基于分岔理論的球式自動(dòng)平衡裝置的穩(wěn)定性研究

祝貴祥，譚 青, 江 波

（中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410083）

隨著回轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的不斷提高，回轉(zhuǎn)機(jī)械的振動(dòng)直接影響著旋轉(zhuǎn)機(jī)械工作的安全與可靠性[1-2]，回轉(zhuǎn)機(jī)械的振動(dòng)已經(jīng)成為重要的研究課題之一。目前，最常見(jiàn)的減振方法是對(duì)轉(zhuǎn)子采取高精度的動(dòng)靜平衡方法。但是,實(shí)際的工業(yè)生產(chǎn)中，回轉(zhuǎn)機(jī)械在使用過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)偏心質(zhì)量分布突然發(fā)生變化的情況，動(dòng)靜平衡方法不能對(duì)回轉(zhuǎn)機(jī)械的突變型偏心質(zhì)量做到實(shí)時(shí)平衡。安裝自動(dòng)平衡裝置是解決回轉(zhuǎn)機(jī)械實(shí)時(shí)平衡的有效措施之一[3-6]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)提出了多種類(lèi)型的自動(dòng)平衡裝置，其主要分為兩類(lèi)，一種是通過(guò)微機(jī)控制的主動(dòng)式自平衡裝置；另一種是通過(guò)系統(tǒng)自動(dòng)定心原理來(lái)實(shí)現(xiàn)平衡的被動(dòng)式自平衡裝置，該類(lèi)自平衡裝置又分為球式、液體式、環(huán)式、擺錘式等自動(dòng)平衡裝置[7]。自球式自動(dòng)平衡裝置問(wèn)世以來(lái)，該裝置的研究就受到了國(guó)內(nèi)外的廣泛關(guān)注[8-12]。不同于液體式、環(huán)式、擺錘式等自動(dòng)平衡裝置[13-15]，球式自動(dòng)平衡裝置在高速狀態(tài)下減振效益顯著，且不管偏心量的位置，也不需要外界的調(diào)試和控制，其能自動(dòng)發(fā)揮平衡作用[16]。

分岔分析可以很直觀得到解的變化情況及解的性質(zhì)發(fā)生改變的界面，使用分叉分析既可以知道系統(tǒng)解的變化情況，又能得到穩(wěn)定平衡解存在的區(qū)域邊界，同時(shí)擺脫了依靠擾動(dòng)方程不能解決臨界系統(tǒng)穩(wěn)定性的困境[17]。

對(duì)某特定工況的轉(zhuǎn)子，使用哪些參數(shù)才能保證自動(dòng)平衡裝置的穩(wěn)定運(yùn)行是必須考慮的問(wèn)題。故研究球式自動(dòng)平衡裝置的行為隨參數(shù)變化而改變的規(guī)律，為其設(shè)計(jì)和使用提供一個(gè)用于參考的參數(shù)可行域是有必要的。使用分岔理論研究自動(dòng)平衡裝置的動(dòng)態(tài)特性隨參數(shù)變化的演變情況，獲得相應(yīng)的穩(wěn)定區(qū)域分布圖，對(duì)于球式自動(dòng)平衡裝置的設(shè)計(jì)和應(yīng)用具有一定的理論和實(shí)際價(jià)值。

