含Lugre動(dòng)摩擦及間隙的振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

張艷龍，李振國(guó)，王 麗

（1.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州730070； 2.蘭州城市學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，蘭州730030）

含間隙的機(jī)械構(gòu)件廣泛存在于交通、航天、航空等機(jī)械系統(tǒng)中，在這類機(jī)械構(gòu)件運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中或其他外激勵(lì)作用下，一些零部件間將出現(xiàn)碰撞和摩擦，并引起噪聲、振動(dòng)等，將會(huì)更進(jìn)一步導(dǎo)致效率降低甚至設(shè)備的損壞。因此多年來(lái)許多國(guó)內(nèi)外學(xué)者通過(guò)建立不同的力學(xué)模型和摩擦模型來(lái)研究摩擦導(dǎo)致的黏滑、顫振及分岔行為。文獻(xiàn)[1-2]利用含有干摩擦的Filippov 振動(dòng)系統(tǒng)來(lái)研究滑移分岔和混沌動(dòng)力學(xué)行為。文獻(xiàn)[3]研究一種具有庫(kù)倫干摩擦的振動(dòng)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，分析其雙參數(shù)分岔問(wèn)題，并解釋了滑移、黏滯等運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換，利用系統(tǒng)的黏特性對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了優(yōu)化。文獻(xiàn)[4]建立一類含單邊約束的2自由度塑性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，研究參數(shù)變化、分段特性和擦邊奇異性對(duì)系統(tǒng)的影響，分析了顫振碰撞發(fā)生的條件以及不同周期運(yùn)動(dòng)下的顫振運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。文獻(xiàn)[5]通過(guò)研究三模塊振動(dòng)系統(tǒng)，分析非對(duì)稱庫(kù)侖干摩擦模型對(duì)振動(dòng)驅(qū)動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響。周鵬等[6]建立干摩擦條件下含雙側(cè)約束的2 自由度塑性碰撞振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，研究系統(tǒng)中存在的黏滑、滑動(dòng)及碰撞等動(dòng)力學(xué)行為。錢大帥等[7]利用諧波平衡法研究干摩擦振子雙黏著運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的級(jí)數(shù)解并對(duì)黏滑邊界進(jìn)行了分析。丁旺才等[8]通過(guò)對(duì)含對(duì)稱間隙的摩擦振子的非線性動(dòng)力學(xué)行為的研究，闡述了該系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在的叉式分岔、對(duì)稱運(yùn)動(dòng)及反對(duì)稱運(yùn)動(dòng)等。上述文獻(xiàn)皆通過(guò)考慮靜摩擦模型或者相關(guān)的解析法來(lái)研究不同的含間隙及碰撞振動(dòng)系統(tǒng)。

但在實(shí)際工況中，為了更加準(zhǔn)確描述含摩擦系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，很多文獻(xiàn)考慮在不同的含摩擦系統(tǒng)中引入本身就具有動(dòng)力學(xué)特性的動(dòng)摩擦模型來(lái)研究，比如Dankowicz 動(dòng)摩擦模型[9-10]、Lugre 動(dòng)摩擦模型[11-13]以及改進(jìn)Lugre 動(dòng)摩擦模型[14]，這些動(dòng)摩擦模型從微觀方面去解釋摩擦力，其摩擦力不僅與物體運(yùn)動(dòng)速度和正壓力有關(guān)，還和運(yùn)動(dòng)物體與接觸面之間的內(nèi)部變量（如兩物體接觸表面的平均形變）有關(guān)。為了研究滾子軸承實(shí)際工作過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)特性，將引入Lugre動(dòng)摩擦模型（既可描述摩擦過(guò)程中的靜態(tài)特性，也可描述其動(dòng)態(tài)特性），來(lái)研究簡(jiǎn)化出的含摩擦及間隙的兩自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，并對(duì)該系統(tǒng)各個(gè)運(yùn)動(dòng)階段進(jìn)行理論分析，通過(guò)數(shù)值仿真分析，研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中由于間隙碰撞及摩擦引起的顫振等非線性動(dòng)力學(xué)特性對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，從而為系統(tǒng)安全可靠性及相關(guān)機(jī)械構(gòu)件的優(yōu)化設(shè)計(jì)等提供相關(guān)的理論基礎(chǔ)。

