單元設(shè)計(jì)：把數(shù)學(xué)思想方法呈現(xiàn)給學(xué)生

吳永華

愛因斯坦說過：在一定思維模式引領(lǐng)下所產(chǎn)生的理論弊端，用同一種思維模式是無法得到解決的。他使人類突破了牛頓機(jī)械論局限，跨入相對(duì)論、量子力學(xué)時(shí)代。中國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)道路，從“雙基”到“四基”是一種突破，但是仍然用數(shù)學(xué)工具論的思維方式，用題海戰(zhàn)的應(yīng)試思維方式去對(duì)待“四基”，數(shù)學(xué)的文化功能是無法充分呈現(xiàn)的。單元設(shè)計(jì)是一種充分呈現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的工具，屬于設(shè)計(jì)教學(xué)范疇，跟傳統(tǒng)教學(xué)、活動(dòng)體驗(yàn)數(shù)學(xué)、技藝訓(xùn)練數(shù)學(xué)、合作教學(xué)等等并列。

工具是有使用目的的匹配性、操作程序規(guī)范性等特點(diǎn)的。例如吃牛排要用刀叉，吃面要用筷子。但是在教學(xué)上我們常犯工具倒置的錯(cuò)誤，就像小孩吃面用刀叉一樣，誤以為一件工具能解決所有的現(xiàn)實(shí)問題，把教學(xué)失敗的后果歸罪于學(xué)生的愚笨，這是不明智的。目前，一線數(shù)學(xué)教師對(duì)“四基”并不缺乏認(rèn)識(shí)，缺少的是工具和方法。本文以數(shù)位制為例，介紹一種加強(qiáng)“四基”的教學(xué)方法，把數(shù)學(xué)思想和方法呈現(xiàn)給學(xué)生。

單元設(shè)計(jì)教學(xué)的意義和分類

單元設(shè)計(jì)教學(xué)主要承擔(dān)“設(shè)計(jì)”特定的學(xué)習(xí)方式和在境脈中系統(tǒng)地展開這些學(xué)習(xí)方式，從而在實(shí)際境脈中加以修正，進(jìn)行迭代?；谠O(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)通過理論發(fā)展和新實(shí)踐的有機(jī)結(jié)合，尋求學(xué)習(xí)者認(rèn)知邊界的拓展，深度理解所學(xué)的知識(shí)和概念。

單元設(shè)計(jì)教學(xué)有的書上也稱單元設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)。“教”和“學(xué)”是一個(gè)共同體。中國(guó)古代的《學(xué)記》就闡明了“學(xué)學(xué)半”的道理。第一個(gè)“學(xué)”是“教”的意思，第二個(gè)“學(xué)”是現(xiàn)在的“學(xué)”的意思，“半”字告訴人們“教”和“學(xué)”原本存在于同一事物——教學(xué)過程之中，揭示了“教”和“學(xué)”在教學(xué)過程中有同樣重要的地位，不可輕此重彼。

以數(shù)位制為例的大綜合單元設(shè)計(jì)教學(xué)范式

大綜合單元設(shè)計(jì)是一種以某種思想方法、文化理念為核心的跨學(xué)科跨時(shí)空的單元設(shè)計(jì)。就數(shù)學(xué)來說，就是置數(shù)學(xué)在人類文明歷史的長(zhǎng)河中，用文化的視角，重走前人科學(xué)探究之路，把數(shù)學(xué)思想和方法在文化層面呈現(xiàn)給學(xué)生，這就是平時(shí)我們所說的數(shù)學(xué)文化教育研究。

小學(xué)生的數(shù)位制概念經(jīng)歷了四個(gè)經(jīng)驗(yàn)積累階段：一是幼兒學(xué)前階段，通過撥珠、數(shù)數(shù)，形成進(jìn)位意識(shí);二是一年級(jí) 20以內(nèi)加減法，不同位置不同價(jià)值，形成對(duì)應(yīng)概念;三是三年級(jí)的多位數(shù)數(shù)位表;四是小數(shù)數(shù)位表和自然數(shù)數(shù)位表的組合。我們只知道，學(xué)生是依靠背位值表來認(rèn)識(shí)數(shù)位制的，產(chǎn)生了兩種錯(cuò)覺：一是位值制只是一種信仰，是上帝制訂的法則，并不是人類智慧的文化層面表達(dá);二是十進(jìn)制是唯一的數(shù)位制，因?yàn)槿澜绲臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)都用十進(jìn)制。其實(shí)學(xué)生直至畢業(yè)，對(duì)數(shù)位制概念的理解，大都是零散的，不完整的，有的甚至于是錯(cuò)誤的，數(shù)學(xué)失去了其文化性，失去了思想方法性，便成學(xué)生害怕學(xué)習(xí)的操練工具。

