多格點(diǎn)相互作用對橫向磁場作用下XY型自旋鏈中非平衡態(tài)熱力學(xué)性質(zhì)的影響*

賀志 余敏 王瓊

1) (洞庭湖生態(tài)經(jīng)濟(jì)區(qū)建設(shè)與發(fā)展湖南省協(xié)同創(chuàng)新中心, 常德 415000)

2) (湖南文理學(xué)院數(shù)理學(xué)院, 常德 415000)

近年來, 封閉系統(tǒng)中非平衡熱力學(xué)性質(zhì), 特別是自旋鏈中經(jīng)過一個淬火過程后的平衡熱力學(xué)性質(zhì)已經(jīng)成為了量子熱力學(xué)研究中的一個熱點(diǎn)之一.研究了橫向磁場作用下含XZX+YZY型三體相互作用的XY自旋鏈中的非平衡態(tài)熱力學(xué)性質(zhì).具體考慮了當(dāng)XY型鏈中橫向外磁場發(fā)生一個突變(淬火)時鏈中XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用分別對淬火過程中產(chǎn)生的平均功、功漲落和不可逆熵產(chǎn)生等熱力學(xué)量的影響.研究顯示：XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用可能對平均功的增加起正面作用和負(fù)面作用, 關(guān)鍵取決于初始外磁場強(qiáng)度的取值.接著, 還發(fā)現(xiàn)：通過調(diào)節(jié)XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用強(qiáng)度可以很有效地抑制功漲落.最后, 考慮了不可逆熵產(chǎn)生在不同XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用下隨外磁場強(qiáng)度的變化關(guān)系, 結(jié)果發(fā)現(xiàn)：不可逆熵產(chǎn)生在臨界磁場附近會出現(xiàn)特殊的尖峰特征, 并且尖峰值隨XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用的增加有不斷減少的趨勢, 同時給出了相應(yīng)的物理解釋.

1 引 言

隨著基于超冷原子體系[1-3]的實驗研究取得了一系列的重要進(jìn)展, 人們重新對封閉系統(tǒng)中非平衡熱力學(xué)的研究產(chǎn)生了濃厚的興趣.特別地, 一些普適的量子漲落關(guān)系如Jarzynski等式[4]、Tasaki-Crooks關(guān)系[5,6]的提出, 極大地促進(jìn)了非平衡熱力學(xué)在理論[7-11]和實驗[12-16]上的發(fā)展.而利用突然改變系統(tǒng)參數(shù)(淬火)手段, 是實現(xiàn)非平衡過程的一種重要方式.近年來, 研究量子多體系統(tǒng)如自旋鏈中經(jīng)過一個淬火過程后的非平衡熱力學(xué)性質(zhì)迅速成為了一個熱點(diǎn)課題.Silva[17]研究了橫向伊辛模型中發(fā)生一個淬火過程時功的統(tǒng)計性質(zhì), 發(fā)現(xiàn)了功分布會在臨界磁場表現(xiàn)奇異性.Dorner等[18]研究了橫向伊辛模型中包括平均功和不可逆熵產(chǎn)生等量子熱力學(xué)量, 并給出了熱力學(xué)量的精確表達(dá)式.Bayocboc和Paraan[19]研究了一般XY型自旋鏈模型中功分布漲落以及不可逆熵產(chǎn)生等量子熱力學(xué)量在不同各向異性參數(shù)下隨外磁場變化關(guān)系.Zhong和Tong[20]研究了XZY—YZX三格點(diǎn)相互作用對XY型自旋鏈模型中平均功和不可逆熵產(chǎn)生等量子熱力學(xué)量的影響.Wang等[21]研究了Dzyaloshinsky-Moriya (DM)相互作用對 XY型自旋鏈模型中平均功、功漲落以及不可逆熵產(chǎn)生等的影響.Xu等[22]研究了量子相干性對功的統(tǒng)計性質(zhì)的影響.我們注意到, 自旋鏈系統(tǒng)中除了平時考慮的近鄰兩格點(diǎn)相互作用外, 可能還存在XZY—YZX型和 XZX+YZY 型三格點(diǎn)相互作用.Roger等[23]研究發(fā)現(xiàn)了三格點(diǎn)相互作用能用來描述固態(tài)3He的磁性機(jī)制.Titvinidze和Japaridze[24]研究了XZX+YZY型三格點(diǎn)相互作用對推廣的XY自旋鏈模型中相圖的影響.Cheng和 Liu[25,26]分別研究了XZY—YZX三格點(diǎn)相互作用對兩量子比特與各自XY自旋鏈相互作用模型中的量子糾纏, 以及XZX+YZY型三格點(diǎn)相互作用對 XY自旋鏈模型中量子相變的影響.Lian[27]研究了XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用對一個量子比特系統(tǒng)與 XY自旋鏈耦合模型中 Loschmidt echo (LE)演化的影響.Shan[28]研究了XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用對XY自旋鏈系統(tǒng)中的幾何相位與量子相變的影響.郗玉興等[29]研究了 XZX+YZY和XZY—YZX 三格點(diǎn)相互作用對XXZ自旋鏈模型中隱形傳態(tài)量子的影響.

