基于任意兩量子比特態(tài)的多方分層量子密鑰共享方法研究*

宋 曦，曲 倩，肖 鑫，袁平亮，段 慶

（1.國網(wǎng)甘肅省電力公司信息通信公司，甘肅 蘭州 730050；2.國網(wǎng)信通億力科技有限責任公司，福建 廈門350003）

0 引 言

目前，分層的量子信息拆分方案中，拆分的信息都是單量子比特態(tài)[1-7]。在2010年，Wang等人[1]首次提出分層量子信息拆分（Hierarchical Quantum Information Splitting，HQIS）協(xié)議。利用四粒子糾纏態(tài)作為量子信道，協(xié)議主要提出了一個將量子秘密信息非對稱地分發(fā)給3個遠距離接收方的方案。非對稱地分發(fā)秘密信息導致接收方擁有不同的權(quán)限來恢復發(fā)送方的秘密，其中3個接收方即Bob、Charlie和Diana，有不同的恢復權(quán)限獲得Alice（發(fā)送方）量子秘密信息。由量子不可克隆定理可知，3個接收方中只有一方能夠恢復Alice的秘密態(tài)。Diana為了恢復秘密僅需要其他兩個接收方中的一方幫助，而Bob（Charlie）則需Diana和Charlie的同時幫助才可以。這意味著Diana擁有最終秘密的權(quán)限比Bob和Charlie更大，且在該方案中接收方的恢復操作都是局域操作。

本文首次利用兩對四粒子簇態(tài)作為量子信道，提出了一種任意兩量子比特態(tài)的多方分層量子密鑰共享方法，研究了具有3個接收方的HQIS協(xié)議，并進一步推廣到5個接收方的分層量子信息拆分協(xié)議。

1 3個接收方的分層量子信息拆分

本節(jié)提出具有3個接收方的HQIS協(xié)議。需要強調(diào)的是，本文假設(shè)量子信道是安全無噪聲的，經(jīng)典信道是被認證的，下文不再一一敘述。

本協(xié)議中，量子信道采用兩對四粒子簇態(tài)[8]：

發(fā)送方Alice和3個接收方Bob、Charlie1和Charlie2安全共享兩對四粒子簇態(tài) |Ψ〉1234和 |Ψ〉5678。Alice、Bob、Charlie1和Charlie2分別擁有粒子1和5、粒子2和6、粒子3和7、粒子4和8。

假設(shè)Alice要分發(fā)一個任意的兩量子比特態(tài)：

這里，|α|2+|β|2+|γ|2+|δ|2=1。

發(fā)送方Alice想把態(tài)|ζ〉xy中的信息發(fā)送給并不完全信任的3個接收方Bob、Charlie1和Charlie2，采取信息分裂的方式來實現(xiàn)。根據(jù)量子不可克隆定理，最終只有一個接收方的量子態(tài)能塌縮為|ζ〉xy，也就是說，有且只有一方能夠恢復Alice的秘密態(tài)。

Alice對她的粒子(x,1)和(y,5)分別執(zhí)行兩次Bell基聯(lián)合測量[9]，測量后Alice通過經(jīng)典信道把測量結(jié)果告訴3個接收方，Alice能夠以相等的概率獲得16種可能測量結(jié)果中的一個，其余接收方獲得的聯(lián)合態(tài)則以1/16的概率塌縮到態(tài)中的任意一個。

不失一般性，通過舉例說明HQIS協(xié)議的過程。假設(shè)Alice的測量結(jié)果是，測量后其余3個接收方獲得的糾纏態(tài)為：

同時，Alice的信息將被存儲在粒子2、3、4、6、7、8上。下面分兩種情形討論HQIS協(xié)議。

1.1 高級權(quán)限的接收方Bob恢復秘密態(tài)

協(xié)議過程如圖1所示。

圖1 接收方Bob恢復秘密態(tài)

Charlie1和 Charlie2需要分別用直線基 {|0〉,|1〉}對各自的粒子（3，7）和粒子（4，8）進行兩次單量子比特測量。

由于Charlie1和Charlie2具有相同的恢復權(quán)限，故他們在直線基下的測量結(jié)果總是相關(guān)聯(lián)的。也就是說，Bob能夠從Charlie1（Charlie2）的測量結(jié)果推斷出Charlie2（Charlie1）的測量結(jié)果。因此，Bob只需要Charlie1或Charlie2中任一方公布測量結(jié)果，就能恢復 Alice發(fā)送的秘密態(tài) |ζ〉xy。

根據(jù)Charlie1或Charlie2的測量結(jié)果，Bob對自己手里的粒子做相應的局域操作就能恢復Alice發(fā)送的秘密態(tài)。Bob執(zhí)行的局域操作如表1所示，其中 I、σz和 σx是 Pauli操作。

表1 接收方Bob執(zhí)行的局域操作

1.2 低級權(quán)限的接收方Charlie1恢復秘密態(tài)