基于數(shù)學(xué)文化的數(shù)位制大綜合單元設(shè)計(jì)分四大部分：?jiǎn)卧虒W(xué)目標(biāo)或稱學(xué)習(xí)目標(biāo);教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì);教學(xué)活動(dòng)的組織開展和展評(píng);學(xué)習(xí)過程和結(jié)果的評(píng)價(jià)。單元設(shè)計(jì)是一種“教——學(xué)——評(píng)”一體化的教學(xué)范式，不是以教材為中心的課時(shí)設(shè)計(jì)，而是以學(xué)習(xí)為中心，以素養(yǎng)為核心的跨時(shí)空設(shè)計(jì)。

數(shù)位制單元設(shè)計(jì)，一般置于數(shù)位表教學(xué)時(shí)段進(jìn)行，用四至五課時(shí)，配合社團(tuán)活動(dòng)和網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)完成。學(xué)習(xí)目標(biāo)（教學(xué)目標(biāo)）用動(dòng)詞加名詞的語(yǔ)言精確表述：1.查閱數(shù)學(xué)符號(hào)發(fā)展史，了解阿拉伯計(jì)數(shù)法由古印度發(fā)明，由波斯商人傳播的歷史事實(shí);不同民族有不同的計(jì)數(shù)方法;2.理解數(shù)位制的多元性。數(shù)位制是用有限符號(hào)表示無限事物的智慧結(jié)晶;3.學(xué)會(huì)多位數(shù)的字母展開，掌握不同數(shù)位制的換算; 4.接觸二進(jìn)位制和自設(shè)進(jìn)位制的表示形式（限于 5進(jìn)位制8進(jìn)位制兩種）。

教學(xué)活動(dòng)（學(xué)習(xí)活動(dòng)）Ⅰ ：網(wǎng)上查找，課外閱讀，收集資料相互交流，小組書面呈現(xiàn)（數(shù)學(xué)手抄報(bào)），主題是“人類記數(shù)的歷史——自然數(shù)的記數(shù)多樣性和位值制。教師補(bǔ)充、引導(dǎo)、歸納和點(diǎn)評(píng)。

教學(xué)活動(dòng)（學(xué)習(xí)活動(dòng)）Ⅱ：理解數(shù)位制的本質(zhì)是用有限符號(hào)記載無限世界的客觀事實(shí)的文化工具。如果沒有數(shù)位制，人們將怎樣計(jì)數(shù)？為什么羅馬計(jì)數(shù)法、漢語(yǔ)計(jì)數(shù)法、籌碼計(jì)數(shù)法……不會(huì)推廣流傳？除了十進(jìn)位制，你還知道有幾進(jìn)位制的位值制？用短文形式以學(xué)習(xí)小組為單位發(fā)表屬于他們自己的理論爭(zhēng)鳴空間。

教學(xué)活動(dòng)（學(xué)習(xí)活動(dòng)）Ⅲ：把自然數(shù)的多位數(shù)展開式跟書上位值表統(tǒng)一起來：abc……xyz=a×10m-1+bm-2+cm-3+……+xm-m+2+ym-m+1+zm-m。教師講述，學(xué)生操作，從三位數(shù)、四位數(shù)、五位數(shù)……到 m位數(shù)推進(jìn)。

結(jié)合數(shù)軸，多位數(shù)讓學(xué)生理解數(shù)位制是有限符號(hào)，記載無窮大事物工具，書上小數(shù)的數(shù)位制值是記載無窮小事物的工具，滲透極限的數(shù)學(xué)思想。

教學(xué)活動(dòng)（學(xué)習(xí)活動(dòng)）Ⅳ：認(rèn)識(shí)二進(jìn)位制計(jì)數(shù)法，會(huì)自設(shè)位值制，并掌握不同位值制和十進(jìn)位制的互換。書面練習(xí)二進(jìn)制、五進(jìn)制、八進(jìn)制的計(jì)數(shù)法跟十進(jìn)位制的換算。

