速算三角

蘇嘉煒

也許，很多人都曾經(jīng)幻想過(guò)自己在《哈利·波特》的魔法世界里，成為一名出色的巫師，能操縱厲害的法器，擊退來(lái)犯的勁敵。但你可曾想過(guò)，在數(shù)學(xué)世界里，也存在著許多令人稱奇的“神兵利器”，本期魔術(shù)師所使用的“楊輝三角”便是其中之一。讓我們屏住呼吸，一同來(lái)見(jiàn)證魔術(shù)師如何借助它，來(lái)呈現(xiàn)“一秒速算”的奇跡。

魔術(shù)道具：紙和筆

魔術(shù)步驟：

魔術(shù)師向觀眾展示出了一張紙板，上面有一個(gè)由許多數(shù)組成的三角形。魔術(shù)師請(qǐng)觀眾圈出一個(gè)小三角形，并且三角形頂點(diǎn)上的數(shù)必須為1。此時(shí)，只見(jiàn)觀眾圈出了如圖所示的小三角形中的一條斜邊。斜邊上的數(shù)為“1，3，6，10，15，21”。

魔術(shù)師宣布演出即將進(jìn)入激動(dòng)人心的環(huán)節(jié)。他向觀眾表示，只需要一秒鐘，他就可以算出斜邊上的數(shù)字之和為多少。緊接著，魔術(shù)師就微微一笑說(shuō)出了答案：“56?！?/p>

魔術(shù)師請(qǐng)臺(tái)下觀眾動(dòng)筆，驗(yàn)證一下自己所說(shuō)的計(jì)算結(jié)果是否正確。在數(shù)十秒的計(jì)算過(guò)后，觀眾們發(fā)現(xiàn)自己算出的答案與魔術(shù)師速算得到的結(jié)果相同。臺(tái)下瞬間開(kāi)始沸騰，片刻后掌聲雷動(dòng)。

為了讓觀眾再度一睹這個(gè)魔術(shù)的魅力，魔術(shù)師拿出另一張紙板，并在上面畫(huà)了一個(gè)更大的三角形。這個(gè)三角形與上一個(gè)三角形對(duì)比，行數(shù)由8行增至9行。之后，魔術(shù)師請(qǐng)觀眾重新圈出一條斜邊。

在觀眾向魔術(shù)師展示了所圈出的斜邊上的數(shù)“1，2，3，4，5，6，7，8”后，魔術(shù)師僅花一秒，便不負(fù)眾望地得出了結(jié)果“36”。至此，魔術(shù)師的精彩表演贏得了觀眾們的陣陣驚呼。

揭秘時(shí)刻

相信此時(shí)的你在驚嘆魔術(shù)表演的神奇之余，也對(duì)其背后的原理無(wú)比好奇吧？讓我們一同來(lái)探個(gè)究竟吧！

以1為端點(diǎn)作一個(gè)三角形，假設(shè)左側(cè)斜邊另一個(gè)端點(diǎn)上的數(shù)為大三角形的第i行的第j個(gè)數(shù)，那么左側(cè)斜邊上所有的數(shù)之和，就等于大三角形的第i+1行的第j+1個(gè)數(shù)，或者第i行的第j個(gè)數(shù)與第i行的第j+1個(gè)數(shù)的和。而對(duì)于右側(cè)斜邊來(lái)說(shuō)，斜邊上所有的數(shù)之和為大三角形的第i+1行的第j-1個(gè)數(shù)，或者第i行的第j個(gè)數(shù)與第i行的第j-1個(gè)數(shù)之和。

舉個(gè)例子，如圖所示的斜邊上的一個(gè)端點(diǎn)為“6”，它是第7行的第2個(gè)數(shù)，那么這條斜邊上的數(shù)之和，就是第（7+1）行第（2+1）個(gè)數(shù)，也就是“21”。