從以上研究的結(jié)果看, 雖然XZY—YZX三格點(diǎn)相互作用[20]和DM相互作用[21]在一個淬火過程中的非平衡量子熱力學(xué)性質(zhì)的影響已經(jīng)分別被人們研究.但到目前為止, 還未見到關(guān)于XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用對于一個淬火的XY自旋鏈模型中非平衡量子熱力學(xué)的影響的研究報道.另外, 據(jù)我們所知：XZY—YZX三格點(diǎn)相互作用[20]和DM相互作用[21]在XY自旋鏈模型中所起的作用只體現(xiàn)在能譜中, 它們同由波戈留波夫變換決定的本征態(tài)是無關(guān)的.然而, XZX+YZY型三格點(diǎn)相互作用在XY旋鏈模型中的作用不僅體現(xiàn)在能譜中, 也同由波戈留波夫變換決定的本征態(tài)密切相關(guān)[26-28].它們之間的這個顯著區(qū)別是促使本文研究的主要初衷之一.因此, 本文研究了 XZX +YZY三格點(diǎn)相互作用對于一個淬火的XY自旋鏈模型中平均功、功漲落和不可逆熵產(chǎn)生等量子熱力學(xué)量的影響.研究發(fā)現(xiàn)：XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用可能對 XY自旋鏈淬火過程中平均功的增加起正面作用和負(fù)面作用, 關(guān)鍵取決于初始外磁場強(qiáng)度的取值.另外也發(fā)現(xiàn)：通過調(diào)節(jié) XZX + YZY 三格點(diǎn)相互作用強(qiáng)度可以很有效地抑制淬火過程中的功漲落.總之, 本文獲得的結(jié)果對進(jìn)一步研究淬火過程中的非平衡態(tài)熱力學(xué)有一定的借鑒意義.本文結(jié)構(gòu)安排如下：在第2節(jié)簡要介紹了非平衡態(tài)熱力學(xué)中的一些重要物理量, 如功分布、平均功、功漲落、不可逆熵產(chǎn)生等的定義; 在第3節(jié)中給出了研究的理論模型及其精確解; 第4節(jié)是數(shù)值模擬結(jié)果的理論分析和討論; 第5節(jié)對文中獲得的結(jié)果做了簡要總結(jié)和展望.