1 球式自動(dòng)平衡裝置的數(shù)學(xué)模型

1.1 數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)要說(shuō)明

球式自動(dòng)平衡裝置力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 力學(xué)模型圖

由課題組已有的研究可知，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程[18]如式（1）所示

式中M為系統(tǒng)的總質(zhì)量；m1、e為轉(zhuǎn)盤(pán)的偏心質(zhì)量、偏心距，m、r分別為滾球質(zhì)量和半徑（本文假設(shè)每個(gè)滾球的大小和質(zhì)量一樣）；C、K為系統(tǒng)的阻尼矩陣、剛度矩陣分別為滾球的角加速度、角速度、轉(zhuǎn)角；I為滾球?qū)ζ滟|(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，單位為kg·m2；分別為轉(zhuǎn)盤(pán)的角加速度、角速度、轉(zhuǎn)角；穩(wěn)態(tài)時(shí)轉(zhuǎn)盤(pán)以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。i為滾球個(gè)數(shù)編號(hào)，在球式自平衡裝置中，至少需要一個(gè)滾球，當(dāng)系統(tǒng)僅有一個(gè)滾球存在時(shí)，裝置的平衡能力很有局限性，因此，球式自平衡裝置中一般會(huì)加2個(gè)及2個(gè)以上的滾球，文中以2個(gè)滾球?yàn)槔M(jìn)行說(shuō)明，即取n為2。β0為滾球的滾動(dòng)摩擦因數(shù)，β1為滾球的黏性阻尼系數(shù)。式中變量上面的點(diǎn)“.”表示變量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，后文不再說(shuō)明。

當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，滾球所受的滾動(dòng)摩擦阻尼力可以忽略。此時(shí)有θ=ωt，令φi=φi+θ。

對(duì)于球式自動(dòng)平衡裝置，由于滾球質(zhì)量是一個(gè)變化的量需要與總質(zhì)量M分開(kāi)，M=M1+2m+m1（M1為圓盤(pán)質(zhì)量）。求出系統(tǒng)的偏心距和固有頻率

λ為滾球質(zhì)量與轉(zhuǎn)盤(pán)質(zhì)量之比，η為轉(zhuǎn)速與固有頻率之比，δ為偏心距與轉(zhuǎn)盤(pán)半徑之比，ζ為結(jié)構(gòu)阻尼比，β為黏性阻尼系數(shù)。于是有

1.2 數(shù)學(xué)模型的自治化變換

根據(jù)李亞普洛夫穩(wěn)定性定理，非線性自治系統(tǒng)的平衡解的穩(wěn)定性可以用其一次近似線性方程的穩(wěn)定性來(lái)進(jìn)行研究[19]。研究非自治系統(tǒng)的分岔和穩(wěn)定性問(wèn)題的研究方法比較復(fù)雜，為簡(jiǎn)化問(wèn)題，通過(guò)坐標(biāo)變換將上述建立的非自治系統(tǒng)方程組轉(zhuǎn)化為自治系統(tǒng)方程組的形式。引入旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換，設(shè)坐標(biāo)系uov的中心與軸未發(fā)生變形時(shí)中心重合并隨著軸一起旋轉(zhuǎn)，如圖2所示。

圖2 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系示意圖

則有

得到最終的自治化方程組為

將方程組寫(xiě)成矩陣形式，令

方程組可寫(xiě)成如下形式：B(x)x˙=D(x)，其中

Q(x)是一個(gè)滿秩的且可逆的4×4方陣，I為4×4的單位矩陣，B(x)為可逆的8×8矩陣，故得到

B(x)-1、D(x)都是關(guān)于向量x的矩陣，即方程組轉(zhuǎn)換成了標(biāo)準(zhǔn)的微分方程組形式

2 系統(tǒng)的平衡解

球式自動(dòng)平衡裝置的數(shù)學(xué)模型可表示為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式的非線性微分方程組。由文獻(xiàn)[20]可知，對(duì)于自治系統(tǒng)：x˙=f(x)；如果有a∈D（D為解區(qū)間）滿足f(a)≡0則稱x=a為系統(tǒng)的一個(gè)平衡解。

系統(tǒng)的平衡解反映了系統(tǒng)不隨時(shí)間變化的平衡狀態(tài)，即一種穩(wěn)定的狀態(tài)。

根據(jù)文獻(xiàn)[21]，奇點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)的速度和加速度都為零，奇點(diǎn)就是平衡解所對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn)，故令都等于零。本文只考慮2 個(gè)球的情況，3 個(gè)球或多球的情況以此類(lèi)推。令n=2，得

