全柔性隔振系統(tǒng)功率流的有限元計(jì)算及其傳遞特性研究

湯又衡，牛軍川,2

（1.山東大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，濟(jì)南250061；2.山東大學(xué) 高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，濟(jì)南250061）

隨著科技的進(jìn)步，工程中出現(xiàn)了大量速度快、精度高、體型大的機(jī)械設(shè)備。振動問題愈發(fā)不可忽視。有害的振動會極大縮短機(jī)械設(shè)備的使用壽命，并降低使用精度，其帶來的噪聲，還對相關(guān)人員的健康帶來巨大危害。如何控制振動是伴隨著機(jī)械設(shè)備不斷發(fā)展必須解決的一個(gè)問題。

在隔振問題的研究中，必須有更高精度的隔振模型，才能滿足現(xiàn)階段機(jī)械設(shè)備本身的要求。傳統(tǒng)的隔振模型將基礎(chǔ)和機(jī)器設(shè)備視為絕對剛體，并用只能軸向拉壓的無質(zhì)量彈簧和阻尼模擬隔振器，因此無法充分考慮基礎(chǔ)和機(jī)器柔性、隔振器質(zhì)量、隔振器中彎曲波等對振動傳遞的影響。為考慮基礎(chǔ)彈性，宋孔杰[1]用彈性支承的剛性桿對基礎(chǔ)進(jìn)行模擬，研究了彈性基礎(chǔ)對隔振效果的影響。隨著結(jié)構(gòu)的大型化和輕薄化，機(jī)器和基礎(chǔ)的柔性問題，成為影響隔振效果的最主要因素之一，問題的研究得以深入。Snowdon[2]基于連續(xù)體模型首先研究了一維對稱隔振系統(tǒng)基礎(chǔ)的柔性。熊冶平[3]運(yùn)用子系統(tǒng)導(dǎo)納綜合法，對非對稱柔性隔振系統(tǒng)中柔性基礎(chǔ)的影響進(jìn)行了探討。牛軍川[4]建立柔性基礎(chǔ)上主動隔振系統(tǒng)模型，并采用子結(jié)構(gòu)導(dǎo)納綜合法建立了多激勵多支承的全柔性隔振系統(tǒng)的一般動力學(xué)模型。

柔性基礎(chǔ)和多維多支撐的引入給傳統(tǒng)的隔振性能評價(jià)指標(biāo)帶來挑戰(zhàn)。許多學(xué)者注意到功率流指標(biāo)的優(yōu)勢，并將其運(yùn)用于柔性基礎(chǔ)隔振模型研究[5-7]。傳統(tǒng)模型的基礎(chǔ)一般采用梁板等規(guī)則結(jié)構(gòu)，這是因?yàn)橛?jì)算功率流時(shí)需要獲得基礎(chǔ)的導(dǎo)納表達(dá)式，對于一些梁、板等簡單柔性結(jié)構(gòu)，通過理論計(jì)算可以獲得其導(dǎo)納，但對于非規(guī)則的結(jié)構(gòu)，則只能使用實(shí)驗(yàn)的方法。但實(shí)際工程中，無論是基礎(chǔ)還是機(jī)器，形狀皆不規(guī)則，傳統(tǒng)隔振模型在這方面缺陷明顯。

數(shù)值離散方法可以很好地彌補(bǔ)導(dǎo)納法本身的缺陷。有限元法是應(yīng)用最廣的數(shù)值離散方法。由于單元能按不同的聯(lián)結(jié)方式進(jìn)行組合，且單元本身可以有不同形狀，因此可以模型化幾何形狀復(fù)雜的求解區(qū)域。國內(nèi)有些學(xué)者也運(yùn)用有限元和功率流方法，對一些簡單模型進(jìn)行了分析[8-10]。但是這些工作，仍舊沒有涉及到不規(guī)則形狀設(shè)備和基礎(chǔ)、機(jī)器柔性、隔振器質(zhì)量、彎曲波傳遞等諸多問題。

文中充分考慮機(jī)器、基礎(chǔ)的不規(guī)則性和柔性，采用有限元方法將其離散，同時(shí)對隔振器采用空間梁單元建模，建立不規(guī)則形狀的全柔性隔振系統(tǒng)的功率流計(jì)算模型，基于該模型可進(jìn)一步研究各環(huán)節(jié)柔性、彎曲波等對傳遞功率流的影響規(guī)律，另外，采用此方法，還可以計(jì)算每一個(gè)節(jié)點(diǎn)處的能量密度大小，預(yù)示功率流的傳遞情況。

