隨機(jī)FG-CNTRC結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性分析

李 琳，徐亞蘭

(西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西西安710071)

功能梯度碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料(Functionally Graded-Carbon NanoTube Reinforced Composite，F(xiàn)G-CNTRC)結(jié)構(gòu)由于存在載荷波動(dòng)、隨機(jī)材料參數(shù)、結(jié)構(gòu)建模不精確等不確定性因素而表現(xiàn)出明顯的隨機(jī)特性，其中最為主要的是碳納米管(Carbon Nano Tube，CNT)增強(qiáng)體材料由于其復(fù)雜的制備工藝和制備環(huán)境，一直存在較多缺陷且純度較低。同時(shí)，復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中碳納米管的梯度排布方式還沒有得到完全的控制，不同的實(shí)驗(yàn)方法和實(shí)驗(yàn)材料對(duì)最終獲得的碳納米管復(fù)合材料的性質(zhì)有很大的影響[1]。研究表明，在隨機(jī)多尺度建模下碳納米管體積分?jǐn)?shù)的隨機(jī)性會(huì)使CNT增強(qiáng)復(fù)合材料的楊氏模量、泊松比等材料物理參數(shù)產(chǎn)生波動(dòng)；碳納米管均勻分布及正態(tài)函數(shù)分布方式下，材料物理參數(shù)方差和期望的取值會(huì)使結(jié)構(gòu)等效力學(xué)性能發(fā)生改變[2-4]。同時(shí)，功能梯度材料作為非均質(zhì)復(fù)合材料，其組分材料物理參數(shù)及組分分布的固有不確定性會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率及模態(tài)振型產(chǎn)生較大的分散性[5-7]。因此采用隨機(jī)性分析方法研究FG-CNTRC結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性是十分必要的。但是，目前關(guān)于FG-CNTRC結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的研究大多仍是傳統(tǒng)的確定性分析方法，如采用瑞利里茲法和微分求積法研究在碳納米管不同排布方式下FG-CNTRC結(jié)構(gòu)的幾何非線性自由振動(dòng)及線性彎曲[8-11]；基于高階剪切變形理論運(yùn)用有限元方法研究FG-CNTRC結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)及振動(dòng)分析等[12-13]；這使得研究結(jié)果具有很大的保守性。因此筆者針對(duì)隨機(jī)FG-CNTRC梁結(jié)構(gòu)，運(yùn)用一階攝動(dòng)法建立隨機(jī)有限元模型，進(jìn)一步研究了組分材料物理參數(shù)及組分分布隨機(jī)性對(duì)FG-CNTRC梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響。

1 隨機(jī)FG-CNTRC梁的材料特性

1.1 碳納米管復(fù)合材料的物理性能

圖1 FG-CNTRC梁的結(jié)構(gòu)示意圖

FG-CNTRC梁結(jié)構(gòu)中碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料為線性功能梯度排布方式，其中FG-CNTRC梁的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，碳納米管增強(qiáng)材料在結(jié)構(gòu)橫截面V型功能梯度 (Functional Gradient V-type，F(xiàn)G-V)排布，X型功能梯度 (Functional Gradient X-type，F(xiàn)G-X)排布，O型功能梯度 (Functional Gradient O-type，F(xiàn)G-O)排布及均勻排布 (Untiform Distribution，UD)如圖2所示，且碳納米管不同排布方式下的體積分?jǐn)?shù)可表示為

(1)

其中，h為梁厚度，z為沿厚度方向的坐標(biāo)，且

(2)

其中，ωCNT為碳納米管的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，ρCNT和ρm分別為碳納米管材料和基體材料的質(zhì)量密度。

圖2 碳納米管四種排布方式

引入碳納米管效能參數(shù)以考慮材料模型中小尺度效應(yīng)、界面效應(yīng)、應(yīng)變梯度效應(yīng)等影響，則廣義混合律可表示為

(3)

(4)

1.2 材料的隨機(jī)特性

FG-CNTRC梁結(jié)構(gòu)的隨機(jī)性主要取決于其組分材料物理參數(shù)及組分分布的隨機(jī)性，且將材料參數(shù)的隨機(jī)擾動(dòng)視為空間中的隨機(jī)過(guò)程。運(yùn)用以均值為中心的一階攝動(dòng)法，將FG-CNTRC梁結(jié)構(gòu)中楊氏模量E11及質(zhì)量密度ρ的擾動(dòng)用隨機(jī)小參數(shù)α來(lái)表示，則E11和ρ可表示為確定部分和隨機(jī)部分之和：

(5)

(6)

