微機(jī)電系統(tǒng)麥克風(fēng)靈敏度不確定性分析

劉 雷，賈仁需

(西安電子科技大學(xué)微電子學(xué)院陜西西安710071)

微機(jī)電系統(tǒng)是在微電子技術(shù)基礎(chǔ)上融合硅微加工和精密機(jī)械加工等多種微加工技術(shù)，并應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)構(gòu)造的微型系統(tǒng)。微機(jī)電系統(tǒng)技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于麥克風(fēng)、開(kāi)關(guān)、陀螺儀、加速度計(jì)、諧振器和可調(diào)天線等領(lǐng)域[1]。靈敏度是標(biāo)準(zhǔn)聲學(xué)輸入時(shí)微機(jī)電系統(tǒng)電容麥克風(fēng)輸出端機(jī)械或電氣響應(yīng)，是衡量麥克風(fēng)性能的重要指標(biāo)。影響微機(jī)電系統(tǒng)器件不確定性因素包括微機(jī)械結(jié)構(gòu)性能退化和制造工藝造成器件表面形狀不規(guī)則、殘余應(yīng)力與化學(xué)殘留等[2-4]。傳統(tǒng)微機(jī)電系統(tǒng)器件不確定性分析主要采用基于有限元模型的蒙特卡羅方法[5-6]。此方法的優(yōu)點(diǎn)是數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單、模擬精度高，缺點(diǎn)是過(guò)多的采樣數(shù)需要耗費(fèi)大量的計(jì)算資源。為提高蒙特卡羅仿真效率，計(jì)算模型采用集總參數(shù)模型[7]和降階模型[8]，采樣方法包括拉丁超立方采樣[9-10]等。其他微機(jī)電系統(tǒng)器件不確定分析方法包括混沌多項(xiàng)式展開(kāi)[11]、不確定性量化[12]和多項(xiàng)式擬合[13]等。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算速度快，相比于微機(jī)電系統(tǒng)器件的集總參數(shù)模型和降階模型，仿真精度又具有明顯優(yōu)勢(shì)。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型已經(jīng)廣泛應(yīng)用于仿真微機(jī)電系統(tǒng)開(kāi)關(guān)閉合電壓[14-16]和S參數(shù)[17-18]、微機(jī)電系統(tǒng)諧振器諧振頻率[19]和寄生模態(tài)[20]等。

現(xiàn)有的微機(jī)電系統(tǒng)器件不確定性分析方法存在仿真精度與效率無(wú)法兼得的缺點(diǎn)，仿真精度提高往往需要大量計(jì)算資源。為提高微機(jī)電系統(tǒng)麥克風(fēng)不確定性分析方法的仿真精度和降低計(jì)算耗時(shí)，筆者建立基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的微機(jī)電系統(tǒng)電容麥克風(fēng)靈敏度模型。通過(guò)隨機(jī)采樣和拉丁超立方采樣蒙特卡羅模擬，研究振膜幾何、材料參數(shù)的偏差對(duì)多晶硅圓形固支振膜微機(jī)電系統(tǒng)電容麥克風(fēng)靈敏度不確定性影響。模型采用反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Back Propagation Neural Network，BPNN)，輸入包括麥克風(fēng)振膜幾何、材料參數(shù)，輸出為機(jī)械靈敏度。

圖1 微機(jī)電系統(tǒng)電容麥克風(fēng)結(jié)構(gòu)示意圖

1 微機(jī)電系統(tǒng)電容麥克風(fēng)設(shè)計(jì)

微機(jī)電系統(tǒng)電容麥克風(fēng)由振膜、空氣間隙、支撐區(qū)、固定背板和背板上的聲孔等組成。筆者設(shè)計(jì)多晶硅圓形固支振膜麥克風(fēng)，結(jié)構(gòu)如圖1所示。麥克風(fēng)工作時(shí)，振膜與背板間施加直流偏置電壓。在外部聲波壓力信號(hào)作用下振膜發(fā)生振動(dòng)，造成振膜與背板之間電容變化，通過(guò)檢測(cè)電路將其轉(zhuǎn)化為電壓信號(hào)輸出。

圖1中圓形振膜半徑R，厚度h，空氣縫隙高度g，背腔高度d，振膜彈性模量E，泊松比ν，幾何及材料參數(shù)取值范圍如表1所示。

表1 微機(jī)電系統(tǒng)電容麥克風(fēng)振膜幾何及材料參數(shù)取值范圍

2 基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拉丁超立方蒙特卡羅模擬

2.1 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

圖2 微機(jī)電系統(tǒng)電容麥克風(fēng)靈敏度人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型結(jié)構(gòu)