求解式（12）可獲得平衡解1和平衡解2

（1）若u=v=0，則得平衡解1，如式（13）所示。平衡解1 狀態(tài)下滾球達(dá)到理想平衡位置，實(shí)現(xiàn)完全減振，殘余振幅為0。平衡解1 的示意圖如圖3(a)所示。

（2）若u≠0,v≠0，則得平衡解2，如式（14）所示。平衡解2狀態(tài)下滾球未達(dá)到理想平衡位置。殘余振幅不完全為零。平衡解2 的示意圖如圖3(b)所示。

圖3 平衡解的示意圖

對(duì)于平衡解1，要保證滾球的相對(duì)轉(zhuǎn)角φ1=有意義，只考慮偏心距為正的情況，所以（n為滾球數(shù)目），即直觀上理解，滾球的質(zhì)量之和必須大于等于偏心量的等效質(zhì)量，當(dāng)滾球處于理想平衡位置時(shí)滾球的質(zhì)量必須足夠用來(lái)補(bǔ)償偏心質(zhì)量，這樣才能實(shí)現(xiàn)完全減振。

考察平衡解2(±)的表達(dá)式，要保證解的存在性，則可得式（15），可以看出在時(shí)，不等式恒成立,即平衡解2(±)在時(shí)一直存在。當(dāng)時(shí)，對(duì)于η→∞，除的區(qū)域，不等式成立。

解2(-)為平衡解2 中滾球相對(duì)轉(zhuǎn)角表達(dá)式前面取負(fù)號(hào)

解2(+)為表達(dá)式取正號(hào)：

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，對(duì)于形狀如x˙=f(x)的自治非線性系統(tǒng)平衡解的穩(wěn)定性分析可以通過(guò)對(duì)其一次近似線性方程的平衡解的穩(wěn)定性研究實(shí)現(xiàn)。其一次近似方程為

其中矩陣A為系統(tǒng)在平衡解xe的雅克比矩陣，M為其雅克比矩陣的特征方程，p為特征值。根據(jù)李亞普洛夫定理和勞斯判據(jù)，系統(tǒng)平衡點(diǎn)穩(wěn)定的充分必要條件是特征方程的所有特征值的實(shí)部都為負(fù)數(shù)，即：real(pj)＜0,j=1,2,…,N。N為系統(tǒng)的階次，pj為系統(tǒng)的第j個(gè)特征值。若該一次近似系統(tǒng)只要有一個(gè)特征值取正值，對(duì)應(yīng)的非線性系統(tǒng)的平衡解也就不穩(wěn)定。同時(shí)，李亞普洛夫也指出當(dāng)一次近似系統(tǒng)的特征值出現(xiàn)純虛根，即在該參數(shù)空間中系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)時(shí)的情況。

運(yùn)用MATLAB 計(jì)算雅克比矩陣和特征值矩陣十分方便和迅速，故直接利用勞斯判據(jù)。根據(jù)平衡解1和平衡解2的表達(dá)式，獲得平衡解關(guān)于參數(shù)空間的關(guān)系式，代入至雅克比矩陣中，從而解出特征值矩陣，判斷所有特征值的實(shí)部是否小于0 從而判斷穩(wěn)定性。

分別設(shè)置參數(shù)空間中不同的參數(shù)為自由參數(shù)（雙參數(shù)或者多參數(shù)）進(jìn)行迭代，從而得到穩(wěn)定域。具體流程見(jiàn)圖4

圖4 平衡解的穩(wěn)定邊界計(jì)算流程圖

經(jīng)過(guò)計(jì)算得到η-λ、η-δ、η-ζ、η-β雙參數(shù)下的平衡解1和平衡解2(±)的穩(wěn)定區(qū)域分布圖，結(jié)果如圖5至圖8所示。

