星載銣鐘頻率漂移修正方法研究

王劍祥，張金海，陳溶波，涂建輝，楊 煒，崔敬忠

（蘭州空間技術(shù)物理研究所 真空技術(shù)與物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，蘭州 730000）

0 引言

銣鐘具有體積小、質(zhì)量輕、功耗低、可靠性高以及壽命長的優(yōu)點(diǎn)，在導(dǎo)航衛(wèi)星中得到廣泛應(yīng)用[1]，但是銣鐘作為二級頻標(biāo)，主要存在幾個(gè)方面的缺點(diǎn)：首先，其頻率準(zhǔn)確度稍差，比銫鐘相差一個(gè)數(shù)量級（銫鐘為10-13量級）；其次，銣鐘的開機(jī)頻率復(fù)現(xiàn)性不好；第三，其頻率漂移率較大，為10-14/d量級（開機(jī)階段和平衡階段為10-13/d）；第四，銣鐘長期頻率穩(wěn)定度隨著無規(guī)噪聲的影響而惡化。這些因素都會影響導(dǎo)航衛(wèi)星的定位精度[2-3]。為了提高星載銣鐘的導(dǎo)航應(yīng)用能力，需要在保證其短期頻率穩(wěn)定度的基礎(chǔ)上，降低頻率漂移的影響。由于銣鐘頻率漂移具有非線性特征，采用線性漂移修正方法不能完全達(dá)到目的，需要根據(jù)銣鐘頻率漂移的特征開展工作，本文對實(shí)際工作的銣鐘特征進(jìn)行具體分析，研究頻率漂移修正的方法，以期找到合理的途徑，從而充分地發(fā)揮銣鐘在導(dǎo)航定位中的作用。

1 銣鐘漂移的特征

銣鐘開機(jī)后，其輸出頻率隨時(shí)間的變化與具體的設(shè)計(jì)和環(huán)境因素有關(guān)，但總的趨勢基本相似[4-5]。圖1為某星載銣鐘開機(jī)后輸出頻率隨時(shí)間的變化過程，開始階段頻率向正向漂移（漂移率為10-13/d水平），經(jīng)過約兩天以后，漂移逐漸從正向變?yōu)樨?fù)向，趨于穩(wěn)定漂移階段（-10-13/d），之后隨開機(jī)時(shí)間的延長，漂移逐漸減?。ㄐ∠禂?shù)10-14/d）。銣鐘頻率漂移對導(dǎo)航和守時(shí)的精度影響很大。

如果是線性漂移，對時(shí)間精度的影響可用式（1）來表示[6]：

式中：ΔT為時(shí)間誤差；α為頻率漂移率；t為時(shí)間校準(zhǔn)間隔。

圖1 星載銣鐘開機(jī)后輸出頻率隨時(shí)間的變化曲線Fig.1 Frequency curve of rubidium clock on poweron period

由時(shí)間誤差引起的導(dǎo)航定位誤差可以用時(shí)差乘以光速來估算，ΔL=cΔT。若取銣鐘天漂移典型值為5×10-14/d，按每天校時(shí)一次計(jì)算，導(dǎo)航定位精度誤差估計(jì)約為0.65 m。如果將銣鐘漂移率修正為5×10-15/d，則其在同等校時(shí)間隔內(nèi)對導(dǎo)航定位精度的影響可以降低一個(gè)數(shù)量級；在保持同樣導(dǎo)航定位精度的情況下校時(shí)間隔可以延長兩倍以上。時(shí)間同步信號如果來自于地面站，需要耗費(fèi)星地?cái)?shù)據(jù)鏈路帶寬和通信資源，而且會受到電離層對信號傳輸?shù)挠绊?。我國的星載銫鐘即將搭載升空，將銣鐘的頻率漂移與星載銫鐘的進(jìn)行比較并加以修正，不僅可以實(shí)現(xiàn)精確導(dǎo)航，而且可以借助銫鐘長期頻率穩(wěn)定度好和漂移率低的特性，實(shí)現(xiàn)長時(shí)間的無地面干預(yù)自主導(dǎo)航。

在銣鐘穩(wěn)定工作階段，可以根據(jù)銣鐘漂移的非線性特征，采用多項(xiàng)式進(jìn)行頻率預(yù)估和漂移修正。通常在短時(shí)間用二次多項(xiàng)式近似，這時(shí)變化趨勢可用式（2）表示：

式中：y(t)為t時(shí)刻的相對頻差；t0為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。設(shè)a?0、a?1、a?2為模型參數(shù)a0、a1、a2的估計(jì)值，可以利用已有ti時(shí)刻的測量數(shù)據(jù)yi進(jìn)行最小二乘法求出模型參數(shù)估計(jì)值，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行后期頻率預(yù)估。計(jì)算可用式（3）：

