻力不再是純數(shù)而是尾流截面位置的函數(shù)。Zou等[4]從理論和數(shù)值上確認(rèn)了該變化的趨勢(shì)，并查明了其隨尾流截面位置變化的物理根源。型阻和誘導(dǎo)阻力客觀性的喪失，使得尋找合適阻力分量測(cè)量位置、確認(rèn)減阻措施的有效性成了無法解決的難題。二是升力、型阻和誘導(dǎo)阻力是物理上同源的，可分別采用Lamb矢量的體積分或其矩的面積分來定義。Lamb矢量是所有氣動(dòng)力的核心。這個(gè)觀察在Wu等[8]的書中已初現(xiàn)端倪，但未系統(tǒng)追究。它的結(jié)論是：若要通過線性思維減少某阻力分量，必會(huì)對(duì)其余氣動(dòng)力分量產(chǎn)生影響。氣動(dòng)力分量的非客觀性和同源性使得原有的基于線性分解、各個(gè)擊破、線性疊加的傳統(tǒng)流動(dòng)診斷和減阻方案無法應(yīng)對(duì)真實(shí)非線性流場(chǎng)。

針對(duì)上述問題，我們提出了兩種不同的解決方案。方案一保留傳統(tǒng)氣動(dòng)力分解框架，給出附著流的誘導(dǎo)阻力中場(chǎng)近似。該方案兼顧了阻力分解的精確性和公式的易用性，適用于常規(guī)的大飛機(jī)氣動(dòng)設(shè)計(jì)。方案二突破傳統(tǒng)的阻力分解框架，構(gòu)造面向任意復(fù)雜構(gòu)型氣動(dòng)力診斷的新型斷層掃描技術(shù)，可稱為空氣動(dòng)力學(xué)CT，其理念來源于現(xiàn)代空氣動(dòng)力學(xué)理論。Wu等[9]述評(píng)了關(guān)于黏性可壓縮復(fù)雜流動(dòng)的現(xiàn)代空氣動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)理論及其CFD/EFD檢驗(yàn)，其中提出了現(xiàn)代空氣動(dòng)力學(xué)理論在近場(chǎng)可以分為三個(gè)不同的層次：速度壓力層次、結(jié)構(gòu)層次以及因果層次。所有這些層次的理論相互豐富，而非相互排斥。對(duì)于復(fù)雜流動(dòng)，不同層次的理論應(yīng)該聯(lián)合使用，并與 CFD/EFD 緊密結(jié)合。結(jié)合CFD/EFD的現(xiàn)實(shí)情況可知，非線性近場(chǎng)得到的數(shù)據(jù)是最為準(zhǔn)確的，也是利用有限的CFD/EFD數(shù)據(jù)進(jìn)行局部動(dòng)力學(xué)診斷和優(yōu)化的最佳場(chǎng)所。若需要，甚至可以將截面切入物體內(nèi)部.這種觀念上的解放，意味著不再糾結(jié)于尋找“客觀”的阻力分類方式，而是轉(zhuǎn)向研究流場(chǎng)結(jié)構(gòu)與氣動(dòng)力的直接聯(lián)系并追溯其在壁面的產(chǎn)生根源。

本文介紹筆者的課題組基于上述認(rèn)識(shí)的研究成果。為敘述方便完整起見，本文第 1節(jié)回顧Zou等[4]的研究成果，第2節(jié)系統(tǒng)闡述氣動(dòng)力分量的同源性及其本征機(jī)理，第3節(jié)提出空氣動(dòng)力學(xué)CT技術(shù)，展示新的進(jìn)展。本文僅限于不可壓流。

1 定常黏性不可壓外流的氣動(dòng)力分解理論及緊致中場(chǎng)近似

考慮一個(gè)繞任意飛行器的三維定常黏性流動(dòng)，均勻來流速度為U=Uex，飛行器B的外邊界為?B。圖 1定義了固定于飛行器的坐標(biāo)系(x,y,z)，流向坐標(biāo)x的原點(diǎn)位于機(jī)翼前緣，并列出了下面將用到的標(biāo)記：控制面∑包圍了流體區(qū)域Vf以及飛行器B，因此V=Vf∪B。流體域外邊界?Vf的單位法向量指向流體外部。在大雷諾數(shù)下，∑上的黏性力可以忽略。控制面∑僅在尾流處切割渦量場(chǎng)，其前面和側(cè)面上的流動(dòng)是無黏無旋的。尾流中的渦量ω≠0僅僅在尾流面上很小的一個(gè)區(qū)域Wv?W內(nèi)存在。本文所有物理量均采用來流速度U、機(jī)翼弦長(zhǎng)c以及機(jī)翼面積S無量綱化。

圖1 流體分析區(qū)域以及標(biāo)記

首先回顧當(dāng)前常用的定常不可壓層流誘導(dǎo)阻力和型阻公式(時(shí)均湍流中的公式只需略加修改)，再簡(jiǎn)述精確的一般理論，探討氣動(dòng)力客觀性喪失的物理根源，最后提出保留傳統(tǒng)氣動(dòng)力分解框架的誘導(dǎo)阻力中場(chǎng)近似。