綜合單元設(shè)計(jì)的組織和展開，一般都采用小組團(tuán)隊(duì)合作學(xué)習(xí)的形式，公共學(xué)習(xí)產(chǎn)生是數(shù)學(xué)手抄報(bào)、論文和問題的提出和解答。教師既是學(xué)生的學(xué)習(xí)組織者，又是學(xué)生學(xué)習(xí)的參與者，要知道他們探究的方向，提供必要的學(xué)習(xí)工具和方法，但是絕不能替代學(xué)生去學(xué)習(xí)，在活動(dòng)展開時(shí)邊指導(dǎo)，邊評(píng)價(jià)，邊提問，注意培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，掌握數(shù)學(xué)概念的深層次理解。

關(guān)于單元設(shè)計(jì)實(shí)踐過程中一些理性思考

一位文史家說過：在現(xiàn)代所有課程中，教育的一個(gè)主要“罪行”是不要求學(xué)生付出艱辛的努力去學(xué)習(xí)。日本學(xué)者佐藤學(xué)把學(xué)習(xí)定義為三種實(shí)踐：認(rèn)知世界的實(shí)踐、承接和創(chuàng)造文化的實(shí)踐、自我意義構(gòu)建的實(shí)踐。這三種實(shí)踐光靠記憶是不行的，一定要付出艱辛努力，主動(dòng)開展心智活動(dòng)。數(shù)學(xué)是一種文化，數(shù)學(xué)又是一種語(yǔ)言。小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性不僅是掌握幾種法則，記住幾條定理，背誦幾個(gè)概念，而是要求進(jìn)行一次艱辛的文化之旅，用數(shù)學(xué)思想和方法認(rèn)識(shí)世界、創(chuàng)造文明，不斷創(chuàng)新屬于自己的思維模式。

單元教學(xué)（學(xué)習(xí)）設(shè)計(jì)只是建立在建構(gòu)主義教育理念之下的一種教學(xué)工具，使用它有三個(gè)條件：一是教師對(duì)單元主題的文化理解有比較深層次的把握。二是學(xué)生對(duì)單元主題有一定的知識(shí)積累。三是教師和學(xué)生都能平等對(duì)話，相互交流形成一個(gè)文化實(shí)踐的學(xué)習(xí)共同體。例如，以數(shù)位制單元教學(xué)為例，教師是否知道和理解數(shù)位制創(chuàng)立的文化意義是人類可以用有限的符號(hào)記載無限事實(shí)的智慧結(jié)晶。理解數(shù)位制是人類文化的實(shí)踐創(chuàng)造，而不是上帝制定的法則，要讓學(xué)生走一走人類智慧的文化之旅，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想和方法對(duì)我們認(rèn)識(shí)世界的重要性。同時(shí)學(xué)生要有知識(shí)積累，是否能區(qū)別序數(shù)和基數(shù)，并在數(shù)數(shù)時(shí)除了“一一對(duì)應(yīng)”，還要體會(huì)序數(shù)比較前后，基數(shù)比較大小，能夠在數(shù)軸上表示出來。同樣的操作活動(dòng)，一種是知識(shí)指導(dǎo)下的實(shí)踐，另一種是盲目的刺激反應(yīng)，學(xué)習(xí)意義是完全不同的。我們平時(shí)主張“做中學(xué)”或者“先練后講”都要注意感性和理性的結(jié)合，也就是要求學(xué)生付出辛勤的心智成本，并不是低層次的行為重復(fù)，不要滑入行為主義的刺激與反應(yīng)的誤區(qū)。單元教學(xué)（學(xué)習(xí)）設(shè)計(jì)的評(píng)價(jià)并不是以考試為唯一手段，要求學(xué)生把學(xué)習(xí)成果用自己滿意的方式呈現(xiàn)給大家。當(dāng)然考試也是可以的，但是考試關(guān)注的自我建構(gòu)意義，自我超越，而不是基于某一標(biāo)準(zhǔn)的競(jìng)爭(zhēng)性選拔。小學(xué)生辦手抄報(bào)，寫小論文，記讀書筆記，制造學(xué)習(xí)工具，寫數(shù)學(xué)日記都是評(píng)價(jià)的好形式，我們要把所有的學(xué)生學(xué)習(xí)成果充分展示出來，未來的數(shù)學(xué)家就在他們中間。