2 非平衡態(tài)熱力學(xué)：平均功、功漲落和不可逆熵產(chǎn)生

本節(jié)簡要地介紹在非平衡態(tài)熱力學(xué)中一些重要的概念和公式, 如平均功、功漲落、不可逆熵產(chǎn)生等.這里考慮一個量子系統(tǒng)的動力學(xué), 它由一個含有外界控制參數(shù)(或者叫功參數(shù))λ(t) 的哈密頓量H(λ(t)) 來決定.假設(shè)對于一個固定的功參數(shù)λ(t≤ 0)=λ0, 系統(tǒng)最初與一個熱庫 (溫度為β=1/T)被制備在一個熱平衡態(tài), 即系統(tǒng)的初態(tài)就可以用吉布斯熱平衡態(tài)來表示為

一方面, 由功的第n階量的平均計算公式以及累積量的定義可知：平均功及功的方差 (也被稱為功漲落)Σ2=能表示成

另一方面, 方程(2)中功分布的量子統(tǒng)計本質(zhì)允許我們將熱力學(xué)第二定律重新改寫為其中 ?F表示系統(tǒng)自由能的增量.如果要將這個不等式寫成等式, 則和 ?F之間存在這樣的關(guān)系：被稱為平均不可逆功.這樣可以得到平均不可逆功?F.進(jìn)一步, 所謂的不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr被定義為[4]

特別地, 不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr是非平衡態(tài)過程中不可逆性的一個度量方式.值得指出的是, 不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr也可等價地用一個給定時刻的密度算符與一個假設(shè)的吉布斯熱平衡態(tài)之間的量子相對熵來表示[30]：

其中S(ρ||ρ?)=Tr(ρlogρ-ρlogρ?)表示任意兩個態(tài)ρ和ρ?之間的相對熵.特別地, 文獻(xiàn) [18, 30, 31]研究表明：當(dāng)系統(tǒng)的哈密頓量在外界因素作用下經(jīng)歷一個突然改變(淬火)時, 這個淬火過程中產(chǎn)生的不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr能表示成淬火之前和淬火之后對應(yīng)的吉布斯熱平衡態(tài)之間的距離：

3 理論模型及其精確解

本文將考慮一個一維帶有XZX + YZY三格點(diǎn)相互作用的各向異性XY自旋鏈系統(tǒng)模型.該模型對應(yīng)的哈密頓量可表示成[24,26-28]

其中參數(shù)N表示整個自旋鏈的格點(diǎn)數(shù), 參數(shù)表示著名的3個泡利矩陣, 參數(shù)γ表示在XY平面中任意兩個自旋粒子之間相互作用的各向異性參數(shù), 參數(shù)λ表示施加在每個自旋粒子上的橫向磁場強(qiáng)度, 以及α表示 XZX+YZY 型三格點(diǎn)相互作用強(qiáng)度.在 XY自旋鏈系統(tǒng)模型中三格點(diǎn)相互作用可形象用圖1來表示.原則上, 可以研究當(dāng)方程 (8)中γ,λ,α三個參數(shù)中任意一個參數(shù)發(fā)生一個突變時的非平衡態(tài)熱力學(xué)性質(zhì).然而, 考慮到施加在自旋粒子上的橫向外磁場比較容易操控.所以, 本文僅討論當(dāng)橫向外磁場發(fā)生一個突變時方程(8)所示模型中的非平衡態(tài)熱力學(xué)性質(zhì).

圖1 帶有 XZX+ YZY 三格點(diǎn)相互作用的 XY 自旋鏈系統(tǒng)模型的示意圖[24]Fig.1.Schematic representation of the structure of the XY model with XZX + YZY three site interaction[24].

方程(8)所示的哈密頓量可通過著名的Jordan-Wigner變換、傅里葉變換和波戈留波夫變換被對角化[26-28,32].首先通過 Jordan-Wigner變換可以將自旋粒子映射為一維無自旋費(fèi)米子, 它們之間的算符關(guān)系通過如下方式聯(lián)系：

這樣, 方程(8)中的哈密頓量被轉(zhuǎn)換成

接下來, 對方程(11)右邊按順序分別做傅里葉 變 換 如以 及 波 戈留波夫變換如νk=sin(θk/2))后, 方程(5)中的哈密頓量能化成對角化的形式

其中能譜

并且

且對于一個偶數(shù)N,k=-(N-1)/2,···, (N-1)/2 .明顯地, 當(dāng)考慮α=0 , 能譜

退化成沒有考慮 XZX+YZY 三格點(diǎn)相互作用的XY型自旋鏈的能譜[18,33,34].