1.1 常用型阻和誘導(dǎo)阻力公式

采用尾流積分(W-積分)定義的型阻是清晰且明確的[10-11]：

(1)

其中P=p+ρ|u|2/2是總壓，p、ρ和u分別是壓強(qiáng)、密度和速度。式(1)適用于任何飛行器的定常繞流。與此相反，誘導(dǎo)阻力Di的尾流積分表達(dá)式卻并不唯一。在當(dāng)前的工程應(yīng)用中，有兩個(gè)簡(jiǎn)單的Di定義公式。一個(gè)是經(jīng)典的Prandtl[6,12]公式，無黏且DP=0,

(2)

其中Λ和An分別是展弦比和升力展向分布的Fourier展開系數(shù)。對(duì)于橢圓升力分布，δ=0，從而得到單個(gè)機(jī)翼的最小誘導(dǎo)阻力。另一個(gè)是Maskell公式[7]，可用于黏流:

(3)

其中ωx是流向渦量,2ψx=-ωx,r=yey+zez是遠(yuǎn)場(chǎng)Trefftz平面T上的位置矢量。公式(2)和公式(3)均基于線化尾流模型，在尾流截面上只保留流向渦量ω=(ωx,0,0)。該假設(shè)使得公式(2)和公式(3)在小攻角大展弦比薄翼的附著流中基本適用[13]，但Zou等[4]指出它們?cè)谡鎸?shí)復(fù)雜流動(dòng)中有較大偏差。

過去30年中，如何定義一般流動(dòng)情況下的誘導(dǎo)阻力一直是個(gè)非常活躍的研究領(lǐng)域[5,14-22]。在這些討論中，Di的另一個(gè)通用公式常作為研究的起點(diǎn)。令u=U+v=(U+u′,v,w)，有[5,16-22]

(4)

其中k=|v|2/2是擾動(dòng)動(dòng)能。然而，公式(4)僅僅意味著誘導(dǎo)阻力可以表示為被尾流對(duì)流帶走的擾動(dòng)動(dòng)能減去流向擾動(dòng)動(dòng)量，物理含義含糊，而且被積函數(shù)在尾流中彌散。這個(gè)公式不適用于實(shí)際的尾流測(cè)量?，F(xiàn)有的理論推導(dǎo)(可壓縮流動(dòng))主要采用攝動(dòng)方法，Maskell公式(3)則被證明是個(gè)一階近似[16]?？偟膩砜?，在非線性黏性流動(dòng)中如何精確定義誘導(dǎo)阻力并解釋其物理含義，一直沒有顯著的進(jìn)展，這也導(dǎo)致了對(duì)整個(gè)誘導(dǎo)阻力預(yù)測(cè)理論“長(zhǎng)期存在的不滿”(Spalart[22])。

1.2 型阻與誘導(dǎo)阻力的精確定義

為精確定義基于尾流積分的阻力分量，通常從動(dòng)量方程出發(fā)，方程(4)就是其中的一個(gè)結(jié)果。其實(shí)，誘導(dǎo)阻力的概念和理論源于Prandtl[6]，但很少人注意到在同一篇論文中，Prandtl 已經(jīng)給出了定常無黏流升阻力的一般渦力理論，其誘導(dǎo)阻力公式僅是這個(gè)理論在升力線近似下簡(jiǎn)化到最低階的解析表示。Wu等[8]在Prandtl渦力理論的基礎(chǔ)上，將其進(jìn)一步拓展到了黏性流動(dòng)中，并采用體積分以及尾流截面積分，分別給出了誘導(dǎo)阻力和型阻的精確的一般定義式：

(5)

≡DP0+DP1

(6)

公式(5)是一個(gè)具有明確物理意義的緊致積分，Marongiu等[13]已用數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了它的正確性。它可以嚴(yán)格地轉(zhuǎn)換為公式(4)，說明誘導(dǎo)阻力的體積分定義和W上的非緊致積分等價(jià)。公式(6)則是從公式(1)直接通過導(dǎo)數(shù)矩變換得來，兩者也等價(jià)。此式表明，型阻的物理載體是物體定常運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的Lamb矢量場(chǎng)的矩，積分區(qū)域是緊致的。這對(duì)于物理理解、精確計(jì)算測(cè)量和流動(dòng)診斷具有極其重要的作用。

為了實(shí)際計(jì)算和測(cè)量的方便，積分區(qū)域應(yīng)越小越好。型阻的一般定義式(6)滿足該需求，而誘導(dǎo)阻力的一般定義式(5)可進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為尾流截面積分，但留下明顯依賴于x的非緊致項(xiàng)：

(7)