也可用矩陣表示：

擬合系數(shù)可表示為：

圖2顯示利用Matlab工具對一個(gè)銣鐘的測試頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行漂移二次多項(xiàng)式修正的結(jié)果[7]。根據(jù)頻率的變化可以計(jì)算出其105s取樣時(shí)間的Allan方差、Hadamard方差（漂移為-10-13/d）和計(jì)時(shí)時(shí)間為天的時(shí)間誤差分別為8.8×10-14、5.81×10-15和5.17×10-9s；經(jīng)頻率漂移修正后三者分別為8.29×10-15、5.68×10-15和3.12×10-10s。可以看出，漂移修正后的頻率曲線較為平直，計(jì)時(shí)時(shí)間為天的時(shí)間誤差估計(jì)精度提高了一個(gè)數(shù)量級，有利于提高導(dǎo)航定位的精度。但是這種修正方法會受到頻率不規(guī)則變化的影響，尤其是在銣鐘開機(jī)階段和波動階段表現(xiàn)比較明顯。以圖1銣鐘為例，經(jīng)二次項(xiàng)頻率漂移修正的結(jié)果如圖3所示（為了顯示明顯起見，頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行了垂直整體偏置）。擬合結(jié)果剩余頻率偏差較大（尤其是初始階段，表現(xiàn)為擬合曲線不平直），這主要是初期頻率漂移變化較大和數(shù)值由正變負(fù)所引起。為了減小二次多項(xiàng)式修正的偏差，可以采取分段修正的辦法，但是在分段處會出現(xiàn)較大的誤差。

圖2 銣鐘漂移修正前后頻率比較曲線Fig.2 Comparison of frequency of rubidium clock before and after drift correction

圖3 銣鐘開機(jī)和波動情況下的漂移修正效果曲線Fig.3 Drift correction effect of rubidium clock under the condition of start-up and fluctuation

圖4給出了在開機(jī)后5×105s時(shí)分兩段二次項(xiàng)擬合結(jié)果，可以看出，在分段處擬合曲線有較大波動。同時(shí)在擬合曲線兩端也有偏離二次項(xiàng)擬合的現(xiàn)象，表現(xiàn)為擬合殘差曲線上翹。為了提高精度，可以增加分段值。結(jié)合銣鐘開機(jī)后的頻率變化特征，大致分為預(yù)熱過程、平衡過程和穩(wěn)定工作過程。這樣將漂移補(bǔ)償過程也分為三段進(jìn)行。預(yù)熱過程頻率漂移修正時(shí)間間隔縮短，以便跟上頻率漂移的變化；平衡過程間隔適當(dāng)延長，以適應(yīng)導(dǎo)航需求；穩(wěn)定工作過程頻率修正時(shí)間可以更長，以保障導(dǎo)航系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但無論如何劃分修正時(shí)間間隔，在接續(xù)點(diǎn)都會出現(xiàn)頻率波動，對總體頻率變化有較大的影響?？紤]到劃分越精細(xì)，頻率修正的量值越小，也可以將分段值設(shè)為與測試數(shù)據(jù)數(shù)量相等，隨時(shí)進(jìn)行頻率修正，這就是Kalman濾波[8]的思想。

圖4 銣鐘漂移分段修正效果曲線Fig.4 Subsection correction effect of rubidium clock drift

Kalman濾波的方法是將頻率和漂移率作為二維待估計(jì)向量x，測量值z為頻率偏差，進(jìn)行最小頻率偏差估算和預(yù)測。遞推公式如式（6）：

式中：x(tk+1)為時(shí)刻tk+1的估計(jì)值；φ(τ)為轉(zhuǎn)移矩陣；x(tk)為tk時(shí)刻值；b(τ)u(tk)為控制量；W(tk)為過程噪聲，τ為時(shí)間分步間隔。為調(diào)節(jié)量。表示過程噪聲均值為0，方差為Q：

其中，v(tk)～N(0,R)，v(tk)為測量噪聲，均值為零，方差為為測量矩陣。

在開始階段，Kalman估計(jì)會隨著初始條件的設(shè)定而產(chǎn)生不同的數(shù)據(jù)波動，之后進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。這種少數(shù)波動不影響整體頻差估計(jì)效果。如果初始頻率和頻率漂移設(shè)定與實(shí)際測量結(jié)果相近，則該波動較小。圖5為采用Kalman遞推的結(jié)果，可以看出，經(jīng)Kalman濾波方法獲得的頻率殘差曲線平直，沒有大的波動和固定變化趨勢，顯示出其普適的擬合與預(yù)估能力。