本文考慮一個淬火過程, 即在XY型自旋鏈中, 通過外界的控制給自旋粒子的磁場從開始t=0時的λ0經(jīng)過一個極小的時間τ突然改變到λτ的過程.假設(shè)自旋鏈系統(tǒng)最初處在吉布斯熱平衡態(tài)如方程(1)所示, 那么不難得到對應(yīng)的配分函數(shù)Z(λ0)有

采用類似于上面的對角化程序, 那么在τ時刻自旋鏈系統(tǒng)的哈密頓量有對角化形式明顯地, 在時刻τ的費(fèi)米算符和在開始t=0 的費(fèi)米算符是不相同的, 然而它們之間關(guān)系可通過下列方式得到.首先考慮到波戈留波夫變換

式中μk=cos(θk/2),νk=sin(θk/2)), 可得到

由于本文考慮的是系統(tǒng)的哈密頓量經(jīng)歷一個淬火過程(意味著系統(tǒng)還來不及演化), 所以自旋鏈系統(tǒng)自身演化的幺正算符U(τ,0) 為一個單位算符, 這樣功分布的特征函數(shù)如方程(3)能簡化為

利用方程(20), 方程(21)所示功分布的特征函數(shù)能夠被獲得：

根據(jù)已有對于研究量子伊辛模型[18]和XY型自旋鏈模型[19,20]的研究結(jié)果可知, 一旦功分布的特征函數(shù)的表達(dá)式已知, 不難證明著名的Jarazynski等式[4]以及Tasaki-Crooks關(guān)系[5,6]都是成立的.只是本文考慮的模型與他們研究的模型稍有不同,而實際的證明過程是相同的, 這里為了避免重復(fù),證明過程在此省略.

進(jìn)一步, 根據(jù)方程(4)中平均功及功漲落的定義, 本文考慮的模型中的平均功?和功漲落Σ2能被獲得精確的表達(dá)式：

又根據(jù)著名的Jarazynski等式[4]

能獲得

這樣不可逆熵產(chǎn)生如方程(5)能退化成

4 分析與討論

4.1 XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用對平均功及功漲落Σ2的影響

相互作 用 強(qiáng)度 (α=0.0,0.2,0.6) , 平均功隨初始外磁場強(qiáng)度λ0的改變呈現(xiàn)單調(diào)遞減到一個共同的穩(wěn)定值的變化關(guān)系, 如此類似的關(guān)系也存在于其他自旋鏈模型如帶有DM相互作用XY自旋鏈中[21].2) 這里存在一個臨界的初始外磁場強(qiáng)度λ0c, 當(dāng)λ0＞λ0c時, XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用對平均功的增加起著一個正面的作用, 即隨著XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用強(qiáng)度α的增加, 平均功也單調(diào)地增加; 而當(dāng)λ0＜λ0c時, XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用對平均功的增加起著一個負(fù)面的作用, 即隨著三格點(diǎn)相互作用強(qiáng)度α的增加,平均功會單調(diào)地減少.為了更細(xì)致地闡明上述關(guān)系, 在圖2(a)的內(nèi)插圖中分別給出了對于不同的λ0值(如λ0=0.5,1)平均功隨三格點(diǎn)相互作用強(qiáng)度α的變化.明顯地, 當(dāng)選擇λ0=0.5 時, 平均功隨α的增加而單調(diào)地減少(見圖2(a)內(nèi)插圖中的實線); 當(dāng)選擇λ0=1 時, 平均功?隨α的增加而單調(diào)地增加(見圖2(a)內(nèi)插圖中的虛線).總之, 圖2(a)的內(nèi)插圖中曲線的變化趨勢同前面所得到的結(jié)果是完全符合的.我們注意到, 這一結(jié)果不同于文獻(xiàn)[21]研究的帶有DM相互作用XY自旋鏈中DM相互作用對平均功的影響.在文獻(xiàn)[21]中, Wang等發(fā)現(xiàn)：在初始外磁場強(qiáng)度λ0c所取范圍內(nèi)(同本文中所取范圍是相同的), DM相互作用對平均功的增加總是起著一個正面的作用, 即在0≤λ0≤2范圍內(nèi), 隨著DM相互作用強(qiáng)度的增加,平均功也單調(diào)地增加.之所以本文考慮的XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用同DM相互作用對相同 XY型自旋鏈模型中平均功的影響有區(qū)別是因為：DM相互作用產(chǎn)生的效果只體現(xiàn)在能譜中[21],而相應(yīng)能量本征態(tài)與DM相互作用是無關(guān)的.而本文考慮的 XZX+YZY 三格點(diǎn)相互作用產(chǎn)生的效果不僅體現(xiàn)在如方程(13)的能譜中, 而且也體現(xiàn)在相應(yīng)的能量本征態(tài)(14)中.另外, 圖2(b)也顯示了類似的變化規(guī)律.因此, 在本文考慮的模型中,XZX + YZY三格點(diǎn)相互作用對平均功是起正面作用還是負(fù)面作用, 與初始外磁場強(qiáng)度λ0的取值密切相關(guān).3) 隨著各向異性參數(shù)γ越大, 三格點(diǎn)相互作用強(qiáng)度α對平均功的影響就越小(比較圖2(a)和圖2(b)).