對(duì)于上述嚴(yán)格的三維黏性尾流截面積分理論，Zou等[4]的論文中采用兩個(gè)典型的定常流計(jì)算結(jié)果——雷諾Re=1×105、攻角α=4°的繞Xt=1.0橢圓機(jī)翼的附著流以及Re=5×105、α=20°的繞后掠角χ=76°細(xì)長(zhǎng)三角翼的分離流——分別驗(yàn)證了其在附著流和分離流中的準(zhǔn)確性與有效性。具體細(xì)節(jié)可以參閱該論文，在此我們只關(guān)注型阻DP和誘導(dǎo)阻力Di與總阻力D隨x的演化關(guān)系，如圖2所示。由公式(6)+公式(7)計(jì)算出的總阻力與壁面應(yīng)力積分計(jì)算出的結(jié)果符合得很好，兩者最大的相對(duì)誤差小于2%。我們發(fā)現(xiàn)在近尾流區(qū)域，Di和DP都是x相關(guān)的。橢圓機(jī)翼的Di和DP在機(jī)翼尾緣隨x變化較大，但隨后便基本保持不變。但是，三角翼的DP一直單調(diào)上升，而Di最初占據(jù)了D的絕大部分并在后緣附近達(dá)最大值，然后單調(diào)減少，這導(dǎo)致在中場(chǎng)以后DP占了D的絕大部分。已有理論證明[14,23-25]，隨x→∞，有Di→0,DP→D。

(a)橢圓機(jī)翼，Λ=7,Re=1×105, α=4°

(b)三角翼，χ=76°,Re=5×105, α=20°

1.3 氣動(dòng)力分量x依賴性的物理根源

1.2節(jié)從理論和數(shù)值兩個(gè)方面確認(rèn)了：氣動(dòng)力分量總是具有x依賴性；這種依賴性在附著流中比較弱，即在近尾流比較明顯，而在遠(yuǎn)尾流基本可以認(rèn)為不存在；但在定常分離流中卻很強(qiáng)：在近尾流和遠(yuǎn)尾流都有著明顯的體現(xiàn)。

進(jìn)而，Zou等[4]找到Di和DP的x依賴性根源。在運(yùn)動(dòng)學(xué)上，對(duì)公式(5)沿x方向求導(dǎo)，可得：

(8)

這表明誘導(dǎo)阻力隨x的變化取決于尾流截面上的擾動(dòng)Lamb矢量的x分量積分。若將擾動(dòng)速度和渦量分解為v=vxex+vπ,ω=ωxex+ωπ，下標(biāo)π代表著尾流W截面上的切向向量，有

ex·(v×ω)=ex·(vπ×ωπ)

(9)

因此，只要在W(x)上vπ×ωπ≠0，從尾流平面上算得的誘導(dǎo)阻力肯定是x依賴的。在動(dòng)力學(xué)上，x依賴性可從物體做功和流體區(qū)域Vf的動(dòng)能變化求得：

(10)

現(xiàn)在的問題是：在可接受的誤差范圍內(nèi)是否存在一個(gè)尾流區(qū)間，使dDi/dx=-dDp/dx?0？這個(gè)關(guān)鍵判據(jù)可以用來檢驗(yàn)誘導(dǎo)阻力和型阻是否可以被視為與尾流截面位置無關(guān)的常數(shù)。1.2節(jié)的計(jì)算結(jié)果表明，這個(gè)問題的答案取決于具體物體構(gòu)型和流動(dòng)條件。粗略地說，完全附著流中的阻力分量可以視為常數(shù)，而分離流中的阻力分量必然是尾流截面位置的函數(shù)。后者涵蓋了比前者更廣泛的物體構(gòu)型和流動(dòng)條件，包括繞機(jī)翼機(jī)身組合體到整個(gè)飛機(jī)的定常流動(dòng)。

1.4 誘導(dǎo)阻力的緊致中場(chǎng)近似

前已說明，x依賴性的存在使得選取合適的位置測(cè)量誘導(dǎo)阻力和型阻成了一個(gè)關(guān)鍵問題。由式(10)可知，在此尾流位置上必須忽略耗散。根據(jù)上述分析，這在近尾流和遠(yuǎn)尾流都是不可能的，唯一的選擇是兩者之間的弱非線性區(qū)域，稱之為中場(chǎng)尾流區(qū)。在其中的尾流平面W上，誘導(dǎo)阻力所固有的核心非線性效應(yīng)即擾動(dòng)Lamb矢量v×ω應(yīng)該保留下來。最終可把公式(7)簡(jiǎn)化為比公式(2)和公式(3)準(zhǔn)確的緊致中場(chǎng)近似：

(11)

(a)橢圓機(jī)翼

(b)三角翼

2 合力組分的物理同源性與縱橫分解

回顧誘導(dǎo)阻力公式(5)和型阻公式(6)，并考慮渦力理論中升力的公式

L=L0+L1

(12)

可以看出，型阻的線性項(xiàng)DP0和線性升力L0一樣，來自線化Lamb矢量U×ω；型阻的非線性項(xiàng)DP1與非線性升力L1以及誘導(dǎo)阻力Di一樣，來自非線性Lamb矢量v×ω。它們之間的關(guān)系如圖4所示。

圖4 合力各組分的物理同源性示意圖

這個(gè)觀察表明，定常物體運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的Lamb矢量場(chǎng)u×ω及其演化是理解所有氣動(dòng)力分量的關(guān)鍵。誘導(dǎo)阻力與升力和型阻本征相關(guān)，說明對(duì)它們必須做一體化考慮，很難分割開來實(shí)施優(yōu)化。以三角翼尾流為例，如圖5所示，在x=1.2截面，尾渦對(duì)不僅提供了升力，也同時(shí)提供了Di和Dp。