掌握單元設(shè)計(jì)教學(xué)工具要能真正幫助學(xué)生開展深層次的有效性學(xué)習(xí)，教師必須具備二種意識(shí)、三項(xiàng)本領(lǐng)：一種意識(shí)是課程文化意識(shí)，教師是設(shè)計(jì)、開發(fā)和組織課程的主體，傳統(tǒng)的教學(xué)三中心思維模式，教師是教材的忠實(shí)傳播者，講深講透是教師任務(wù)，學(xué)生怎么學(xué)，并不是教師所關(guān)注的。課程文化指課程的價(jià)值取向，不同的課程有不同的學(xué)習(xí)目標(biāo)和方法。其實(shí)教材只是一種課程文化工具，并不是一種教學(xué)法典。教師要有綜合課程、開發(fā)課程的本領(lǐng)。另一種意識(shí)是學(xué)生學(xué)習(xí)有效性意識(shí)，所謂有效性是指學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)結(jié)果的統(tǒng)一性。傳統(tǒng)的教學(xué)是不關(guān)注學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)方法的，學(xué)習(xí)目標(biāo)也是不合理的，用記憶替代理解，用技能損傷情感，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)檢測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一性。有效性學(xué)習(xí)必須建立在學(xué)習(xí)者自覺積極參與學(xué)習(xí)過程，并能付出艱辛心智勞動(dòng)的基礎(chǔ)上的，教師不能替代學(xué)生學(xué)習(xí)。全面關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)情感、學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)方法，才是教師的職責(zé)。

三項(xiàng)本領(lǐng)指整體把握所任學(xué)科核心素養(yǎng)要求的本領(lǐng);通過觀察找準(zhǔn)學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的本領(lǐng);有效開發(fā)和利用課堂學(xué)習(xí)文化工具的本領(lǐng)。工具和方法本身無優(yōu)劣，不同境脈使用不同的工具和方法，工具和方法的匹配性策略選擇是有好壞之分的。教師的觀摩課、示范課、比賽課千萬不要境脈剝離，走形式主義道路，一定要注意培養(yǎng)教師自己的批判性思維和反思教學(xué)的能力。

單元教學(xué)（學(xué)習(xí)）設(shè)計(jì)是一種教師教學(xué)智慧的呈現(xiàn)。例如“字母表示數(shù)”。江蘇版教材從“字母代替數(shù)”改成“字母表示數(shù)”已經(jīng)察覺僅僅把字母的引進(jìn)為學(xué)習(xí)方程作鋪墊是不合理的，其實(shí)字母表示數(shù)是小學(xué)生抽象思維完成第三層級(jí)的學(xué)習(xí)過程。第一抽象層級(jí)是學(xué)前教育和一年級(jí)，把世界上的實(shí)物計(jì)量用符號(hào)來表示;第二抽象層級(jí)舍去實(shí)物的本質(zhì)，用符號(hào)進(jìn)行計(jì)量運(yùn)算，這在二至四年級(jí)完成。2+2=4，我們不關(guān)注這里的“2”是 2支筆還是 2頭牛，只關(guān)注計(jì)量“2”與計(jì)量“2”合并起來一定是 4，隱含著并集數(shù)學(xué)思想。字母表示數(shù)是第三次抽象，a+b=c已經(jīng)剝離了事物的大小、多少，只關(guān)注事物的關(guān)系。a是多少，b是多少，a和 b誰大誰小，我們已經(jīng)都不關(guān)注了，只定義集合a、集合 b和集合 c的關(guān)系，a和 b合并成集合c，確立了并集概念。數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)之一是學(xué)會(huì)抽象，學(xué)會(huì)推理，學(xué)會(huì)建模，這在新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀中講的很清楚，數(shù)學(xué)思想和方法的呈現(xiàn)單靠教材和課時(shí)教學(xué)的模式是不可能實(shí)現(xiàn)的，教師一定要把學(xué)生積累的知識(shí)和零散的方法串聯(lián)起來，用單元設(shè)計(jì)工具讓學(xué)生進(jìn)行一次文化之旅，真正體驗(yàn)數(shù)學(xué)的真諦。

數(shù)學(xué)思想和方法作為一項(xiàng)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)任務(wù)要落到實(shí)處，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)要從“雙基”轉(zhuǎn)向“四基”還有漫長(zhǎng)的路要走?！皵?shù)學(xué)的文化之旅”并不是一句口號(hào)，而是加強(qiáng)數(shù)學(xué)“四基”教學(xué)的有效途徑。單元設(shè)計(jì)只是工具，并不是唯一的范式。把數(shù)學(xué)思想和方法呈現(xiàn)給學(xué)生是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的時(shí)代召喚。

（蘇州市敬文實(shí)驗(yàn)小學(xué)）