2 隨機(jī)FG-CNTRC梁的動(dòng)力學(xué)分析

2.1 應(yīng)力應(yīng)變位移關(guān)系

運(yùn)用高階剪切變形理論，F(xiàn)G-CNTRC梁位移場(chǎng)的表達(dá)式為

(7)

基于小應(yīng)變假設(shè)，F(xiàn)G-CNTRC梁的應(yīng)變場(chǎng)和位移場(chǎng)關(guān)系為

(8)

應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)的關(guān)系可簡(jiǎn)化為

(9)

2.2 隨機(jī)有限元模型

針對(duì)隨機(jī)FG-CNTRC梁結(jié)構(gòu)，運(yùn)用一階攝動(dòng)法建立其隨機(jī)有限元模型，單元e的中面位移矢量可表示為

(10)

其中，N為相關(guān)形函數(shù)矩陣，e1、e2為單元e的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，qe為廣義節(jié)點(diǎn)位移。

應(yīng)變場(chǎng)和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系為：

(11)

單元e的動(dòng)能和應(yīng)變能為

(12)

將式(7),(8),(9),(10)帶入式(12)，運(yùn)用Hamilton原理，單元e無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程式可表示為

(13)

(14)

由式(6)可知，單元質(zhì)量矩陣和單元?jiǎng)偠染仃囈部杀硎緸榇_定性部分和隨機(jī)部分之和，則式(14)可轉(zhuǎn)換為

(15)

(16)

2.3 動(dòng)力特性分析

將單元質(zhì)量矩陣、單元?jiǎng)偠染仃嚱M裝為總質(zhì)量矩陣和總剛度矩陣，則隨機(jī)FG-CNTRC梁n自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程可表示為

(17)

(18)

其中，Te是坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。

將式(17)轉(zhuǎn)化關(guān)于第j階固有頻率fj和主振型φj的振型方程，即

(K-(2πfj)2M)φj=0,j=1,2,…,n，

(19)

其中，結(jié)構(gòu)固有頻率和振型也可表示為確定部分和隨機(jī)部分之和，即

(20)

同樣，結(jié)構(gòu)第j階固有頻率fj可表示為

(21)

同一空間下任意矢量可表示為線性向量的組合，因此振型隨機(jī)向量部分可表示為

(22)

其中，εrj,r=1,2,…,n是需要確定的小系數(shù)。

將式(18)、(20)代入式(19)，可得

(23)

(24)

(25)

其中，δij是克羅內(nèi)克函數(shù)。

則從式(24)中可得第j階固有頻率的隨機(jī)部分為

(26)

(27)

3 數(shù)值研究

本節(jié)選擇聚酰亞胺薄膜(Poly-Co-Vinylene，PmPv)作為基體材料，碳納米管作為增強(qiáng)體材料組成功能梯度碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料梁結(jié)構(gòu)，室溫下兩種組成材料的屬性如表1所示，結(jié)構(gòu)幾何尺寸參數(shù)為長(zhǎng)20 m，寬0.4 m，長(zhǎng)細(xì)比20，并將結(jié)構(gòu)劃分為8個(gè)單元，邊界條件為左端固定，右端自由。

表1 材料屬性

圖3 碳納米管FG-X型排布時(shí)結(jié)構(gòu)一階頻率分散性

由圖3(a)可知：(1)組分材料物理參數(shù)隨機(jī)性相較于組分分布隨機(jī)性對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率分散性有更大的貢獻(xiàn)；(2)當(dāng)碳納米管體積分?jǐn)?shù)相對(duì)較小時(shí)，基體材料隨機(jī)性對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率分散性的貢獻(xiàn)較大，隨著碳納米管體積分?jǐn)?shù)的增加，基體材料隨機(jī)性的貢獻(xiàn)逐漸減弱，碳納米管材料隨機(jī)性對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率分散性的貢獻(xiàn)逐漸增強(qiáng)；(3)同時(shí)考慮組分材料物理參數(shù)及組分分布隨機(jī)性，隨著碳納米管體積分?jǐn)?shù)的增加，結(jié)構(gòu)固有頻率分散性開始有所降低而后轉(zhuǎn)為增加的趨勢(shì)，最低點(diǎn)接近于兩種組分材料物理參數(shù)隨機(jī)性對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率具有相同影響的點(diǎn)。

