從連分數(shù)到黃金分割

韋 磊

上一期，我們看到了連分數(shù)在歷法中的應用，本期我們來看看連分數(shù)與黃金分割的淵源．

連分數(shù)與黃金分割

先看方程x2=ax+1，a＞0，可以將其寫成：

接下來是見證奇跡的時刻，繼續(xù)把右邊式子中的x換成得到：

繼續(xù)迭代，就會得到連分數(shù)：

當然要說一下，只能將方程x2=ax+1，a＞0的正根進行如此改寫，這樣寫出來的“無限連分數(shù)”才有意義，在這里大家只做一個直覺上的認識：這個無限連分數(shù)顯然只能是正數(shù)，因此只能代表正根．

比如說取a=1，得到方程x2=ax+1的正根為根據(jù)上面的連分數(shù)寫法，就可以得到：

這讓我們想起了著名的斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…

該數(shù)列從第三項開始，每一項就是前兩項之和，相信大家已經見過．

如果真是如此，那反過來不就是說明，斐波那契數(shù)列的前一項與后一項的比值，越來越趨近于黃金分割比？

說到黃金分割，那就不得不提2019年的一道高考題：

（2019全國Ⅰ卷）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是0．618，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是（ ）

A.165cm B.175cm

C.185cm D.190cm

【解法提示】這道題的解題要點，除了正確理解題意以外，那便是“可能”二字，也就是說，得到的結果就不可能是精確值．題目給出的條件也沒有精確的：肚臍近似當做腿部上端，咽喉近似當做脖子下端．為方便，畫出一個示意圖：

圖1

圖中A點代表頭頂，C點代表咽喉，D點代表肚臍，B點代表腳底．根據(jù)題意：AC=26，，實際上就有兩種算法了．這道題的難點，也就是計算．這道題的背景，也就在計算上．

前面提到了黃金分割比與斐波那契數(shù)列的關系：斐波那契數(shù)列的前一項與后一項的比值就越來越趨近于．換句話說，這些比值有時候可以近似代替黃金分割比．適當挑選比值，可以化簡本題中的計算．

我們看看斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……發(fā)現(xiàn)其中的13似乎與題目中的26有約分的關系，而21和105也有這種關系，于是我們如果我們利用，就利用來代替0．618：

算出來身高就是26+42+105=173，和B選項最接近．如此計算量就大大減少了．

通過此題，大家應該能夠感受到，適當應用連分數(shù)對無理數(shù)的近似表示，在實際計算中的作用．事實上，不僅黃金分割比的近似值有作用，黃金分割比在一些近似計算中也具有相當大的作用．

黃金分割比的定義和再生性

圖2

我們很容易知道，一條線段有兩個黃金分割點，左右各一個：

圖3

而且兩個黃金分割點關于AB的中點對稱．題目向我們展示了黃金分割比的悠久歷史，同時也展示了其美學意義．不過，相比“美學”這種主觀性特別強的感受來說，黃金分割比的另一性質使得它在實際應用中，發(fā)揮出了非常重要的作用，這便是——黃金分割的再生性．

如圖3，C，D都是AB的黃金分割點，則C也是線段AD的黃金分割點，當然D也是線段CB的黃金分割點．

這就是黃金分割比的再生性——當找到了AB的黃金分割點D以后，那么AD的黃金分割點就不用找了！同時若考慮到應用場景是實際應用，C和D關于AB的中點對稱，則憑著人工就能實現(xiàn)如下自動化操作：

首先找到AB的一個黃金分割點C；

將線段AB對折，使得A，B重合，則與C重合的點就是AB的另一個黃金分割點D；

將AD對折，與C重合的點就是AD的另一個黃金分割點E；

將AC對折，與E重合的點就是AC的另一個黃金分割點F……

如此循環(huán)，只需要一開始計算一次點C，其余的基本上可以自動進行．

可別小看這種看起來堪比游戲的操作，在20世紀，數(shù)學家華羅庚就是據(jù)此發(fā)明了“優(yōu)選法”，產生了深遠的影響．