圖2 平均功 在不同的三格點(diǎn)相互作用強(qiáng)度 α 和各向異性參數(shù) γ 下隨初始外磁場強(qiáng)度 λ0 的變化 (a) γ =0.1 ; (b) γ =0.8 ;其他的參數(shù)被設(shè)定為 β =100 , δ λ= λτ-λ0=0.01 ,N=5000Fig.2.Averaged work 〉 and work distribution fluctuation Σ 2 as a function of λ0 under various α for γ =0.1 (a) and γ=0.8(b).Other parameters are β =100 , δλ = λτ-λ0=0.01 and N =5000 .

圖3 功漲落 Σ 2 對于不同的三格點(diǎn)相互作用強(qiáng)度 α 和各向異性參數(shù) γ 隨初始外磁場強(qiáng)度 λ0 的變化 (a) γ =0.1 ; (b) γ =0.8 ;其他的參數(shù)被設(shè)定為 β =100 , δλ = λτ-λ0=0.01 ,N=5000Fig.3.Work fluctuation Σ 2 as a function of λ0 under various α for γ =0.1 (a) and γ =0.8 (b).Other parameters are β=100,δλ= λτ-λ0=0.01and N =5000 .

接下來, 進(jìn)一步研究 XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用強(qiáng)度α和各向異性參數(shù)γ對功漲落Σ2的影響.具體給出了功漲落Σ2對于不同的XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用強(qiáng)度α和各向異性參數(shù)γ隨初始外磁場強(qiáng)度λ0的變化, 如圖3所示.通過觀察圖3(a)和圖3(b), 可以發(fā)現(xiàn)一些有興趣的結(jié)果：1)明顯地, 通過調(diào)節(jié)三格點(diǎn)相互作用強(qiáng)度α可以很有效地抑制功漲落Σ2(如短劃線與點(diǎn)線).2)當(dāng)沒有考慮XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用如α=0 (如實線所示)時, 功漲落Σ2從開始經(jīng)過一段平緩區(qū)域后突然單調(diào)衰減.這表示功漲落Σ2對較小的初始外磁場強(qiáng)度λ0是不敏感的, 而對較大的初始外磁場強(qiáng)度λ0比較敏感.而當(dāng)考慮了三格點(diǎn)相互作用如α=0.2,0.6(如短劃線和點(diǎn)線所示)時, 功漲落Σ2從一開始呈現(xiàn)下降到突然單調(diào)衰減.這說明XZX +YZY三格點(diǎn)相互作用可以提高功漲落Σ2對初始外磁場強(qiáng)度的敏感度, 從而達(dá)到抑制功漲落的目的.3) 有沒有考慮XZX+YZY 三格點(diǎn)相互作用其功漲落Σ2出現(xiàn)明顯衰減的臨界磁場位置是不同的,如沒有考慮XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用α=0 ,臨界磁場強(qiáng)度在λ=λc=1 (如實線所示); 而當(dāng)考慮 XZX+YZY 三格點(diǎn)相互作用時功分布漲落Σ2的臨界磁場強(qiáng)度是λ=λc=1+α(如短劃線和點(diǎn)線所示).我們注意到, 這些臨界磁場強(qiáng)度是同用著名 Loschmidt echo (LE)的動力學(xué)敏感性來判定伊辛自旋鏈模[35]、標(biāo)準(zhǔn)的各向 XY 自旋鏈模型[36]、含有 XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用的 XY自旋鏈模型[24,27]中量子相變發(fā)生的臨界磁場位置是相同的,其原因是文中方程(3)所示的特征函數(shù)同LE有類似的形式[37].其實, 在圖2即平均功隨初始外磁場強(qiáng)度λ0c變化曲線中也有相同臨界磁場位置,只是沒有這么明顯.4) 隨著各向異性參數(shù)γ的增加, 功漲落Σ2隨初始外磁場強(qiáng)度λ0變化的趨勢都將變得更為平緩.

4.2 XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用對不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr的影響