1 隔振系統(tǒng)動力學(xué)模型

如圖1所示為全柔性隔振系統(tǒng)模型，機(jī)器和基礎(chǔ)都采用彈性板來模擬，隔振器則用空間彈性梁進(jìn)行建模?？臻g梁每個(gè)節(jié)點(diǎn)有6 個(gè)自由度，可以承受沿x、y、z3 個(gè)方向的力和繞x、y、z軸的力矩，從而克服了傳統(tǒng)隔振器模型只能傳播縱向波的缺陷，充分考慮彎曲波等的影響。

1.1 功率流計(jì)算

當(dāng)上板受到一個(gè)點(diǎn)激勵時(shí)，傳入機(jī)器的功率流為Pin。為對其隔振性能進(jìn)行評價(jià)，需進(jìn)一步計(jì)算經(jīng)過隔振器傳遞至基礎(chǔ)的功率流Pout。傳遞至基礎(chǔ)的功率可以用傳遞至梁末端的功率流來表示。

圖1 全柔性隔振系統(tǒng)模型

文中梁和板為點(diǎn)接觸，故而梁截面上的凈功率流可以通過將梁末端節(jié)點(diǎn)上所有自由度的結(jié)構(gòu)聲強(qiáng)相加獲得[11]，即

式中：k表示末端節(jié)點(diǎn)的一個(gè)自由度；Ik為k自由度的結(jié)構(gòu)聲強(qiáng)，用式(2)計(jì)算

式中：j 為虛數(shù)單位；ω為角頻率；Re(·)表示取虛部；（*）表示復(fù)共軛；Fk為截面處k自由度方向的廣義力；Uk為截面處k方向的廣義位移。則梁末端截面處通過節(jié)點(diǎn)p的功率流可以表示為

式中：H表示共軛轉(zhuǎn)置；Fp={N,Qy,Qz,T,MyMz}T為空間梁廣義力矢量；Up={u,v,w,θ,θy,θz}T為空間梁廣義位移矢量。

由式(3)可知，為計(jì)算梁末端截面處的功率流，必須得到該處的力和位移響應(yīng)。為充分考慮隔振器彎曲波、不規(guī)則機(jī)器和基礎(chǔ)的柔性影響，分別采用2節(jié)點(diǎn)12 自由度空間梁單元及4 節(jié)點(diǎn)12 自由度四邊形單元對隔振器、機(jī)器和基礎(chǔ)進(jìn)行劃分。根據(jù)虛功原理，建立整個(gè)隔振系統(tǒng)的有限元離散數(shù)值模型

式中：K為系統(tǒng)總剛度矩陣；M為系統(tǒng)總質(zhì)量矩陣；C=αM+βK為系統(tǒng)總阻尼矩陣；α、β為比例系數(shù)；U為各個(gè)節(jié)點(diǎn)自由度組成的廣義位移矩陣；F為廣義力向量。則式(4)可以化為

式中：a0= ( -ω2+jωα)；b0= ( 1+jωβ)。

為了求解式(5)，需要進(jìn)一步計(jì)算總剛度陣、總質(zhì)量陣以及廣義力向量。通過總體矩陣的組裝，可以得到這些要素。

1.2 總體矩陣的組裝

整體組裝是根據(jù)有限元耦合的思想，在梁板耦合節(jié)點(diǎn)處，將對應(yīng)自由度的貢獻(xiàn)相加。以如圖2所示的單梁雙板為例，其中左側(cè)板為激勵輸入板，或振源，右側(cè)板為功率流接收板。由于空間梁模型一個(gè)節(jié)點(diǎn)處有6個(gè)自由度，薄板模型一個(gè)節(jié)點(diǎn)處有3個(gè)自由度，故將空間梁耦合節(jié)點(diǎn)處的6 個(gè)自由度刪減為對應(yīng)板位移的3 個(gè)自由度，方便后面的總剛度矩陣的組裝。

圖2 梁板耦合模型

圖3 空間梁單元

為求耦合節(jié)點(diǎn)處輸入的功率流，需要獲得節(jié)點(diǎn)處的廣義位移和廣義力向量。設(shè)系統(tǒng)總自由度數(shù)為N，梁和功率流接收板耦合節(jié)點(diǎn)為p，梁與輸入板耦合節(jié)點(diǎn)為q，則總剛度陣為

式中：krp、ksq分別為接收板和振動輸入板上兩個(gè)耦合節(jié)點(diǎn)處的剛度矩陣；kbp、kbq分別為梁在兩個(gè)耦合節(jié)點(diǎn)處對應(yīng)板3個(gè)自由度的剛度矩陣；kbl表示除耦合節(jié)點(diǎn)外剩余梁單元組裝的剛度陣；剩余節(jié)點(diǎn)數(shù)為l；空余部分為零元素。

總質(zhì)量陣M的組裝方法與式(6)中的系統(tǒng)總剛度陣K的組裝方法相同，將總剛度陣和總質(zhì)量陣代入式(5)中即可求得廣義位移向量U。將式(5)寫為