由圖3(b)可知，僅考慮單一組分材料物理參數(shù)隨機(jī)性對(duì)FG-CNTRC梁結(jié)構(gòu)固有頻率分散性的貢獻(xiàn)時(shí)，基體材料楊氏模量的隨機(jī)性比質(zhì)量密度的隨機(jī)性對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的分散性貢獻(xiàn)大；碳納米管材料作為增強(qiáng)體材料，質(zhì)量密度的隨機(jī)性比楊氏模量的隨機(jī)性對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的分散性貢獻(xiàn)大。

再者，由于碳納米管在制備過(guò)程中存在不同梯度排布及均勻排布方式，因此進(jìn)一步研究碳納米管不同排布方式對(duì)隨機(jī)FG-CNTRC梁固有頻率的影響。以碳納米管FG-V,FG-X,FG-O型梯度排布及UD型均勻排布為例，結(jié)構(gòu)前兩階頻率變異系數(shù)曲線如圖4、圖5所示。

圖4 碳納米管不同排布時(shí)單一材料隨機(jī)變量下結(jié)構(gòu)頻率分散性

圖5 碳納米管不同排布時(shí)所有隨機(jī)變量下結(jié)構(gòu)頻率分散性

由圖4可知，隨著碳納米管體積分?jǐn)?shù)的增加，僅考慮基體材料隨機(jī)性時(shí)，由于碳納米管FG-X型梯度排布結(jié)構(gòu)上下表面碳納米管密度最大，因此前兩階頻率分散性最小且衰減最快，反之，碳納米管FG-O型梯度排布結(jié)構(gòu)上下表面碳納米管密度最小，結(jié)構(gòu)前兩階頻率分散性最大且衰減最慢；同理，僅考慮碳納米管材料隨機(jī)性時(shí)，碳納米管FG-X型梯度排布結(jié)構(gòu)前兩階頻率分散性最大且增加最快，碳納米管FG-O型梯度排布結(jié)構(gòu)前兩階頻率分散性最小且增加最慢。

由圖5可知：(1)碳納米管不同排布方式下，F(xiàn)G-CNTRC梁結(jié)構(gòu)組分材料物理參數(shù)及組分分布隨機(jī)性對(duì)結(jié)構(gòu)前兩階頻率分散性的貢獻(xiàn)幾乎相同；(2)當(dāng)碳納米管體積分?jǐn)?shù)較小時(shí)，基體材料隨機(jī)性起主導(dǎo)作用，碳納米管FG-O型梯度排布結(jié)構(gòu)上下表面碳納米管密度最小，因此前兩階頻率分散性最大且衰減最緩慢，其他三種排布方式下頻率分散性衰減相對(duì)較快；(3)當(dāng)碳納米管體積分?jǐn)?shù)到達(dá)一定值時(shí)，碳納米管隨機(jī)性開始起主導(dǎo)作用,其中碳納米管FG-V,FG-X,UD型排布方式，結(jié)構(gòu)前兩階頻率分散性出現(xiàn)明顯的拐點(diǎn)而后迅速增大，碳納米管FG-X型梯度排布結(jié)構(gòu)上下表面碳納米管密度最大，因此頻率分散性增大趨勢(shì)最為顯著，而此時(shí)FG-O型梯度排布由于結(jié)構(gòu)上下表面碳納米管密度最小，碳納米管材料隨機(jī)性仍沒有較為明顯的主導(dǎo)作用，因此前兩階頻率分散性仍處于減小趨勢(shì)且逐漸變?yōu)樽钚　?/p>

4 結(jié)束語(yǔ)

筆者運(yùn)用一階攝動(dòng)法，研究了FG-CNTRC梁結(jié)構(gòu)組分材料物理參數(shù)及組分分布隨機(jī)性對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率的影響，對(duì)比分析了碳納米管不同排布方式下結(jié)構(gòu)前兩階頻率變異系數(shù)的曲線變化。研究表明：組分材料物理參數(shù)隨機(jī)性相較于組分分布隨機(jī)性對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率分散性的貢獻(xiàn)更大；碳納米管體積分?jǐn)?shù)較小時(shí)，基體材料隨機(jī)性對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率分散性的貢獻(xiàn)起主導(dǎo)作用，隨著碳納米管體積分?jǐn)?shù)的增加，碳納米管材料隨機(jī)性對(duì)結(jié)構(gòu)固有頻率分散性的貢獻(xiàn)逐漸增加且起主導(dǎo)作用；碳納米管體積分?jǐn)?shù)較小時(shí)，碳納米管FG-O型梯度排布結(jié)構(gòu)前兩階頻率分散性最大；反之，當(dāng)碳納米管體積分?jǐn)?shù)到達(dá)一定值時(shí)，碳納米管FG-X型梯度排布結(jié)構(gòu)前兩階頻率分散性最大。