最后來研究XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用對量子熱力學(xué)中一個很重要的物理量即不可逆熵產(chǎn)生?Sirr的影響.根據(jù)方程(27), 給出了不可逆熵產(chǎn)生?Sirr對于不同的 XZX+YZY 三格點(diǎn)相互作用強(qiáng)度α隨初始外磁場強(qiáng)度λ0的變化, 結(jié)果如圖4所示.其中圖4(a)對應(yīng)較小的各向異性參數(shù)γ=0.1的情況; 而圖4(b)對應(yīng)較大的各向異性參數(shù)γ=0.8 的情況.從圖4(a)和圖4(b)可以看到, 在低溫下 (β=100) , 對于 各種三格點(diǎn)相互 作用強(qiáng)度(α=0→0.2→0.6), 不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr在臨界磁場強(qiáng)度附近都存在一個尖峰現(xiàn)象, 這個尖峰的出現(xiàn)能夠利用一個給定時刻的密度算符與一個假設(shè)的吉布斯熱平衡態(tài)之間的量子相對熵來解釋.從方程(6)可知, 不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr等價于一個給定時刻的密度算符與一個假設(shè)的吉布斯熱平衡態(tài)之間的量子相對熵.特別地, 對于系統(tǒng)的哈密頓量經(jīng)過一個淬火過程使得哈密頓量中的參數(shù)發(fā)生一個突變時, 不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr進(jìn)一步簡化成淬火之前和淬火之后對應(yīng)的吉布斯熱平衡態(tài)之間的距離,如 方 程 (7), 即 ?Sirr=S[ρG(λ0)||ρG(λτ)] .那 么 ,當(dāng)外界橫向磁場強(qiáng)度在其臨界磁場強(qiáng)度附近發(fā)生一個很小的改變時, 相應(yīng)的熱平衡態(tài)之間將會發(fā)生一個顯著的改變, 這樣導(dǎo)致不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr在外界磁場強(qiáng)度接近臨界磁場強(qiáng)度時表現(xiàn)為急劇增加或減少而形成尖峰特征.進(jìn)一步還發(fā)現(xiàn), 隨著XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用α的增加(如圖4中的實線 → 短劃線 → 點(diǎn)線), 不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr出現(xiàn)尖峰位置不斷地降低.這個結(jié)果能被解釋如下：沒有XZX+YZY 三格點(diǎn)相互作用時的臨界磁場強(qiáng)度是在λ=λc=1 , 而有 XZX+YZY 三格點(diǎn)相互作用時臨界磁場強(qiáng)度是在λ=λc=1+α.假設(shè)外磁場強(qiáng)度偏離臨界磁場強(qiáng)度一個小量ε, 那么, 沒有XZX+YZY 三格點(diǎn)相互作用時其淬火前的外磁場強(qiáng) 度 為λ0=1-ε, 淬火后的外磁場強(qiáng)度為λτ=0.01+λ0=0.01+1-ε; 而有 XZX+YZY 三格點(diǎn)相互作用時其淬火前的外磁場強(qiáng)度為λ0=α+1-ε, 淬火后的外界磁場強(qiáng)度為λτ=α+0.01+1-ε.通過簡單的數(shù)值計算發(fā)現(xiàn),不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr如方 程 (27)隨著 XZX +YZY三格點(diǎn)相互作用強(qiáng)度α的增加而不斷地減少.這樣導(dǎo)致了不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr的尖峰位置隨三格點(diǎn)相互作用α的增加不斷地降低的特征.最后, 比較圖4(a)和圖4(b), 明顯可看出, 隨著各向異性參數(shù)γ的增加, 不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr隨初始外磁場強(qiáng)度λ0呈現(xiàn)更平緩的變化趨勢.