式中：up和uq分別為梁與功率流接收板、輸入板的耦合節(jié)點(diǎn)處3個(gè)自由度的位移向量；ul為梁除耦合節(jié)點(diǎn)外其余各單元節(jié)點(diǎn)的位移向量；提取對應(yīng)接收板耦合節(jié)點(diǎn)p的局部廣義剛度陣和廣義位移up，計(jì)算節(jié)點(diǎn)p處的廣義力向量

或者

這里

將fp及up代入式(2)和式(3)即可求得傳遞至基礎(chǔ)的功率流及頻率平均功率流。

2 仿真與分析

傳統(tǒng)柔性隔振模型只考慮基礎(chǔ)柔性，將機(jī)器視為一個(gè)剛性的質(zhì)量塊。隔振器一般采用彈簧阻尼或者柱狀橡膠隔振器模擬，忽略它們的質(zhì)量，如圖4所示。

圖4 傳統(tǒng)隔振器模型

這時(shí)隔振器只存在2 個(gè)軸向自由度，其單元剛度陣為

式中：ks為彈簧縱向剛度。傳統(tǒng)模型中將橡膠隔振器視為桿，其縱向剛度矩陣仍為式(12)，式中ks=ErAr lr，Er為桿的楊氏模量，Ar為桿截面面積，lr為桿長。與12×12 的空間梁的剛度矩陣相比，傳統(tǒng)隔振器模型缺少了2 個(gè)方向的橫向彎曲剛度和繞3 個(gè)軸的扭轉(zhuǎn)剛度，因此無法計(jì)及由剪力和扭矩引入的功率流。

傳統(tǒng)隔振系統(tǒng)中忽略隔振器的質(zhì)量，在低頻隔振和隔振器質(zhì)量較小時(shí)誤差不大，在當(dāng)今精細(xì)化程度很高的情下，小質(zhì)量會引起隔振器自振，造成高頻域振動傳遞的短路，帶來極大的誤差，必須加以考慮。

相比彈簧及桿模型，空間梁模型充分考慮質(zhì)量的影響，兼顧6個(gè)自由度的所有信息，不僅可以傳遞縱向波，還可以傳遞彎曲波，因此比傳統(tǒng)隔振器更精細(xì)化、更具一般性。當(dāng)只考慮縱向2個(gè)自由度時(shí)，空間梁模型可以近似地退化為桿模型。進(jìn)一步忽略質(zhì)量矩陣，則可進(jìn)一步近似退化為彈簧模型。

為對全柔性隔振系統(tǒng)的動力學(xué)特性進(jìn)行評估，這里用板模擬機(jī)器和基礎(chǔ)，用柔性空間梁模擬隔振器，系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

2.1 不同激勵下的傳遞功率流

新的柔性模型，克服了只能分析縱向激勵的缺陷，可以模擬橫向力激勵和力矩激勵等，為進(jìn)一步分析各種激勵情況下的功率流傳遞帶來了可能和方便。在xoy平面上，當(dāng)隔振器布置對稱時(shí)，不同激勵形式下輸入到機(jī)器和基礎(chǔ)的功率流如圖5所示。

表1 模型參數(shù)

圖5 不同激勵形式對功率流影響

功率流曲線在低頻域7.02 Hz處有一個(gè)峰值，即為機(jī)器的縱向安裝頻率，平面上的俯仰振動不會被激起。沿x和y向作用轉(zhuǎn)矩時(shí)，低頻域的0.71 Hz 處和4.97 Hz處功率流曲線出現(xiàn)兩個(gè)峰值，分別對應(yīng)機(jī)器的滾轉(zhuǎn)和俯仰安裝頻率。3種激勵情況下，低頻域峰值較少，而在高頻域密集出現(xiàn)，這是因?yàn)闄C(jī)器和基礎(chǔ)的柔性參與了進(jìn)來。由于系統(tǒng)柔性的影響，機(jī)器的曲線均在高頻域出現(xiàn)了抬升，而傳遞至基礎(chǔ)的功率流曲線則不斷振蕩下降。

2.2 機(jī)器柔性對傳遞功率流的影響

傳統(tǒng)隔振模型一般不考慮機(jī)器柔性，全柔性隔振系統(tǒng)則可以進(jìn)一步分析機(jī)器柔性對振動傳遞的影響。圖6和圖7所示為機(jī)器柔性對傳遞功率流的影響。