低級權(quán)限的接收方Charlie1和Charlie2中的任何一方也能夠恢復秘密態(tài)。由于他們的恢復權(quán)限是相同的，這里假設(shè)Charlie1恢復秘密態(tài)，協(xié)議過程如圖2所示。

圖2 接收方Charlie1恢復秘密態(tài)

在這種情況下，由于Charlie2和Bob對秘密態(tài)的恢復權(quán)限不同，任何人不能從Charlie2（Bob）的測量結(jié)果推斷出Bob（Charlie2）的測量結(jié)果。所以，Bob和Charlie2需要分別用對角基{|+〉,|-〉}對粒子2和6、粒子4和8進行兩次單量子比特的測量。然后，接收方Charlie1根據(jù)Bob和Charlie2的測量結(jié)果，執(zhí)行適當?shù)木钟虿僮骰謴统鯝lice發(fā)送的秘密態(tài)|ζ〉xy。Charlie1執(zhí)行的局域操作如表2所示。H是Hardamard 變換，即 H|+〉=|0〉，H|-〉=|1〉，形如 σxH表示先做H操作后做操作，其余操作類似。

HQIS協(xié)議意味著接收方對Alice發(fā)送的秘密態(tài)的恢復權(quán)限是不同的。為了恢復秘密態(tài)，高級權(quán)限接收方必須參與，而低權(quán)限接收方不必全部參與。此外，提出的HQIS協(xié)議可以進行適當修改，以實現(xiàn)多個接收方控制的量子隱形傳態(tài)[8]。

2 5個接收方的分層量子信息拆分

一般的HQIS協(xié)議中包括超過3個及以上的接收方，因此有必要把3個接收方的協(xié)議擴展到多個接收方。由于包含多個接收方的HQIS協(xié)議更復雜，因為其分層類型更多，但其原理均類似，所以在本文為了說明問題，僅在具有兩層權(quán)限的接收方之間展開研究。為了恢復秘密態(tài)，高級權(quán)限的接收方必須參與，而低級權(quán)限的接收方有時并不需要全部參與恢復。

表2 接收方Charlie1執(zhí)行的局域操作

另外，由于簇態(tài)的對稱性，協(xié)議具有更好的擴展性。本協(xié)議中，接收方的數(shù)量可以被任意擴展，但這些協(xié)議與3個接收方的HQIS協(xié)議的討論是類似的。下面僅討論包括5個接收方的HQIS協(xié)議。其中有2個接收方處在高級恢復權(quán)限，其余3方處在低級恢復權(quán)限。假設(shè)處在高級恢復權(quán)限的接收方包括Bob1和Bob2，而處在低級恢復權(quán)限的接收方包括 Charlie1、Charlie2和 Charlie3。

發(fā)送方Alice在式（1）中制備兩對四粒子簇態(tài)|ψ〉1234(|ψ〉5678)和 4 個單量子比特（a、b、c、d 的初態(tài)都是|0〉）。然后，對四粒子簇態(tài)|ψ〉1234中的粒子2和粒子3分別與a和c執(zhí)行CNOT操作，生成糾纏態(tài) |ψ〉1234ac和 |ψ〉5678bd。

經(jīng)過CNOT操作，態(tài)|ψ〉1234ac和|ψ〉5678bd分別表示為：

這里 |φ0〉=|00000〉+|01101〉，|φ1〉=|10010〉+|11111〉。

發(fā)送方Alice和5個接收方安全地共享態(tài)|ψ〉1234ac和|ψ〉5678bd。假設(shè)發(fā)送方Alice仍然分發(fā)一個任意的兩量子比特態(tài) |ζ〉xy給 5 個接收方 Bob1、Bob2、Charlie1、Charlie2和Charlie3。但是，5個接收方中只有一方可以恢復秘密態(tài)，他們對秘密態(tài)恢復的權(quán)限不同，這是由非對稱分發(fā)導致的。這里假設(shè)接收方Bob1和Bob2對秘密態(tài)有較高的恢復權(quán)限，而其他接收方Charlie1、Charlie2和Charlie3的恢復權(quán)限較低。

Alice對她的粒子(x,1)和(y,5)分別執(zhí)行兩次Bell基聯(lián)合測量，其他5個接收方的態(tài)將塌縮為相應狀態(tài)，然后通過經(jīng)典信道把測量結(jié)果告訴5個接收方。

下面分別從兩種情形簡要敘述5個接收方的HQIS協(xié)議，其原理與3個接收方的協(xié)議類似。

2.1 高級權(quán)限的接收方Bob1恢復秘密態(tài)

由于Bob1和Bob2擁有相同的恢復權(quán)限，這里僅假設(shè)Bob1恢復秘密態(tài)。當恢復秘密態(tài)時，協(xié)議僅需要其他所有高級權(quán)限的接收方和低級權(quán)限的接收方中的任一方幫助即可。