在Matlab軟件環(huán)境中訓(xùn)練反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為微機(jī)電系統(tǒng)電容麥克風(fēng)靈敏度模型，模型輸入為振膜半徑、厚度和彈性模量，輸出為靈敏度。采用單隱層5個(gè)神經(jīng)元模型，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、訓(xùn)練效率高，仿真精度測(cè)試結(jié)果滿足設(shè)計(jì)要求。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

振膜幾何、材料參數(shù)取值范圍如表1所示。為保證設(shè)計(jì)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型仿真精度，通過(guò)Ansys軟件共得到1 275組靈敏度數(shù)據(jù)，其中80%數(shù)據(jù)用于模型訓(xùn)練，20%數(shù)據(jù)用于模型驗(yàn)證及仿真測(cè)試。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型訓(xùn)練目標(biāo)設(shè)為均方差小于1%，當(dāng)模型仿真結(jié)果與訓(xùn)練數(shù)據(jù)之間均方差大于1%時(shí)，調(diào)整網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)重新訓(xùn)練，直至神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仿真精度測(cè)試滿足設(shè)計(jì)要求。與有限元方法計(jì)算結(jié)果相比，模型測(cè)試均方差為0.12%，完全滿足設(shè)計(jì)要求。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立流程如圖3所示。

2.2 拉丁超立方蒙特卡羅模擬

微機(jī)電系統(tǒng)電容麥克風(fēng)工作過(guò)程涉及聲學(xué)、力學(xué)、機(jī)械學(xué)和電子學(xué)等多學(xué)科，微尺寸三維結(jié)構(gòu)及多物理場(chǎng)耦合導(dǎo)致靈敏度精確表達(dá)式無(wú)法得到，因此通過(guò)表達(dá)式求解靈敏度概率密度非常困難。蒙特卡羅模擬適用于計(jì)算過(guò)程復(fù)雜、難以得到研究對(duì)象精確表達(dá)式或者不存在解析解的情況，采用蒙特卡羅模擬分析微機(jī)電系統(tǒng)器件不確定性是當(dāng)前研究熱點(diǎn)。蒙特卡羅模擬根據(jù)輸入?yún)?shù)的隨機(jī)分布生成采樣樣本空間，通過(guò)海量計(jì)算模擬輸出變量的概率密度。當(dāng)采樣規(guī)模足夠大時(shí)，傳統(tǒng)蒙特卡羅模擬具有很高精度；但是其缺點(diǎn)也非常明顯，過(guò)于龐大的計(jì)算量導(dǎo)致模擬效率非常低下。

拉丁超立方蒙特卡羅模擬包括拉丁超立方采樣和蒙特卡羅模擬兩部分，是隨機(jī)采樣蒙特卡羅模擬的改進(jìn)方法。拉丁超立方采樣根據(jù)輸入變量的概率密度函數(shù)進(jìn)行分層采樣，每個(gè)固定概率區(qū)間內(nèi)只隨機(jī)抽取一個(gè)采樣點(diǎn)，有效解決隨機(jī)采樣中樣本坍塌問(wèn)題。與傳統(tǒng)隨機(jī)采樣蒙特卡羅模擬相比，采用拉丁超立方采樣的蒙特卡羅模擬輸入空間覆蓋率大，計(jì)算效率高，具有很好的魯棒性。

圖3 基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的的拉丁超立方蒙特卡羅模擬程序流程圖

基于人工神經(jīng)網(wǎng)路的拉丁超立方蒙特卡羅模擬程序流程如圖3所示。模型包括兩個(gè)子程序：人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立及拉丁超立方蒙特卡羅模擬。蒙特卡羅模擬程序首先設(shè)置麥克風(fēng)振膜半徑、厚度和彈性模量概率密度參數(shù)，包括設(shè)計(jì)均值、偏差及分布類型；其次設(shè)置采樣數(shù)，然后對(duì)輸入變量空間進(jìn)行拉丁超立方采樣。采樣點(diǎn)輸入人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型計(jì)算靈敏度，得到最終概率密度。如果蒙特卡羅模擬輸出不收斂，則增大采樣次數(shù)直至仿真收斂。