圖6 機(jī)器不同剛度下輸入機(jī)器的功率流

由圖6可見，隨著機(jī)器剛度的不斷減小，即機(jī)器柔性的不斷增加，輸入機(jī)器的功率流曲線在高頻域不斷抬升，峰值的數(shù)量不斷增加。與此同時(shí)，高頻域的峰值不斷向低頻域移動，最終與安裝頻率發(fā)生耦合。由圖7可見，當(dāng)機(jī)器的剛度增加時(shí)，傳遞到基礎(chǔ)的功率流減小，中低頻處的峰值也較少。因此機(jī)器柔性對功率流存在較大影響，進(jìn)行高頻隔振評價(jià)時(shí)不應(yīng)忽略。

圖7 機(jī)器不同剛度下輸入基礎(chǔ)的功率流

2.3 隔振器特性對傳遞功率流的影響

選用對稱安裝的全柔性隔振系統(tǒng)，考查隔振器參數(shù)對隔振效果的影響。為比較傳統(tǒng)隔振系統(tǒng)與全柔性隔振系統(tǒng)，文中著重對彎曲波及質(zhì)量的影響進(jìn)行分析，暫不考慮阻尼的影響。圖8為3種隔振器縱向剛度下輸入機(jī)器和傳遞至基礎(chǔ)的功率流曲線，EiA=1.96×104為橡膠隔振器的縱向剛度。當(dāng)隔振器縱向剛度減小或柔性增大時(shí)，傳遞至基礎(chǔ)的功率流曲線峰值增多且向低頻域移動，而高頻處的峰值多為基礎(chǔ)和機(jī)器的固有彈性模態(tài)，因此變化不大。

圖8 不同隔振器縱向剛度下功率流傳遞

圖9為激勵非對稱時(shí)不同隔振器彎曲剛度下功率流傳遞情況。從圖中可以看出，當(dāng)存在非對稱激勵時(shí)，隔振器會傳遞彎曲波，彎曲剛度對傳遞至機(jī)器和基礎(chǔ)的功率流有較大影響，隨著彎曲剛度的增大，第1 階滾轉(zhuǎn)安裝頻率對應(yīng)峰值向高頻域移動，逐漸接近俯仰和縱向安裝頻率。彎曲剛度對于更高頻域的曲線影響較小。當(dāng)機(jī)器承受橫向載荷時(shí)，隔振器主要承受彎矩，則這時(shí)隔振器傳遞的彎曲波則不可以忽略。

圖9 不同隔振器彎曲剛度下功率流傳遞

加大機(jī)器和基礎(chǔ)的剛度，將二者高頻域的峰值向高頻處推移，在此基礎(chǔ)上可以清楚地分析隔振器質(zhì)量對功率流傳遞影響。如圖10所示。

圖10 隔振器質(zhì)量對功率流傳遞影響

當(dāng)隔振器密度變化時(shí)，保持隔振器尺寸或體積不變，相應(yīng)質(zhì)量呈正相關(guān)變化。當(dāng)密度為0時(shí)，近似可以看成是無質(zhì)量的隔振器模型，此時(shí)在10 Hz 至1 000 Hz 內(nèi)功率流曲線平緩下降，沒有峰值出現(xiàn)。當(dāng)隔振器密度或質(zhì)量不斷變大時(shí)，在10 Hz 至1 000 Hz區(qū)域內(nèi)峰值逐漸增多，且不斷向低頻域移動。這是因?yàn)楦粽衿鞯馁|(zhì)量增加后，隔振器的自共振被激起，使功率流傳遞短路，原本平緩的功率流曲線陡然抬升。

3 結(jié)語

建立了一個(gè)全新的全柔性隔振模型，用薄板代替?zhèn)鹘y(tǒng)的剛性機(jī)器和剛性基礎(chǔ)，用空間梁代替?zhèn)鹘y(tǒng)的彈簧和隔振器。采用有限元方法對各子系統(tǒng)進(jìn)行離散，對耦合關(guān)系進(jìn)行處理和組裝，獲得耦合點(diǎn)處力和位移的信息，計(jì)算輸入機(jī)器的功率流及傳遞到基礎(chǔ)的功率流?？梢缘玫揭韵聨讉€(gè)結(jié)論。

(1)采用有限元方法計(jì)算隔振系統(tǒng)功率流時(shí)，無需求取結(jié)構(gòu)導(dǎo)納，從而可以對不規(guī)則基礎(chǔ)進(jìn)行求解。

(2)隔振器質(zhì)量對傳遞到基礎(chǔ)的功率流有著較為顯著的影響，會使高頻域峰值增多。質(zhì)量增大，峰值向低頻域移動，傳遞至基礎(chǔ)的功率流增大。隔振器彎曲剛度則主要影響滾轉(zhuǎn)安裝頻率。

(3)機(jī)器柔性使得功率流在高頻域明顯抬升，峰值更密集，柔性的增大會逐漸影響低頻域內(nèi)原有的峰值。