1 系統(tǒng)模型及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

圖1 單列圓柱滾子結(jié)構(gòu)示意圖

圓柱滾子在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中會(huì)與保持架中滾子所處的隔離塊兩側(cè)發(fā)生碰撞，從而產(chǎn)生顫振等動(dòng)力學(xué)行為。為研究其運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中發(fā)生的碰撞及顫振等動(dòng)力學(xué)特性，將該單列圓柱滾子軸承力學(xué)模型簡(jiǎn)化為一類含摩擦及間隙的兩自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，如圖2所示。

圖2 含摩擦及間隙碰振系統(tǒng)模型簡(jiǎn)圖

其中滾子用質(zhì)量為M1的振子1表示。保持架的部分用質(zhì)量為M2的振子2 表示，將隔離塊兩側(cè)和保持架及阻尼油分別簡(jiǎn)化為相連的剛度系數(shù)為K1、K2和K3的線性彈簧及阻尼系數(shù)為C1、C2的線性阻尼器，振子1 與振子2 之間為光滑接觸，振子2 與固定面之間為非光滑接觸，假設(shè)阻尼是Rayleigh 型比例阻尼，碰撞過(guò)程由碰撞恢復(fù)系數(shù)R確定，簡(jiǎn)諧激振力Psin(ΩT+τ)作用在振子M1上，振子M1和振子M2的位移分別用X1和X2表示。

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中：

無(wú)量綱后的系統(tǒng)參數(shù)及變量如下

有學(xué)者認(rèn)為在微觀狀態(tài)下，兩個(gè)相互接觸物體的接觸面通過(guò)彈性剛毛接觸，通過(guò)切向力作用，使得接觸面間的剛毛發(fā)生形變而產(chǎn)生相應(yīng)的摩擦力，當(dāng)該彈性形變達(dá)到一定程度時(shí)，兩個(gè)物體就會(huì)發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

半個(gè)學(xué)年過(guò)去了，我是越戰(zhàn)越勇，名次上升很快，甚至數(shù)學(xué)還以滿分和張紹凡并駕齊驅(qū)。她看我的眼神變得不一樣了，有驚奇還有疑惑。

無(wú)量綱后Lugre摩擦模型的數(shù)學(xué)描述為

式中：無(wú)量綱量z表示剛毛平均形變；v表示接觸面相對(duì)速度；N0表示正壓力；vs表示Stribeck速度；μs表示靜摩擦系數(shù)；μk表示最小動(dòng)摩擦系數(shù)；σ0、σ1、σ2分別表示剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)和黏滯系數(shù)；ff為摩擦力。

在完整的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，將產(chǎn)生3 種不同性質(zhì)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：

(1)振子1 和振子2 同時(shí)處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即滑移階段；

(2)振子1 處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，振子2 處于粘著靜止?fàn)顟B(tài)；

(3)由于兩側(cè)存在約束，當(dāng)振子1 與振子2 的位移差等于間隙b時(shí)，兩者發(fā)生碰撞，即碰撞階段。

可見(jiàn)，振子2的將會(huì)在滑移、粘著與碰撞三者運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間相互轉(zhuǎn)換，這使得其運(yùn)動(dòng)過(guò)程變得較為復(fù)雜?，F(xiàn)將該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程劃分為如下階段進(jìn)行討論：

階段1：滑移段

因?yàn)橛泻?jiǎn)諧激勵(lì)力作用在振子1上，故振子1的狀態(tài)始終是運(yùn)動(dòng)的，而振子2 所受的力則為通過(guò)振子1 作用在振子2 上的力，該力為振子2 的驅(qū)動(dòng)力，即若振子2 受到的力大于振子2 所受彈簧3 的彈性力以及摩擦力，且同時(shí)振子2的速度不為零，即時(shí)，則 振子2 做加速滑移運(yùn)動(dòng)，即前滑段。此時(shí)，振子1 與振子2都處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程為

若振子2 所受到的力小于振子2 所受的彈簧3的彈性力及摩擦力，且同時(shí)振子2的速度不為零，即時(shí)，則振子2 做減速滑移運(yùn)動(dòng)，即后滑段。此時(shí)，振子1 與振子2都處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程為

階段2：粘著段

若滿足振子2 所受到的力小于振子2 所受彈性力及摩擦力，且同時(shí)振子2 的速度為零，即時(shí)，則振子2處于黏滯狀態(tài)。此時(shí)，振子1為運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，振子2為黏滯狀態(tài)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程為