不穩(wěn)定區(qū)域外不存在穩(wěn)定平衡解的區(qū)域。平衡解1為滾球達(dá)到理想平衡位置，實(shí)現(xiàn)完全減振，殘余振幅為0；平衡解2(±)下殘余振幅不為零。

圖5 η-λ雙自由參數(shù)下的穩(wěn)定區(qū)域

從圖5可以看出，亞臨界轉(zhuǎn)速下有穩(wěn)定的平衡解2(-)存在，解2(-)在亞臨界轉(zhuǎn)速下滾球的相對(duì)角度是偏向于偏心質(zhì)量一側(cè)的（當(dāng)λ=0.0018,δ=0.0018,ζ=0.011 ，β=0.0814 ，η=0.95 時(shí)，φ1=-0.666 rad=-38.16°）。在亞臨界轉(zhuǎn)速下，隨著滾球質(zhì)量占比的增大，系統(tǒng)將更早進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)域，這時(shí)滾球相對(duì)于轉(zhuǎn)盤(pán)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。當(dāng)滾球質(zhì)量較大時(shí)(λ＞0.03)，會(huì)在轉(zhuǎn)速比為1 附近的狹小區(qū)域內(nèi)（例如λ=0.05時(shí)，0.969 9 ＜η＜1.023）產(chǎn)生穩(wěn)定的平衡解1，不過(guò)這個(gè)區(qū)域太過(guò)狹小，轉(zhuǎn)速一旦稍微升高，平衡狀態(tài)立即消失。在過(guò)臨界轉(zhuǎn)速下，滾球質(zhì)量越大，進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)域所需要的轉(zhuǎn)速越高，當(dāng)λ=0.049 8 時(shí)，η≥1.639才能進(jìn)入平衡解1存在的穩(wěn)定區(qū)域。當(dāng)滾球質(zhì)量之和不能完全抵消偏心質(zhì)量造成的偏心時(shí)，在過(guò)臨界轉(zhuǎn)速下，會(huì)有穩(wěn)定的平衡解2(-)存在，這時(shí)兩個(gè)滾球靠在一起分布于偏心質(zhì)量對(duì)側(cè)，一定程度上抑制系統(tǒng)振動(dòng)但仍然存在殘余振幅。

圖6 η-δ雙自由參數(shù)下的穩(wěn)定區(qū)域

從圖6可以看出，當(dāng)偏心質(zhì)量比較小，在亞臨界轉(zhuǎn)速下即開(kāi)始出現(xiàn)不穩(wěn)定區(qū)域，滾球相對(duì)于轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)，偏心質(zhì)量增大，開(kāi)始出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡解2(-)。當(dāng)轉(zhuǎn)速η≥1.21，進(jìn)入平衡解1的穩(wěn)定區(qū)域。

從圖7可以看出，當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)阻尼較大時(shí)，在亞臨界系統(tǒng)提前進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)域，滾球相對(duì)于轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)。在過(guò)臨界轉(zhuǎn)速下，當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼比較小時(shí)，系統(tǒng)需要更高的轉(zhuǎn)速才能進(jìn)入解1的穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)減振（如ζ=0.000 5,η=1.403）。

圖7 η-ζ雙自由參數(shù)下的穩(wěn)定區(qū)域

圖8 η-β雙自由參數(shù)下的穩(wěn)定區(qū)域

從圖8可以看出，在亞臨界轉(zhuǎn)速下，平衡解2(-)的穩(wěn)定區(qū)域與不穩(wěn)定區(qū)域的分界線是η=0.885 4的一條垂直線，在過(guò)臨界轉(zhuǎn)速下，當(dāng)黏性阻尼系數(shù)比較大的時(shí)候，在轉(zhuǎn)速大于1.208時(shí)進(jìn)入平衡解1的穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)。但當(dāng)β比較小時(shí)，系統(tǒng)需要更大的轉(zhuǎn)速才能進(jìn)入解1的穩(wěn)定區(qū)域（β=0.000 5,η=1.465）。