圖5 Kalman濾波頻率擬合結(jié)果Fig.5 Kalman filter frequency fitting results

2 銣鐘頻率漂移修正需要考慮的因素

修正銣鐘頻率漂移，首先考慮的因素是頻率漂移隨時(shí)間的變化趨勢。短期內(nèi)銣鐘的頻率漂移是存在波動的，長期看銣鐘的頻率漂移具有固定趨勢。圖6為2015-2018年全球GPS系統(tǒng)上原子鐘的漂移變化。追蹤銣鐘的工作過程，其漂移從10-13/d逐漸降低為小系數(shù)10-14/d。在此過程中有小幅波動現(xiàn)象，需要在漂移修正過程中加以考慮。漂移的長期變化可以利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型修正。如果一次修正仍然有固定趨勢剩余，可以采用多次修正的辦法。經(jīng)過對GPS星載銣鐘的研究發(fā)現(xiàn)[9]，銣鐘在軌工作500 d以后，進(jìn)入穩(wěn)定漂移階段，可以利用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行較為完全的修正。在此之前，銣鐘的漂移變化相對較快，需要進(jìn)行實(shí)時(shí)的修正，以滿足導(dǎo)航定位需求。最好的方法是對銣鐘的漂移進(jìn)行預(yù)估，這樣對時(shí)間的保持有利。預(yù)估的方法有多種，例如最小二乘法、Kalman濾波和灰度濾波等方法[10]。最小二乘法線性回歸計(jì)算需要確定回歸的時(shí)間長度，時(shí)間過長會影響回歸的線性度，過短會影響回歸的準(zhǔn)確性，這與標(biāo)準(zhǔn)頻率信號的品質(zhì)和測試系統(tǒng)的噪聲相關(guān)。若以銫鐘作為參考源進(jìn)行銣鐘漂移修正時(shí)，由于銣鐘的短穩(wěn)優(yōu)于銫鐘，在漂移率確定過程中需要重點(diǎn)考慮銫鐘噪聲對結(jié)果的影響。銫鐘的噪聲主要由白頻噪聲和頻率閃變平臺構(gòu)成，假定銫鐘的頻率穩(wěn)定度可以用式（8）表示[11]：

圖6 2015-2018年全球GPS系統(tǒng)上原子鐘的漂移變化曲線Fig.6 The daydrift of atomic clocks on board GPS in 2015 and 2018

由此引起的漂移率測試方差與測試時(shí)間T有關(guān)，測試時(shí)間越長，精度越高，方差可以用式（9）表示：

目前典型的地面銫鐘的短穩(wěn)指標(biāo)水平為≤1×10-13@1 s，閃變本底為10-14，能夠測出漂移的方差值，如表1所列。

表1 測量時(shí)間與漂移率測量誤差關(guān)系Tab.1 Relationship between measurement time and drift rate measurement error

從表1中看出，在不考慮測量系統(tǒng)噪聲的條件下，測試頻率漂移率為3×10-14/d的銣鐘需要3 d時(shí)間。準(zhǔn)確修正到小系數(shù)10-15量級需要20～30 d的測試時(shí)間，修正到小系數(shù)10-16量級需要100 d的數(shù)據(jù)。因此對于銣鐘初期漂移可以在開機(jī)3天后進(jìn)行修正，準(zhǔn)確修正需要再等待10 d左右，之后可以根據(jù)情況間隔20～30 d實(shí)施一次。這樣由漂移引起的時(shí)間誤差對導(dǎo)航定位精度的影響由式（1）估算可以減小到厘米量級。實(shí)際情況要復(fù)雜的多。例如測試系統(tǒng)的噪聲和信號傳輸?shù)脑肼曅枰豢紤]，如果測試的是時(shí)差，需要將Kalman濾波向量在頻率、漂移的基礎(chǔ)上增加一個(gè)時(shí)間（相位）量[12-13]。從自主導(dǎo)航的需求考慮，如果能夠?qū)⑿禽d銫鐘和星載銣鐘形成組合鐘搭載于導(dǎo)航衛(wèi)星上，利用比相儀進(jìn)行比對，通過算法，實(shí)時(shí)對銣鐘的輸出頻率漂移修正，將銣鐘短期穩(wěn)定度與銫鐘的長期穩(wěn)定度和低漂移結(jié)合，不僅可以保證導(dǎo)航和測速的需求，而且可以實(shí)現(xiàn)自主導(dǎo)航[14-16]。

3 結(jié)論

星載銣鐘短期頻率穩(wěn)定度不斷提高，已經(jīng)達(dá)到小系數(shù)10-13水平，頻率漂移對銣鐘性能的制約就越發(fā)明顯。隨著對自主導(dǎo)航的迫切需求，修正銣鐘的漂移是銣鐘應(yīng)用成敗的關(guān)鍵。我國的星載銫鐘即將入役，以星載銫鐘為參考源對銣鐘進(jìn)行在軌頻率漂移實(shí)時(shí)修正成為可能。本文針對具體的銣鐘頻率漂移變化規(guī)律和銫鐘輸出頻率特征，提出了組合兩者優(yōu)勢的銣鐘頻率漂移修正方法。銣鐘和銫鐘的組合將在導(dǎo)航衛(wèi)星系統(tǒng)中更好地發(fā)揮作用。