為了幫助Bob1恢復秘密態(tài)，其他接收方需要分別對他們擁有的粒子做兩次單量子比特測量。然而，由于Charlie1、Charlie2和Charlie3具有相同的恢復權(quán)限，故他們在直線基下的測量結(jié)果總是相關(guān)聯(lián)的。這里假設(shè)Charlie1幫助Bob1恢復秘密態(tài)。Bob1可以從Charlie1公布的測量結(jié)果推斷出接收方Charlie2和Charlie3的測量結(jié)果。根據(jù)Bob2和Charlie1公布的測量結(jié)果，Bob1執(zhí)行適當?shù)木钟虿僮骷纯苫謴虯lice發(fā)送的秘密態(tài)。總之，在這種情況下，Bob1要恢復秘密態(tài)僅需要低級權(quán)限的接收方Charlie1、Charlie2和Charlie3中的任一方在直線基下的測量結(jié)果（這里假設(shè)Charlie1公布測量結(jié)果），以及高級權(quán)限的接收方Bob2在對角基下的測量結(jié)果。

2.2 低級權(quán)限的接收方Charlie1恢復秘密態(tài)

處在低級權(quán)限的接收方Charlie1、Charlie2和Charlie3中的任何一方也能夠恢復秘密態(tài)。由于他們的恢復權(quán)限相同，這里假設(shè)Charlie1恢復秘密態(tài)?；謴兔孛軕B(tài)的過程中需要其他所有接收方的幫助。

接收方Charlie1不能獨自從他自己的測量結(jié)果中恢復Alice發(fā)送的秘密態(tài)。為了恢復秘密態(tài)，他必須在所有接收方的幫助下才能實現(xiàn)，這就需要Bob1、Bob2、Charlie2和Charlie3在相應的對角基下對自己手里的粒子分別做兩次單量子比特測量，然后Charlie1根據(jù)上述4個接收方的測量結(jié)果，執(zhí)行相應的局域操作即可恢復Alice發(fā)送的秘密態(tài)。

3 性能分析

目前，對于HQIS的效率還沒有一個準確統(tǒng)一的定義來刻畫。本文根據(jù)信息論中Cabello[10]給出的量子密鑰分發(fā)的效率計算本文協(xié)議的效率[11-12]：

其中，qs表示通信中共享量子態(tài)的量子比特數(shù)量，qt和bt分別表示通信過程中傳輸?shù)牧孔颖忍財?shù)量和進行交換信息所使用的經(jīng)典比特數(shù)量。對于量子比特效率定義為：

這里qu表示有用的量子比特數(shù)量，qt是傳輸?shù)娜苛孔颖忍?，通常結(jié)合ε和η兩個參數(shù)評估效率。另外，由于HQIS的安全性需要依賴建立安全的量子信道來保證。因此，在發(fā)送者分發(fā)粒子的過程中需要隨機插入一些誘騙態(tài)粒子用于檢測是否存在竊聽者。而用于檢測竊聽的誘騙態(tài)，通常僅占總數(shù)的一小部分，理論上可以忽略不計。表3給出了本文協(xié)議的效率ε和量子比特效率η。

4 對比分析

自2010年，Wang等人[1]首次提出HQIS的協(xié)議以來，許多研究者研究HQIS，并利用不同的量子資源作為信道實現(xiàn)了不同量子態(tài)的拆分。本文從分層結(jié)構(gòu)、糾纏資源、分層的量子信息、量子比特以及采用的恢復操作等方面進行對比總結(jié)。表4給出了已有方案和本方案的一個對照表。

由表4可以看出，在已有文獻中，HQIS協(xié)議中的共同點是對單量子比特態(tài)進行信息拆分，且在恢復操作時都采用簡單的Pauli操作，不同點是每種方案使用不同的糾纏資源作為量子信道，實現(xiàn)不同分層結(jié)構(gòu)的HQIS協(xié)議，因此通信中所消耗的量子比特數(shù)量不同。

表3 HQIS協(xié)議的效率和量子比特效率

表4 已公開發(fā)表的完美HQIS方案的對照表

在本方案中使用兩對四粒子簇態(tài)作為糾纏資源，分別在3個方接收方和5個接收方之間實現(xiàn)了對兩量子比特態(tài)的信息拆分，分層結(jié)構(gòu)分別為（1，2）和（2，3）模型。

5 結(jié) 語

本文設(shè)計了一個多方分層量子信息拆分協(xié)議，與其他協(xié)議相比，優(yōu)勢在于：

（1）選取四粒子簇態(tài)作為量子資源，在實際制備和操作上相對易實現(xiàn)；

（2）目前已公開發(fā)表的文獻中，分層的量子信息拆分方案中拆分的信息都是單量子比特態(tài)，而本協(xié)議拆分的是一個任意的兩量子比特態(tài)，在傳輸信息的攜帶能力上是單量子比特態(tài)的2倍；

（3）提出的協(xié)議需要恢復秘密態(tài)的接收方，僅需要執(zhí)行簡單的單量子比特測量，在實際中具有明顯優(yōu)勢。