3 實(shí)驗(yàn)研究

實(shí)驗(yàn)研究是對(duì)η-λ、η-δ、η-β雙參數(shù)分岔和穩(wěn)定性的理論分析進(jìn)行驗(yàn)證。本文設(shè)計(jì)、搭建了如圖9（a）所示的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)；振動(dòng)信號(hào)采集系統(tǒng)用來(lái)記錄實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的振動(dòng)情況，振動(dòng)信號(hào)采集系統(tǒng)如圖9（c）所示。

（1）驗(yàn)證η-λ雙參數(shù)分岔和穩(wěn)定性分析結(jié)論時(shí)，用不同質(zhì)量的滾球來(lái)平衡系統(tǒng)，觀察系統(tǒng)平衡解1的穩(wěn)定性的變化情況。將電機(jī)的轉(zhuǎn)速調(diào)至該滾球質(zhì)量對(duì)應(yīng)的根據(jù)理論計(jì)算得到的轉(zhuǎn)速值附近，然后施加沖擊擾動(dòng)，改變滾球質(zhì)量，觀察裝置的穩(wěn)定性情況，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10所示。

圖10中相等質(zhì)量下的穩(wěn)定點(diǎn)表示在該質(zhì)量和轉(zhuǎn)速工況下，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，沖擊擾動(dòng)后系統(tǒng)不會(huì)失穩(wěn)。不穩(wěn)定點(diǎn)表示系統(tǒng)在沖擊擾動(dòng)后會(huì)發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象。

從圖10中可以看出，滾球處于穩(wěn)定點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)的振幅只有0.02 mm。當(dāng)系統(tǒng)處于不穩(wěn)定點(diǎn)，施加沖擊擾動(dòng)后系統(tǒng)開(kāi)始失穩(wěn)，最后完全失穩(wěn)，此時(shí)的最大振幅可達(dá)到0.35 mm，振幅明顯增加。從圖中可知，當(dāng)m=7.10 g時(shí)，實(shí)驗(yàn)中開(kāi)始出現(xiàn)失穩(wěn)的不穩(wěn)定點(diǎn)η實(shí)驗(yàn)=1.243；當(dāng)m=32.12 g，實(shí)驗(yàn)的開(kāi)始出現(xiàn)失穩(wěn)的不穩(wěn)定點(diǎn)η實(shí)驗(yàn)=1.363。實(shí)驗(yàn)顯示了隨著滾球質(zhì)量的增大，開(kāi)始出現(xiàn)失穩(wěn)的不穩(wěn)定點(diǎn)增大，說(shuō)明滾球越大，系統(tǒng)越晚進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)域，這與理論分析的結(jié)論顯示的趨勢(shì)是一致的。

圖9 實(shí)驗(yàn)臺(tái)及實(shí)驗(yàn)方案

圖10 不同滾球質(zhì)量工況下的穩(wěn)定點(diǎn)和不穩(wěn)定點(diǎn)的振幅

（2）驗(yàn)證分岔現(xiàn)象的存在以及η-δ雙參數(shù)分岔和穩(wěn)定性分析結(jié)論，文中改變偏心量大小，觀察系統(tǒng)穩(wěn)定性的變化情況，本次實(shí)驗(yàn)使用的滾球質(zhì)量為32.12 g。用兩組不同偏心質(zhì)量做穩(wěn)定性試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果如圖11所示。