為了深入理解升阻力各分量的同源性和本征關(guān)聯(lián)，我們從 Lamb矢量的縱橫分解以及其發(fā)展演化入手。眾所周知，任意一個(gè)分片可微的向量場(chǎng)f可以分解為一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度和一個(gè)向量場(chǎng)的旋度之和，即著名的Helmholtz分解定理：

f=φ+×ψ,·ψ=0

(13)

φ和ψ稱為f的標(biāo)量勢(shì)和向量勢(shì)。它們代表的流動(dòng)過程分別稱為縱過程和橫過程，因此 Helmholtz 分解也叫縱橫分解。如果勢(shì)函數(shù)本身也是可測(cè)的物理量，則稱此縱橫分解為自然的，十分可貴。對(duì)于 Lamb矢量l=ω×u，Wu等[27]指出它有自然的 Helmholtz 分解

(a)ωx

(b)ρex·(v×ω)

(c)ρez·(u×ω)

(d)0.5ρr·(u×ω)

l=l‖+l⊥=-P-×(νω)

l‖=-P,l⊥=-×(νω)

(14)

可見，縱Lamb矢量l‖與總壓梯度平衡，總壓就是Lamb矢量的標(biāo)量勢(shì)。正因如此，可以將型阻的面積分轉(zhuǎn)換成Lamb的矩的積分.對(duì)上述方程兩邊在Vf中進(jìn)行積分，將梯度項(xiàng)變換成面積分，并分別在x方向投影得到:

(15)

(16)

這里τ=μω×n是切應(yīng)力。因此，縱Lamb矢量l‖的x分量體積分代表著壁面壓差阻力與流場(chǎng)型阻的差。這個(gè)體積分也可以寫為-Di‖。橫 Lamb矢量l⊥的體積分完全提供了壁面摩擦力，它又是誘導(dǎo)阻力的橫分量。因此，Lamb矢量的縱橫部分將壁面的應(yīng)力與流域/尾流積分的定義簡(jiǎn)潔而明確的聯(lián)系起來，如圖6所示。

圖6 基于Lamb矢量縱橫分解的總阻力及其分量示意圖

Wu等[27]還觀察到，Lamb矢量完全由橫分量l⊥以及其全場(chǎng)效應(yīng)所驅(qū)動(dòng) (非定常時(shí)還包括歷史積累效應(yīng))。正是這種非線性的全場(chǎng)效應(yīng)導(dǎo)致了包括湍流在內(nèi)的各種旋渦流動(dòng)的極為復(fù)雜的演化。橫分量l⊥變化引起了縱分量l‖的被動(dòng)變化，它類似于壓力梯度的行為。然而，與壓力本身不同的是，由于l‖=-P中包含動(dòng)能，所以它受擴(kuò)散方程的控制。該現(xiàn)象與型阻和黏性擴(kuò)散之間的內(nèi)稟物理關(guān)聯(lián)一致。

3 空氣動(dòng)力學(xué)斷層掃描技術(shù)

第1節(jié)指出了傳統(tǒng)阻力分解的種種困難，說明只對(duì)附著流可以建立合理的中場(chǎng)近似。第2節(jié)發(fā)現(xiàn)在所有的氣動(dòng)力分量在物理上同源于 Lamb矢量的體積分或矩積分，升力以及阻力分量無法分割開來實(shí)施優(yōu)化。若要考慮更加復(fù)雜的構(gòu)型(如全機(jī)或嶄新氣動(dòng)概念飛行器)的氣動(dòng)設(shè)計(jì)，就需要突破傳統(tǒng)的阻力分解框架，構(gòu)建新型的技術(shù)路線。本節(jié)旨在為這個(gè)根本性的創(chuàng)新提供一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

3.1 空氣動(dòng)力學(xué)斷層掃描診斷的理論基礎(chǔ)

和對(duì)升力來源的認(rèn)識(shí)發(fā)展一樣，研究阻力也需要突破線性分解、各個(gè)擊破、線性疊加的傳統(tǒng)思維和用速度、動(dòng)能解釋誘導(dǎo)阻力的籠統(tǒng)認(rèn)識(shí)，樹立整體的、相互作用的思維，從速度、動(dòng)能追問到具體的流動(dòng)結(jié)構(gòu)及其產(chǎn)生機(jī)制?；谶@一考量，結(jié)合CFD/EFD的現(xiàn)實(shí)情況可知，非線性近場(chǎng)得到的數(shù)據(jù)是最為準(zhǔn)確的，也是利用有限的CFD/EFD數(shù)據(jù)進(jìn)行局部動(dòng)力學(xué)診斷和優(yōu)化的最佳場(chǎng)所。因此，研究的對(duì)象應(yīng)由速度、動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)閷?dǎo)致升阻力的緊致 Lamb矢量場(chǎng)的縱橫部分在近場(chǎng)的非線性演化特性，并追溯其產(chǎn)生機(jī)制。如圖7所示，尾流截面甚至可以切入物體內(nèi)部，將Lamb矢量場(chǎng)及其相關(guān)邊界量隨流向x或展向y的截面積分變化(可拓展到任選方位的截面族)作為診斷和溯源的重要線索。