階段3：碰撞段

由于摩擦力的作用，系統(tǒng)在粘著狀態(tài)下不會(huì)發(fā)生碰撞，而在滑動(dòng)狀態(tài)時(shí)，當(dāng)振子1 與振子2 的位移滿足 ||x1-x2=b,則此時(shí)振子1 與振子2 發(fā)生碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒定律及碰撞關(guān)系得

通過(guò)數(shù)值模擬對(duì)綜上所述的含間隙及摩擦的碰撞-振動(dòng)系統(tǒng)的3 種運(yùn)動(dòng)階段進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，由于對(duì)稱剛性約束碰撞振動(dòng)系統(tǒng)在適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)參數(shù)條件下能夠呈現(xiàn)對(duì)稱型1-1-1周期運(yùn)動(dòng)，這里用n-p-q表示系統(tǒng)的周期碰撞運(yùn)動(dòng)，n表示力周期數(shù)，p和q分別表示振子1 與振子2 在擋板A 和C 的碰撞次數(shù)。為了研究摩擦碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)及分岔現(xiàn)象，選取Poincaré 截面建立Poincaré映射：

式中：X∈R4;v是實(shí)參數(shù)。

2 激振頻率對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響

事先通過(guò)選取多組系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行大量的數(shù)值仿真，發(fā)現(xiàn)選取如下系統(tǒng)參數(shù)：M1=0.1kg,M2=1.0 kg,K1=K2=4.44 N/m,K3=6.68 N/m,C1=C2=0.25 N ?s/m,ξ=0.5,vs=0.15,σ0=2 500,b=0.2,R=0.8,α=3.2,μk=0.5,μs=0.25,σ1=100,σ2=10，系統(tǒng)存在特定的分岔行為，如圖3所示。

進(jìn)而分析Lugre 動(dòng)摩擦對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響，由圖3可見(jiàn)隨著頻率ω的增大，系統(tǒng)總在混沌狀態(tài)與逆周期倍化分岔狀態(tài)之間相互轉(zhuǎn)換，在ω=12.77時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔，最后在ω＞13.34時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入周期1穩(wěn)定狀態(tài)。

圖4為系統(tǒng)在激振頻率ω取不同值時(shí)的相圖和時(shí)間歷程圖。如圖4(a)所示，當(dāng)ω=13.34 時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)出非對(duì)稱的周期1-1-1 運(yùn)動(dòng)，隨著激振頻率的減小，系統(tǒng)從穩(wěn)定的周期1 運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌狀態(tài)；在ω=7.0時(shí)，系統(tǒng)從混沌狀態(tài)進(jìn)入周期1－2－2運(yùn)動(dòng)，相圖如4(b)所示，隨后又進(jìn)入混沌狀態(tài)；當(dāng)激振頻率減小到ω=5.1 時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入周期1-3-3 運(yùn)動(dòng)，相圖如4(c)所示，在ω=4.9時(shí),系統(tǒng)發(fā)生倍化分岔，隨后隨著激振頻率的遞減，系統(tǒng)又進(jìn)入混沌狀態(tài)；當(dāng)ω=4.0 時(shí)，系統(tǒng)又進(jìn)入周期1-4-4 運(yùn)動(dòng)，相圖如4(d)所示，在ω=3.85時(shí)，系統(tǒng)又發(fā)生倍化分岔；隨著激振頻率的不斷遞減，系統(tǒng)在ω=3.3 和ω=2.7 時(shí)，分別由混沌狀態(tài)進(jìn)入周期1-4-4運(yùn)動(dòng)和周期1-5-5運(yùn)動(dòng)，相圖如圖4(e)和圖4(f)所示，在ω變化期間，系統(tǒng)又經(jīng)歷了由混沌狀態(tài)到倍化分岔以及由倍化分岔再到混沌狀態(tài)的改變。圖4(g)至圖4(h)所示的ω=13.34 時(shí)的時(shí)間歷程圖詳細(xì)描述了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。以碰撞前A點(diǎn)為起始點(diǎn)進(jìn)行分析，系統(tǒng)開(kāi)始由A點(diǎn)進(jìn)入到碰撞階段，碰撞瞬間完成，速度發(fā)生突變，但位移未發(fā)生改變，到B點(diǎn)碰撞階段結(jié)束；此時(shí)系統(tǒng)由B點(diǎn)進(jìn)入后滑段，速度逐漸降低，此時(shí)摩擦力小于驅(qū)動(dòng)力，在CD段發(fā)生粘滑現(xiàn)象，速度、位移基本未發(fā)生變化；隨著力方向的變化，在驅(qū)動(dòng)力大于摩擦力的瞬間，速度發(fā)生突變，但速度突變幅值較小，接近平滑過(guò)渡，E 點(diǎn)為粘滑現(xiàn)象結(jié)束點(diǎn)；此后由于系統(tǒng)受力方向和速度方向一致，因此在E 點(diǎn)進(jìn)入前滑段，在F 點(diǎn)發(fā)生碰撞，前滑段結(jié)束，速度發(fā)生跳躍，G點(diǎn)為碰撞結(jié)束點(diǎn)，在GA段，由于力方向和速度方向的不斷變化，系統(tǒng)先進(jìn)入后滑段，接著過(guò)渡到前滑段，到A點(diǎn)完成系統(tǒng)的一個(gè)周期運(yùn)動(dòng)。由于AB段為碰撞段，速度發(fā)生跳躍，但位移未發(fā)生改變，故在圖4(h)所示的位移-時(shí)間歷程圖中，A、B點(diǎn)是重合的，同理，E、F點(diǎn)也是重合的。