圖4 不可逆熵產(chǎn)生 Δ Sirr 對于不同的三格點(diǎn)相互作用強(qiáng)度 α 和各向異性參數(shù) γ 隨初始外磁場強(qiáng)度 λ0 的變化 (a) γ =0.1 ;(b) γ =0.8 ; 其他的參數(shù)被設(shè)定為 β =100 , δλ =λτ-λ0=0.01 ,N=5000Fig.4.Irreversible entropy production Δ Sirr as a function of λ0 under various α for γ =0.1 (a) and γ =0.8 (b).Other parameters are β =100 , δλ = λτ-λ0=0.01 and N =5000 .

5 結(jié) 論

考慮了XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用對XY自旋鏈中當(dāng)橫向磁場發(fā)生一個突然改變時的平均功、功漲落、不可逆熵產(chǎn)生等量子熱力學(xué)量的影響.通過解析求解和數(shù)值模擬, 發(fā)現(xiàn)了一些很有興趣的結(jié)果.1) XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用可能對平均功的增加起正面作用和負(fù)面作用, 與初始外磁場強(qiáng)度λ0的取值密切相關(guān).2) 通過調(diào)節(jié) XZX+YZY 三格點(diǎn)相互作用強(qiáng)度可以很有效地抑制功漲落.這一結(jié)論同文獻(xiàn)[21]對于DM相互作用對XY型自旋鏈模型中功分布的影響是相同的, 即通過調(diào)節(jié)DM相互作用強(qiáng)度可以很有效地抑制功漲落.3) 不可逆熵產(chǎn)生在臨界磁場附近會出現(xiàn)特殊的尖峰特征,并且尖峰值隨XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用的增加有不斷減少的趨勢.進(jìn)一步, 利用對于一個突然淬火的物理過程, 不可逆熵產(chǎn)生 ?Sirr能表示成淬火之前和淬火之后對應(yīng)的吉布斯態(tài)之間的距離(方程(7)), 且對不可逆熵產(chǎn)生在臨界磁場附近會出現(xiàn)尖峰特征可以進(jìn)行合理的物理解釋.這里需要指出的是, 文中獲得的相關(guān)結(jié)果是在低溫條件即β=100的條件下獲得的.至于在高溫條件, 即β較小下XZX+YZY三格點(diǎn)相互作用對平均功、功漲落以及不可逆熵產(chǎn)生的影響與文中在低溫條件給出的結(jié)果是否有很大的差別, 這值得今后進(jìn)一步研究.總之, 本文獲得的結(jié)果, 將在淬火非平衡量子熱力學(xué)領(lǐng)域的相關(guān)研究中有一定的理論指導(dǎo)意義.