圖7 近場(chǎng)空氣動(dòng)力學(xué)CT截面示意圖

這種通過掃描、切片得到一系列流動(dòng)結(jié)構(gòu)的截面數(shù)據(jù)并進(jìn)行局部流場(chǎng)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析，并結(jié)合邊界渦量流追溯其產(chǎn)生機(jī)制的技術(shù)，我們稱為空氣動(dòng)力學(xué)斷層掃描技術(shù) (亦即空氣動(dòng)力學(xué)CT 技術(shù))。

為此，我們首先寫出一般不可壓定常黏性流動(dòng)的空氣動(dòng)力學(xué)CT渦力公式為：

(17)

其中：

分別為外邊界項(xiàng)以及物面邊界項(xiàng)，σ=μ?ω/?n，m=2或3，m為空間維數(shù)。與通常的不可壓縮渦力理論[28]相比，出現(xiàn)了由于切割物體產(chǎn)生的線積分項(xiàng)FSB。

若把基于尾流截面積分的氣動(dòng)力公式推廣至空氣動(dòng)力學(xué)CT中，也會(huì)出現(xiàn)相應(yīng)的邊界積分，在此不再贅述。

上述兩種理論屬于結(jié)構(gòu)層次[9]，它只關(guān)注流動(dòng)結(jié)構(gòu)如何決定氣動(dòng)力，并不關(guān)注流動(dòng)結(jié)構(gòu)如何形成。后一個(gè)問題涉及復(fù)雜的因果關(guān)系鏈條，其最主要和最基本的機(jī)理是渦量如何在壁面產(chǎn)生[9]，因此還需要考慮基于邊界渦量流的合力積分公式，它在三維流中是:

(18)

其中：

σp=n×p,σvis=μ(n×)×ω

邊界渦量流σ=σp+σvis(簡(jiǎn)寫為 BVF)衡量了單位面積的壁面在單位時(shí)間內(nèi)由于無滑移條件產(chǎn)生并擴(kuò)散進(jìn)入流體內(nèi)部的渦量大小。它代表著由于黏附性條件而通過切向壓力梯度產(chǎn)生渦量的機(jī)制，因此也展現(xiàn)了兩個(gè)基本過程——縱橫過程——在邊界上的黏性與線性耦合。壁面是產(chǎn)生渦量的地方，因此也是最初形成 Lamb矢量的地方。雖然由于黏附條件而在靜止邊界上有u=0從而l=0，但其縱場(chǎng)和橫場(chǎng)部分并不分別為0，而是在壁面有:

ρl⊥+μ×ω=0,ρl‖+p=0

(19)

Wu等[27]已經(jīng)推導(dǎo)出不可壓縮流動(dòng)的Lamb矢量輸運(yùn)方程。該方程有一個(gè)擴(kuò)散項(xiàng)μ2l的體積分，可以轉(zhuǎn)換成邊界積分μn·l，該形式與BVF相似且密切相關(guān)?？梢缘玫絃amb矢量的縱橫分量在壁面上與BVF 之間的關(guān)系：

ρn×l⊥=-ρn×l‖=-μ(n×)×ω=n×p=σ

(20)

ρn·l⊥=-ρn·l‖=-μ(n×)·ω=n·p

(21)

可見，橫向Lamb矢量在壁面的切向分量即為BVF，法向分量為法向壓力梯度。在壁面產(chǎn)生的橫向Lamb矢量首先通過擴(kuò)散進(jìn)入流體內(nèi)部靠近邊界的黏性子層中，因?yàn)樵搮^(qū)域有著很強(qiáng)的黏性作用。

具體應(yīng)用空氣動(dòng)力學(xué)CT時(shí)，可遵循Wu等[9]的建議：面對(duì)特定的流動(dòng)問題，首先考察全局流場(chǎng)，然后更多地關(guān)注局部結(jié)構(gòu)和過程，最后查明其物理原因。為了獲得流場(chǎng)多層次的視野，需要把所有可能層次的理論有機(jī)地結(jié)合起來使用，且與CFD/EFD得到的精確數(shù)據(jù)結(jié)合。為了展示空氣動(dòng)力學(xué)CT的具體應(yīng)用，下一節(jié)將以第2節(jié)中的細(xì)長(zhǎng)三角翼分離流為例，在相同的計(jì)算參數(shù)下，對(duì)其升阻力進(jìn)行流場(chǎng)診斷，并據(jù)此提出新的概念性的增升減阻方案。

3.2 基于空氣動(dòng)力學(xué)CT的流場(chǎng)診斷

先從全局流場(chǎng)的角度來檢查三角翼在不同攻角情況下升阻力的變化曲線，如圖8所示。圖8(a)表明，升力基本是線性增長(zhǎng)，而阻力按二次曲線增長(zhǎng)。因此升阻比L/D一開始急劇增長(zhǎng)，在α=4°時(shí)達(dá)到了最大值。此后L/D一直下降并逐漸平緩。