3 模擬結(jié)果及討論

3.1 微機(jī)電系統(tǒng)電容麥克風(fēng)靈敏度合格率

表2 微機(jī)電系統(tǒng)電容麥克風(fēng)振膜參數(shù)設(shè)計(jì)值及偏差

筆者研究微機(jī)電系統(tǒng)電容麥克風(fēng)，由制造工藝造成麥克風(fēng)振膜參數(shù)偏差符合均勻分布，振膜設(shè)計(jì)值及偏差如表2所示。

設(shè)置采樣數(shù)為100次，對(duì)振膜厚度、半徑組成的二維空間進(jìn)行隨機(jī)采樣和拉丁超立方采樣，仿真結(jié)果歸一化后采樣點(diǎn)分布對(duì)比如圖4(a)所示。采樣數(shù)設(shè)為1 000次，對(duì)厚度一維變量進(jìn)行隨機(jī)采樣和拉丁超立方采樣，仿真結(jié)果歸一化后概率密度對(duì)比如圖4(b)所示。

(a) 厚度、半徑二維空間拉丁超立方采樣點(diǎn)分布 (b) 厚度隨機(jī)采樣與拉丁超立方采樣概率密度對(duì)比圖4 隨機(jī)采樣和拉丁超立方采樣點(diǎn)分布和概率密度對(duì)比

圖4(a)中當(dāng)采用隨機(jī)采樣時(shí)，采樣點(diǎn)在某些區(qū)域過(guò)于集中，整個(gè)變量空間存在未采樣區(qū)域，具有明顯樣本坍塌現(xiàn)象。相比于隨機(jī)采樣，拉丁超立方采樣點(diǎn)在整個(gè)輸入空間內(nèi)分布更為均勻。圖4(b)中隨機(jī)采樣的黑柱高度參差不齊，概率密度均勻性很差；拉丁超立方采樣的灰色柱高度幾乎完全一致，說(shuō)明拉丁超立方采樣在一維輸入空間內(nèi)分層均勻采樣，具有良好的樣本空間均勻性。

當(dāng)振膜參數(shù)取設(shè)計(jì)值時(shí)，麥克風(fēng)靈敏度為0.937 nm/Pa。文中設(shè)置靈敏度合格的偏差為±10%，即靈敏度在[0.84,1.03]范圍內(nèi)認(rèn)為性能滿足設(shè)計(jì)要求。圖5所示隨機(jī)采樣和拉丁超立方采樣蒙特卡羅模擬仿真麥克風(fēng)靈敏度合格率隨采樣數(shù)變化曲線。

圖5 蒙特卡羅模擬仿真靈敏度合格率隨采樣數(shù)變化曲線

如圖5所示，隨著采樣率增加，蒙特卡羅模擬合格率逐漸收斂。當(dāng)采樣數(shù)為105時(shí)，兩種采樣方法蒙特卡羅模擬合格率均收斂到92.9%。當(dāng)采樣數(shù)大于9 000次時(shí)，隨機(jī)采樣模擬開(kāi)始逐漸收斂于92.9%，計(jì)算耗時(shí)大約為2 min。當(dāng)采樣數(shù)為1 000時(shí)，拉丁超立方采樣模擬收斂于92.9%，計(jì)算耗時(shí)僅為10 s。相比隨機(jī)采樣，拉丁超立方采樣收斂需要采樣點(diǎn)數(shù)僅為11%，計(jì)算耗時(shí)也大幅下降。總之，拉丁超立方采樣蒙特卡羅模擬仿真麥克風(fēng)靈敏度合格率計(jì)算速度快、精度高，是微機(jī)電系統(tǒng)電容麥克風(fēng)靈敏度不確定性分析的優(yōu)良方法。

3.2 微機(jī)電系統(tǒng)電容麥克風(fēng)靈敏度概率密度

設(shè)置采樣數(shù)為104，采用隨機(jī)采樣和拉丁超立方采樣蒙特卡羅模擬麥克風(fēng)靈敏度概率密度，計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖6所示。由圖6(a)可以看出，兩種采樣方法蒙特卡羅模擬結(jié)果相近。因此，基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拉丁超立方蒙特卡羅模擬分析微機(jī)電系統(tǒng)電容麥克風(fēng)靈敏度概率密度方法有效。采用正態(tài)分布擬合靈敏度仿真結(jié)果，均值μ=0.934，標(biāo)準(zhǔn)差δ=0.242。