圖3 系統(tǒng)隨量綱-激振頻率的分岔圖

3 間隙對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響

選取大量參數(shù)進(jìn)行數(shù)值仿真分析，為更加明顯表現(xiàn)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，現(xiàn)選取系統(tǒng)參數(shù)如下：

M1=0.1kg,M2=1.0 kg,K1=K2=4.44 N/m,C1=C2=0.25 N ?s/m,K3=6.68 N/m,ξ=0.5,vs=0.15,σ0=3 000,ω=2.2,R=0.5,α=3.2,μk=0.5,μs=0.55,σ1=500，σ2=10。對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，以滾子與隔離塊之間的間隙b作為分岔參數(shù)，分析其對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響，得到系統(tǒng)在不同激振頻率下的分岔圖如圖5所示，其中圖5(a)是當(dāng)激振頻率ω=2.2時(shí)，得到的系統(tǒng)全局分岔圖，從圖中可以看出隨著間隙b的增大，系統(tǒng)由原先的混沌狀態(tài)逐漸進(jìn)入逆周期倍化分岔狀態(tài)，同時(shí)在不斷的遞增過(guò)程中，又再次進(jìn)入混沌狀態(tài)系統(tǒng)，隨后又發(fā)生逆周期倍化分岔以及后面的Hopf分岔，同時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期也在逐漸減?。粓D5(b)為圖5(a)的局部放大分岔圖，該圖可以更加清楚顯示系統(tǒng)在ω=2.2 時(shí)的分岔狀態(tài)。圖5(c)至圖5(d)分別為激振頻率ω=5.0 和ω=8.0 時(shí)的系統(tǒng)分岔圖，結(jié)合ω=2.2 時(shí)的分岔圖，可以看出將間隙b控制在一定的范圍內(nèi)時(shí)，隨著激振頻率ω的增加，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期會(huì)越來(lái)越小，直至最后的周期1 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

4 結(jié)語(yǔ)

本文建立一類兩自由度含間隙及摩擦碰撞振動(dòng)的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，根據(jù)實(shí)際情況，詳細(xì)分析了該系統(tǒng)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，列出系統(tǒng)在不同運(yùn)動(dòng)階段的判斷依據(jù)，并利用數(shù)值仿真分析了Lugre 動(dòng)摩擦模型對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響，為該類系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化及穩(wěn)定性分析提供一定的理論依據(jù)。

(1)當(dāng)激振頻率較小時(shí)，系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象較為明顯，存在較多的運(yùn)動(dòng)周期，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為變得較為復(fù)雜，隨著激振頻率的遞增，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期現(xiàn)象逐漸減小，直至進(jìn)入穩(wěn)定的周期1運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

(2)當(dāng)激振頻率與間隙均較小時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為較為復(fù)雜，總在混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和逆周期倍化分岔狀態(tài)之間變化，存在多周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程較為復(fù)雜。但若將間隙控制在一定的范圍內(nèi)時(shí)，隨著激振頻率的增加，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期會(huì)越來(lái)越小，動(dòng)力學(xué)行為也變得不再?gòu)?fù)雜。

圖4 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)相圖和時(shí)間歷程圖

圖5 系統(tǒng)隨間隙變化的分岔圖