為了定量的探討氣動(dòng)力隨攻角的變化關(guān)系，取α=4°以及α=20°兩個(gè)代表性的算例進(jìn)行分析。在結(jié)構(gòu)層次的理論中，氣動(dòng)力的變化與渦息息相關(guān)。流動(dòng)結(jié)構(gòu)在空間中并不是均勻分布的，參照Yang等[29]的方法，將流場(chǎng)分為三個(gè)區(qū)：區(qū)域I(Region I)是下表面以下區(qū)域，區(qū)域III(Region III)是脫體渦區(qū)，區(qū)域II(Region II)是兩者中間的上表面近壁區(qū)。

(a)升阻力系數(shù) (b)升阻力

圖9 流場(chǎng)分區(qū)示意圖(背景為α=20°時(shí)細(xì)長(zhǎng)三角翼x/c=0.8截面ωx云圖)

當(dāng)然更好的方式是將脫體渦單獨(dú)隔離出來計(jì)算。但數(shù)值結(jié)果表明，只要保證上表面近壁區(qū)處于區(qū)域II 中，其值就很穩(wěn)定。連接集中渦與近壁層的剪切層對(duì)升阻力貢獻(xiàn)都較小。值得注意的是，這種分區(qū)并不意味著各區(qū)域的效果是獨(dú)立的：近壁區(qū)產(chǎn)生的渦量從翼尖分離進(jìn)入流場(chǎng)形成自由剪切層，它進(jìn)而卷繞成集中的脫體渦；而集中渦又會(huì)反過來影響上翼面近壁區(qū)的流場(chǎng)，誘導(dǎo)出二次渦。這種渦結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生和誘導(dǎo)都是相互的，因此空間上的分解是對(duì)結(jié)果的描述，而不是原因。真實(shí)的物理原因需要進(jìn)一步采用動(dòng)理學(xué)的公式追溯流場(chǎng)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的因果關(guān)系。

現(xiàn)在采用渦力理論進(jìn)行分析。圖10 顯示了近壁區(qū)域 (Region I+II)與脫體渦區(qū)域 (Region III)在不同攻角下升力隨著流向的變化曲線。圖中每個(gè)區(qū)域的升力采用渦力公式(17)計(jì)算，三個(gè)區(qū)域相加得到的升力與采用壁面積分得到的升力曲線幾乎完全一致，充分驗(yàn)證了公式的正確性和計(jì)算結(jié)果的精確性。

(a)α=4° (b)α=20°

α=4°時(shí)，升力系數(shù)一直沿流向持續(xù)增加，尾緣部分的增速只稍微降低。且由于不存在脫體渦，近壁區(qū)域提供了全部升力。α=20°時(shí)，升力系數(shù)在到達(dá)尾緣之前一直持續(xù)增加，但在尾緣部分其增速幾乎為0。與小攻角不同，脫體渦也提供了一部分升力。x較小時(shí)，前緣渦與近壁區(qū)比較接近，兩個(gè)區(qū)域?qū)狭Φ呢暙I(xiàn)不能完全區(qū)分開來。但總體來說，近壁區(qū)提供了80%左右的升力，而脫體渦提供了 20%左右的升力。隨x增大，前緣渦不斷加強(qiáng)，提供的升力逐漸線性化并占總升力的更高比例。到了尾緣附近，前緣渦提供的升力仍然穩(wěn)定增長(zhǎng)，而近壁區(qū)提供的升力則略有下降。最終前緣渦給整個(gè)機(jī)翼提供了大約 40%的升力，近壁區(qū)提供了大約 60%的升力。這與 Yang等[29]的結(jié)論定性上一致。

除了沿流向引入不同的橫流切片外，還可以沿展向引入不同的流向切片觀察升力的展向分布，如將機(jī)翼分為寬度為y=0.05的條帶，對(duì)每條條帶進(jìn)行積分。由于各條帶的面積不同，內(nèi)翼面區(qū)域顯然積分面積更大，為避免誤解，可以考慮單位面積的升力系數(shù)Cl(y)/S(y)隨y的變化曲線，如圖11所示。

(a)α=4° (b)α=20°

α=4°時(shí)，單位面積產(chǎn)生的渦升力隨著|y|的增大而增大，在外翼面區(qū)域達(dá)到最大值。但當(dāng)α=20°時(shí)，Cl(y)/S(y)隨著|y|的增大先增加后減小，峰值在|y|≈0.1附近，靠近前緣渦的渦心位置?？倖挝幻娣e渦升力曲線的變化來源于近壁區(qū)與脫體渦產(chǎn)生的渦升力之間的競(jìng)爭(zhēng)。脫體渦產(chǎn)生的Cl(y)/S(y)隨著|y|的增大先保持不變，然后急劇增大，并且在外翼面達(dá)到最大值。曲線急劇增長(zhǎng)的位置與脫體渦的位置是相關(guān)的。而近壁區(qū)產(chǎn)生的Cl(y)/S(y)隨著|y|的增大先輕微變大，然后迅速變小。其曲線變化的位置與脫體渦曲線的變化位置是一致的。