(a) 隨機(jī)采樣與拉丁超立方采樣仿真靈敏度分布 (b) 正態(tài)分布擬合靈敏度分布仿真結(jié)果圖6 隨機(jī)采樣和拉丁超立方采樣蒙特卡羅模擬仿真靈敏度概率密度

改變振膜半徑、厚度和彈性模量設(shè)計(jì)參數(shù)，利用拉丁超立方蒙特卡羅模擬仿真麥克風(fēng)靈敏度分布箱線圖如圖7所示。由圖可知，振膜幾何、材料設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)麥克風(fēng)靈敏度分布影響明顯。圖7(a)中隨著振膜半徑增大，靈敏度分布均值和標(biāo)準(zhǔn)差增大；圖7(b)中隨著振膜厚度增大，靈敏度分布均值和標(biāo)準(zhǔn)差減小；圖7(c)中隨著彈性模量增大，靈敏度分布均值減小，標(biāo)準(zhǔn)差幾乎不變。由圖示的變化趨勢(shì)可以看出，振膜半徑對(duì)靈敏度概率密度影響最為明顯，厚度影響次之，彈性模量只影響分布均值，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差幾乎沒(méi)有影響。

圖7 麥克風(fēng)靈敏度概率密度隨振膜幾何、材料設(shè)計(jì)參數(shù)變化趨勢(shì)

利用正態(tài)分布擬合圖7所示靈敏度分布模擬結(jié)果，所得均值及標(biāo)準(zhǔn)差如表3所示。提高微機(jī)電系統(tǒng)麥克風(fēng)靈敏度最為有效的方法是增大振膜半徑，但是隨著半徑增大，由半徑偏差造成靈敏度分布的標(biāo)準(zhǔn)差隨之顯著增大。如果制造工藝沒(méi)有明顯改善，則僅僅通過(guò)增大振膜半徑設(shè)計(jì)值提高靈敏度會(huì)造成器件靈敏度合格率大幅下降。彈性模量只影響靈敏度分布均值，不影響標(biāo)準(zhǔn)差，所以降低彈性模量可以在保證合格率前提下有效提高麥克風(fēng)靈敏度。但是彈性模量對(duì)靈敏度影響最小，僅適用于微調(diào)，大幅調(diào)整靈敏度仍需要改變振膜幾何尺寸。

4 結(jié)束語(yǔ)

筆者研究多晶硅圓形固支振膜微機(jī)電系統(tǒng)電容麥克風(fēng)靈敏度不確定性?，F(xiàn)有的研究方法均存在仿真精度與效率無(wú)法兼得缺點(diǎn)，為提高仿真效率，筆者提出基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拉丁超立方蒙特卡羅模擬研究靈敏度不確定性。模型采用反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，輸入?yún)?shù)包括振膜半徑、厚度和彈性模量，輸出的為靈敏度。通過(guò)Ansys軟件仿真1 275組靈敏度數(shù)據(jù)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

采用蒙特卡羅模擬仿真靈敏度合格率，隨機(jī)采樣數(shù)大于9 000時(shí)仿真逐漸收斂于92.9%，計(jì)算耗時(shí)大約為2 min。相同仿真精度拉丁超立方采樣僅需要1 000個(gè)采樣點(diǎn)，計(jì)算耗時(shí)小于10 s，計(jì)算效率明顯提高。當(dāng)采樣數(shù)為104時(shí)，二者仿真靈敏度概率密度差別也很小。因此，拉丁超立方蒙特卡羅模擬是分析微機(jī)電系統(tǒng)電容麥克風(fēng)靈敏度不確定性的精確、高效方法。

表3 靈敏度分布均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨振膜參數(shù)設(shè)計(jì)值變化

筆者還研究振膜設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)麥克風(fēng)靈敏度概率密度的影響。通過(guò)正態(tài)分布擬合蒙特卡羅模擬結(jié)果，得到靈敏度分布均值與標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算結(jié)果表明，振膜半徑對(duì)靈敏度分布影響最為明顯，厚度影響次之，彈性模量只影響分布均值，不影響標(biāo)準(zhǔn)差。增大振膜半徑，提高麥克風(fēng)靈敏度的同時(shí)會(huì)降低靈敏度合格率。降低振膜彈性模量，在保證合格率前提下可以提高麥克風(fēng)靈敏度，但是靈敏度提高幅度有限，僅適用于微調(diào)。