關(guān)于高階行列式的求解方法在教學(xué)中的探討

鄭 攀 胡學(xué)剛 李 玲

（重慶郵電大學(xué)理學(xué)院，中國 重慶 400065）

0 引言

行列式的計(jì)算是線性代數(shù)基本問題之一，特別是關(guān)于高階行列式的計(jì)算.從理論上來講都是可是按定義來求的，但其過程是相當(dāng)復(fù)雜的，而且僅僅使用定義也無法快速計(jì)算，還需要其他相關(guān)的數(shù)學(xué)技巧和方法.因此，探討高階行列式的計(jì)算方法和技巧是相當(dāng)必要的.本文主要通過舉例來探討和總結(jié)了幾種特殊的計(jì)算技巧和方法—-定義法、化三角形法、范德蒙行列式、遞推法、數(shù)學(xué)歸納法.這對于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，將起著積極的作用.

1 求解方法

1.1 定義法[1]

根據(jù)n階行列式的定義可知其展開式中包含n！項(xiàng)，所以直接使用其定義是相當(dāng)麻煩的，除非其行列式中0元素比較多，這樣可以大大減少行列式展開的項(xiàng)數(shù).除此之外，還可以利用其定義來證明兩個(gè)行列式相等.下面舉例來說明.

例1 設(shè)

證明：D1＝D2

證：由行列式的定義有

其中t是排列p1p2…pn的逆序數(shù).而p1+p2+…+pn=1+2+…+n所以有D2＝∑…anpn=D1證畢.

1.2 用化三角形行列式計(jì)算[2－3]

將行列式化為上三角形、下三角形或者對角形,從而得出其值.

解：將第2，3，n+1列都加到第1列，可得

提取第一列的公因式b+na，得到

將第 1 列（-a）的倍加到第 2，3，…,n+1 列，可得

1.3 利用范德蒙行列式計(jì)算[4]

首先利用行列式的基本性質(zhì)將所求行列式轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出所求行列式的值.

解：首先觀察Dn中各行元素的特點(diǎn)：分別是一個(gè)數(shù)的不同方冪，方冪的次數(shù)由1遞升到n.于是提取各行的公因子，則方冪次數(shù)便從0增至n-1，從而可以變成相應(yīng)的范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結(jié)果可以得到：

1.4 用遞推法計(jì)算[5]

這種計(jì)算方法其實(shí)就是利用Dn和Dn-1的遞推形式先建立起兩者之間的相應(yīng)關(guān)系，然后再根據(jù)此公式代入計(jì)算出行列式的值.解：把Dn從第n列拆成兩個(gè)行列式之和：

上式右端的第一個(gè)行列式將第n列的（-1）倍分別加到第1，2，n-1列，右端的第二個(gè)行列按第n列展開，于是有

從而有

Dn＝x1x2…xn－1a＋xnDn－1

由此遞推，得

Dn－1＝x1x2…xn－2a＋xn－1Dn－2

于是得

Dn＝x1x2…xn－1a＋x1x2…xn－2axn＋xnxn－1Dn－2

如此繼續(xù)下去，可得

當(dāng)x1x2…xn≠0時(shí)，還可以改寫成

1.5 數(shù)學(xué)歸納法[6]

證：對階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法.

因?yàn)?D1=cosα，D2==2cos2α-1=cos2α 所以當(dāng)n=1，n=2 時(shí)，結(jié)論成立.

假設(shè)對于階數(shù)小于n的命題成立，下證對于階數(shù)對于n的該命題也成立.將Dn按最后一行展開，可知

Dn=2cosαDn-1-Dn-2

由歸納假設(shè)有

Dn-1=cos n-（）1 α，

Dn-2=cos n-（）2 α

從而可得

所以對一切自然數(shù)n結(jié)論成立.證畢.

2 小結(jié)

只要在高階行列式計(jì)算過程中，按照行列式的一定的計(jì)算順序和步驟進(jìn)行計(jì)算，并且靈活地運(yùn)用這些解題的技巧和方法，那么既可以在保證快速解題，又能保證計(jì)算的正確率，而且還可以將高階行列式計(jì)算變得簡單易學(xué).

［1］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版杜，2007.

［2］龔秀芳.高階行列式求解方法探討[J].菏澤學(xué)院學(xué)報(bào),2005(27):73-76.

［3］黃基廷，趙麗棉.高階行列式的計(jì)算方法與技巧[J].科技信息,2010(23):8-9.

［4］曾令淮,段輝明，李玲.高等代數(shù)與解析幾何[M].北京：清華大學(xué)出版社,2014.

［5］錢學(xué)明.一類行列式的計(jì)算公式[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010(26):18-22.

［6］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版杜，2007.