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    基于Matlab的Hertz接觸參數(shù)和主曲率差函數(shù)關(guān)系的擬合

    2011-07-25 01:36:18劉勝超王東峰喻煒
    軸承 2011年10期
    關(guān)鍵詞:參數(shù)值工具箱曲線擬合

    劉勝超,王東峰,喻煒

    (1.洛陽(yáng)軸研科技股份有限公司 精密軸承制造部,河南 洛陽(yáng) 471039;2.北京市三一重機(jī)有限公司,北京 102206)

    符號(hào)說(shuō)明

    a—— 接觸橢圓的長(zhǎng)半軸

    b—— 接觸橢圓的短半軸

    Dpw—— 球組節(jié)圓直徑,mm

    Dw—— 球徑,mm

    fi—— 內(nèi)溝曲率系數(shù)

    fe—— 外溝曲率系數(shù)

    F(ρ)——主曲率差函數(shù)

    Fa—— 軸向載荷,N

    k—— 接觸橢圓的橢圓率

    K(e)——第一類橢圓積分

    L(e)——第二類橢圓積分

    Z—— 球數(shù)

    ρ1Ⅰ——球在軸向平面的主曲率

    ρ1Ⅱ——球在徑向平面的主曲率

    ρ2Ⅰ——套圈在軸向平面的主曲率

    ρ2Ⅱ——套圈在徑向平面的主曲率

    α——初始接觸角,(°)

    φ——橢圓積分變量

    γ——無(wú)量綱參數(shù),γ=(Dw/Dpw)cosα

    Hertz接觸參數(shù)求解過(guò)程中,K(e),L(e)和k是由循環(huán)迭代的方法求得的,迭代次數(shù)非常多,每次迭代都需要求解K(e)和L(e),計(jì)算量大。這里利用Matlab曲線擬合工具箱,對(duì)K(e),L(e),k分別與F(ρ)進(jìn)行擬合,得到它們和主曲率差函數(shù)F(ρ)的表達(dá)式,用擬合的結(jié)果求解給定型號(hào)軸承的其他Hertz接觸參數(shù),并與Hertz接觸理論值以及最小二乘法線性回歸法(回歸法)得到的簡(jiǎn)化式[1]求得的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

    1 Hertz接觸參數(shù)

    下面主要介紹與橢圓積分以及橢圓率計(jì)算相關(guān)的一些Hertz參數(shù),其他參數(shù)不再贅述,可見文獻(xiàn)[2-3]。

    1.1 接觸點(diǎn)的主曲率

    在接觸點(diǎn),球與溝道表面的主曲率描述了球和溝道表面在接觸點(diǎn)的幾何特征,其影響到接觸應(yīng)力與變形及軸承動(dòng)態(tài)性能[4]。球和溝道表面的主曲率計(jì)算方法見表1。

    表1 球軸承接觸點(diǎn)主曲率計(jì)算公式

    主曲率差及主曲率和分別為

    (1)

    ∑ρ=ρ1Ⅰ+ρ1Ⅱ+ρ2Ⅰ+ρ2Ⅱ。

    (2)

    1.2 橢圓積分

    第一類完全橢圓積分為

    (3)

    第二類完全橢圓積分為

    (4)

    橢圓率為

    k=b/a。

    (5)

    F(ρ)可以由K(e),L(e)和k表示為[5]

    (6)

    2 擬合法及回歸法

    Matlab中提供的曲線擬合工具箱(Curve Fit Toolbox)可以對(duì)工作空間中的2組參數(shù)的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合,根據(jù)不同的擬合規(guī)則得到2個(gè)參數(shù)的表達(dá)式。這里利用Matlab曲線擬合工具箱,對(duì)K(e),L(e)和k分別與主曲率差函數(shù)F(ρ)進(jìn)行擬合,得到它們和主曲率差函數(shù)F(ρ)的表達(dá)式。

    2.1 L(e)與F(ρ)的擬合

    L(e)和F(ρ)的擬合曲線如圖1所示。L(e)和F(ρ)的數(shù)據(jù)能用四次多項(xiàng)式很好地?cái)M合出來(lái),即

    圖1 L(e)和F(ρ)的擬合曲線

    L(e)=0.131 8F4(ρ)-0.449 4F3(ρ)+0.783 4F2(ρ)-1.036F(ρ)+1.57,

    (7)

    L(e)隨F(ρ)的增加而減小。

    2.2 K(e),k與F(ρ)的擬合

    由于K(e)和k用多項(xiàng)式進(jìn)行擬合時(shí)的誤差較大,采用三次樣條插值擬合法分別對(duì)它們與F(ρ)進(jìn)行擬合,擬合的曲線如圖2、圖3所示。K(e)隨F(ρ)的增大而增大,且在F(ρ)趨近于1時(shí)趨于∞;k隨F(ρ)的增大而減小,二者幾乎呈線性關(guān)系。

    圖2 K(e)和F(ρ)的擬合曲線

    圖3 k和F(ρ)的擬合曲線

    由于K(e),k與F(ρ)擬合的結(jié)果無(wú)法用簡(jiǎn)單的解析式表示出來(lái), 因此將擬合結(jié)果保存至Matlab主工作區(qū)中KeFitted和kFitted兩個(gè)mat文件,求解時(shí),在主程序中調(diào)用這2個(gè)函數(shù)來(lái)計(jì)算K(e)和k。

    2.3 回歸法

    由文獻(xiàn)[1]知,由回歸法求得的k,L(e)和K(e)的簡(jiǎn)化關(guān)系式為

    (8)

    (9)

    (10)

    3 實(shí)例分析結(jié)果

    表2 球軸承參數(shù)

    表3和表4分別給出了由擬合法和回歸法得到的7208C/P4和B7019C/P4軸承的接觸參數(shù)值,并比較了其與Hertz接觸理論值的相對(duì)誤差。結(jié)果顯示,擬合法與Hertz接觸理論值之間的誤差更小,最大不超過(guò)0.6%;而回歸法的最大誤差將近1.8%。所以,擬合法不僅可行,而且更為準(zhǔn)確。

    表3 7208C/P4不同方法求得的接觸參數(shù)值及相對(duì)誤差

    表4 B7019C/P4不同方法求得的接觸參數(shù)值及相對(duì)誤差

    4 結(jié)束語(yǔ)

    借助Matlab擬合出了橢圓積分、橢圓率與主曲率差函數(shù)的關(guān)系,用該擬合方法求解Hertz接觸參數(shù)避免了大量的循環(huán)迭代過(guò)程,節(jié)省了計(jì)算時(shí)間,同時(shí)由該方法計(jì)算得到的參數(shù)值比回歸法得到的參數(shù)值更為精確。

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