通過解剖兩個(gè)特征攻角下的流動(dòng)結(jié)構(gòu)對(duì)升力系數(shù)貢獻(xiàn)沿流向和展向的變化，可以發(fā)現(xiàn)造成三角翼升阻比下降的主要流動(dòng)結(jié)構(gòu)位于尾外翼面處。由于在兩個(gè)算例中機(jī)翼下表面均未發(fā)生分離，可以斷定上翼面的結(jié)構(gòu)是產(chǎn)生升阻比下降的主要原因。

為了進(jìn)一步鎖定該流動(dòng)結(jié)構(gòu)，還需考慮尾流截面型的氣動(dòng)力公式。公式(12)中第一項(xiàng)線性升力L0可轉(zhuǎn)換為尾流截面積分形式：

(22)

圖12是L0的被積函數(shù)在靠近機(jī)翼尾緣的橫截面上分布的云圖。由圖可見，上表面的|y|≈0.2處，正是主渦誘導(dǎo)的二次渦結(jié)構(gòu)在近壁區(qū)產(chǎn)生負(fù)升力的地方，與渦力理論的結(jié)果一致。正是由于該結(jié)構(gòu)的存在，使得近壁區(qū)的升力不再繼續(xù)增長(zhǎng)。

圖12 α=20°,細(xì)長(zhǎng)三角翼x/c=0.9處線性升力L0云圖

圖13展示了α=20°細(xì)長(zhǎng)三角翼上表面BVF型公式(18)給出的阻力和升力被積函數(shù)云圖。顯然，二次渦是在壁面上產(chǎn)生負(fù)升力的機(jī)制，而該二次渦也同樣產(chǎn)生了大量阻力。圖14進(jìn)一步給出代表型阻的總壓損失沿展向變化。顯然，二次渦不僅產(chǎn)生負(fù)升力還造成總壓損失的大峰值。

(a)-ex·(x×σp)/2

(b)ex·(x×σp)/2

圖14 型阻總壓損失C(P∞-P)在x/c=0.6截面沿機(jī)翼邊界的分布

3.3 基于空氣動(dòng)力學(xué)CT的概念性設(shè)計(jì)

若僅從線性的設(shè)計(jì)思路出發(fā)，要增升減阻只需簡(jiǎn)單的切掉尾緣附近的翼尖，使得二次渦沒有產(chǎn)生的機(jī)會(huì)。但對(duì)于大雷諾數(shù)下大攻角分離流來說，壁面上壓強(qiáng)產(chǎn)生的力占主導(dǎo)，此時(shí)對(duì)于任意形狀的平板可以很簡(jiǎn)單的證明如下關(guān)系式：

(23)

因此線性設(shè)計(jì)思路無法幫助我們提高升阻比。

(a)Case 4

(b)Case 5

(c)Case 6

圖16 不同曲面三角翼截面曲線

Case 4為圓弧曲線，Case 5采用曲率更大的兩個(gè)半圓弧拼接，Case 6采用樣條曲線。仍按α=20°、Re=5×105的流動(dòng)參數(shù)計(jì)算。計(jì)算的升阻力系數(shù)以及升阻比結(jié)果如表1所示。

Case 4的升力增加，阻力有少許增加，升阻比增加了一些，但變化不大，說明這個(gè)方法可能有效。Case 5的升力減小了14%，但阻力減少了34%，升阻比提高了31%，這是由于其沿展向的大曲率基本上把將二次渦完全去掉了。這個(gè)改進(jìn)太過激進(jìn)。我們吸收了 Case 4和Case 5的優(yōu)點(diǎn)，重新設(shè)計(jì)了 Case 6的曲線?？梢钥闯?，升力基本沒變，但阻力減小了10%，從而使得升阻比也增加了10%。

表1 不同曲面三角翼氣動(dòng)力系數(shù)表

三個(gè)算例的升力基本沒變，且σp的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)大于σvis，因此可以采用邊界型渦力公式來追蹤σp以闡述阻力減小導(dǎo)致升阻比增加的原因。圖15同時(shí)展示了邊界型公式中阻力被積函數(shù)-ex·(x×σp)/2的云圖。與圖13(a)對(duì)比，Case 4的阻力分布變化不大，在尾緣處仍有很大的阻力貢獻(xiàn)。雖然機(jī)翼前部和中部的阻力減少，但總阻力基本不變。Case 5中的阻力明顯減小，只在尾緣部分區(qū)域中出現(xiàn)阻力貢獻(xiàn)，在尾緣外翼部基本沒有阻力。在翼中部還出現(xiàn)了明顯的推力，這說明該設(shè)計(jì)明顯減少了σp，從而減少了對(duì)阻力的貢獻(xiàn)。美中不足的是σp減少的太多，也導(dǎo)致了升力的減小。Case 6中阻力與圖13(a)對(duì)比，在尾緣處的阻力貢獻(xiàn)區(qū)域有所減小，在翼型中段的阻力減少得更多，而且分布更加均勻。這也證明了這種設(shè)計(jì)能通過減少壁面切向壓力梯度沿阻力方向的投影，進(jìn)而減少阻力。三種翼型下表面均是附著流動(dòng)，其壓力以及壓力梯度分布均可用勢(shì)流解來估計(jì)，與原方案的阻力系數(shù)差別不大。