從上圖可知，當(dāng)偏心質(zhì)量為3 g 時(shí)，實(shí)驗(yàn)中開(kāi)始出現(xiàn)失穩(wěn)的不穩(wěn)定點(diǎn)的轉(zhuǎn)速比η實(shí)驗(yàn)=1.316；當(dāng)偏心質(zhì)量m1=35 g，實(shí)驗(yàn)中開(kāi)始出現(xiàn)失穩(wěn)的不穩(wěn)定點(diǎn)η實(shí)驗(yàn)=1.355。理論值和實(shí)驗(yàn)結(jié)論基本一致。實(shí)驗(yàn)顯示隨著偏心質(zhì)量的增大，不穩(wěn)定點(diǎn)的頻率稍有增大，說(shuō)明偏心量的大小對(duì)進(jìn)入平衡解1的穩(wěn)定區(qū)域影響不是很明顯。

（3）驗(yàn)證η-β雙參數(shù)分岔和穩(wěn)定性分析結(jié)論。根據(jù)摩擦學(xué)理論，向軌道中加入不同黏度的潤(rùn)滑劑來(lái)研究黏性阻尼的雙參數(shù)分岔和穩(wěn)定性問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)中使用的滾球質(zhì)量為32.13 g，分別在46#液壓油、低黏度油、不加油3種條件下做了3組試驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖12所示。

通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于使用40#液壓油的軌道，滾球在超過(guò)ω=713.6 r/min 的轉(zhuǎn)速下能處于穩(wěn)定的平衡解1的狀態(tài)。使用低黏度的潤(rùn)滑油的軌道黏性阻尼較小，滾球很難穩(wěn)定下來(lái)，系統(tǒng)一直未穩(wěn)定。當(dāng)不使用潤(rùn)滑油時(shí)，軌道具有很小的黏性阻尼和較大的滾動(dòng)摩擦阻尼，系統(tǒng)一直未穩(wěn)定。因此，在軌道中加入足夠黏度和劑量的潤(rùn)滑油對(duì)提高系統(tǒng)減振效果和穩(wěn)定性具有重要意義。

4 結(jié)語(yǔ)

球式自動(dòng)平衡裝置需要在不同工況下穩(wěn)定運(yùn)行。在使用過(guò)程中部分參數(shù)可能發(fā)生變化，如偏心量大小和位置、轉(zhuǎn)速、結(jié)構(gòu)阻尼等。因此，研究系統(tǒng)在參數(shù)變化情況下動(dòng)態(tài)特性的變化規(guī)律是有重要意義的。本文引入無(wú)量綱變量和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行無(wú)量綱化和自治化處理。利用微分方程理論求出自治系統(tǒng)的平衡解1和平衡解2(±)，根據(jù)李雅普諾夫原理和勞斯穩(wěn)定性判據(jù)判斷平衡解的穩(wěn)定性變化情況，獲得了η-λ、η-δ、η-ζ、η-β雙參數(shù)下的平衡解1 和平衡解2(±)的穩(wěn)定區(qū)域。通過(guò)研究得到了平衡解隨轉(zhuǎn)速、滾球質(zhì)量、偏心距等參數(shù)變化而變化的趨勢(shì)圖。

圖11 不同偏心質(zhì)量工況下的穩(wěn)定點(diǎn)和不穩(wěn)定點(diǎn)的振幅

圖12 不同潤(rùn)滑狀態(tài)下m=32.13 g時(shí)不穩(wěn)定點(diǎn)的振幅

實(shí)驗(yàn)對(duì)η-λ、η-δ、η-β雙參數(shù)分岔和穩(wěn)定性的理論分析進(jìn)行驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示系統(tǒng)的確存在分岔現(xiàn)象，且驗(yàn)證了分岔與穩(wěn)定性理論分析的正確性與數(shù)值仿真計(jì)算的有效性。

雙參數(shù)可行域可用于指導(dǎo)不同工況要求下的球式自動(dòng)平衡裝置的設(shè)計(jì)和應(yīng)用條件的設(shè)置，同時(shí)從理論上更深刻理解球式自動(dòng)平衡裝置從亞臨界到過(guò)臨近轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)狀態(tài)的演變過(guò)程。這對(duì)球式自動(dòng)平衡裝置的研究和使用具有一定的指導(dǎo)作用。