當(dāng)然，以上探索還只是基于對(duì)機(jī)翼和流場(chǎng)的初步認(rèn)識(shí)，尚未提供優(yōu)化設(shè)計(jì)的系統(tǒng)理論方案。這也是今后需要進(jìn)一步探究和深化的方向。

4 結(jié) 論

傳統(tǒng)空氣動(dòng)力學(xué)流場(chǎng)診斷和減阻方案往往采用線性分解、各個(gè)擊破的思路。Zou等[4]發(fā)現(xiàn)上述思路并不能有效地處理真實(shí)復(fù)雜流動(dòng)。我們發(fā)現(xiàn)物體定常運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的Lamb矢量場(chǎng)ω×u及其演化，是制約所有氣動(dòng)力分量的關(guān)鍵物理載體。Lamb矢量可自然的分解為縱橫兩個(gè)部分。橫Lamb矢量體積分的x分量(即誘導(dǎo)阻力的橫分量)完全提供了壁面摩擦力；縱Lamb矢量體積分的x分量(即誘導(dǎo)阻力的縱分量)提供了壓差阻力和型阻之差。這意味著采用線性思維，單獨(dú)減少特定阻力分量的思路，會(huì)不可避免的影響其余氣動(dòng)力分量，很難達(dá)到優(yōu)化升阻比的目的。

本文突破傳統(tǒng)阻力分解框架，提出面向任意復(fù)雜構(gòu)型的空氣動(dòng)力學(xué)CT原理，允許截面切入物體，給出了可切入物體內(nèi)部的渦力公式和尾流截面公式。通過對(duì)大攻角三角翼的流場(chǎng)進(jìn)行斷層掃描，找到了產(chǎn)生負(fù)升力和型阻相對(duì)應(yīng)的主要渦結(jié)構(gòu)，并可以追溯到特定壁面區(qū)域的邊界渦量流?；谝陨险J(rèn)識(shí), 提出了概念性的增加升阻比的設(shè)計(jì)思路與參考構(gòu)型，并證實(shí)了該診斷原理的適用性和合理性。

這個(gè)新的設(shè)計(jì)理念，對(duì)于復(fù)雜構(gòu)型流場(chǎng)診斷理論如何在實(shí)際工程應(yīng)用中發(fā)揮作用，也有著重要的啟發(fā)作用。常用的基于壓力速度層次的流場(chǎng)優(yōu)化策略，雖然方便易行，還能與EFD有效結(jié)合，但往往無法揭示物理根源；基于結(jié)構(gòu)層次的流場(chǎng)優(yōu)化策略，對(duì)CFD來說是合適的，卻由于EFD很難獲得三維流場(chǎng)而無法進(jìn)行驗(yàn)證?？磥恚枰獙讉€(gè)層次的理論有機(jī)結(jié)合起來，對(duì)CFD數(shù)據(jù)進(jìn)行有針對(duì)性的挖掘，鎖定具體的影響氣動(dòng)力的關(guān)鍵流場(chǎng)結(jié)構(gòu)與壁面物理來源。這個(gè)認(rèn)識(shí)也能用于指導(dǎo)EFD對(duì)壁面和流場(chǎng)關(guān)鍵區(qū)域的測(cè)量，反過來佐證CFD計(jì)算和理論的正確性，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行下一步的優(yōu)化設(shè)計(jì)。這就不僅是建立CFD或EFD與理論的單向連接，而是建立起CFD/EFD/理論的相互雙向互動(dòng)，充分發(fā)揮流體力學(xué)研究中每種手段的優(yōu)勢(shì)，共同進(jìn)行流場(chǎng)診斷與優(yōu)化。

應(yīng)當(dāng)看到，以近場(chǎng) Lamb矢量為主攻對(duì)象的空氣動(dòng)力學(xué) CT 技術(shù)才剛剛起步，還面臨新的挑戰(zhàn)。以定常不可壓縮流動(dòng)為例，氣動(dòng)力各分量不只取決于尾流中的分布渦量，而是由渦量場(chǎng)及其誘導(dǎo)的速度場(chǎng)共同決定，后者是前者的Biot-Savart積分, 有非局域效應(yīng)。Lamb矢量場(chǎng)既有散度，又有旋度，比渦量場(chǎng)內(nèi)容豐富復(fù)雜。其線性部分導(dǎo)致的L0和DP0公式僅提供了指導(dǎo)設(shè)計(jì)的一些基本線索，還需仔細(xì)研究其非線性部分的作用。對(duì)不同幾何構(gòu)型與流動(dòng)條件, 有旋有散的非線性Lamb矢量場(chǎng)及其矩的各分量有何特殊分布、相互如何制約、如何優(yōu)化, 是個(gè)嶄新課題。

致謝:非常感謝張錫金教授和張淼博士啟發(fā)我們進(jìn)行此項(xiàng)研究，感謝史一蓬教授、蘇衛(wèi)東教授、白鵬研究員、李周復(fù)研究員、錢戰(zhàn)森研究員、張日葵博士、劉羅勤博士、高安康以及康林林對(duì)本研究極為有益的討論與建議。