利用整體積分法求解LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的響應*

陳紹榮，陳柏良，何 健，薛在陽

（1.陸軍工程大學通信士官學校，重慶 400035；2.深圳市惟新科技股份有限公司，廣州 深圳 518000；3.軍委裝備發(fā)展部軍事代表局駐成都地區(qū)軍事代表室，四川 成都 610041；4.奧特斯科技（重慶）有限公司，重慶 401133）

0 引 言

在時域上求解高階LTI連續(xù)時間因果系統(tǒng)的單位沖激響應h(t)及零狀態(tài)響應yf(t)時，涉及到處理單位沖激信號δ(t)，使得描述高階LTI連續(xù)時間因果系統(tǒng)的微分方程的解模式與高等數學中介紹的解模式有相似之處，但又有明顯區(qū)別。由于國內外《信號與系統(tǒng)》著作[1-2]借助物理概念，給出了高階LTI連續(xù)時間因果系統(tǒng)單位沖激響應δ(t)及零狀態(tài)響應yf(t)的解模式，因此，缺乏嚴謹的推導過程。針對連續(xù)時間反因果信號和連續(xù)時間因果信號的積分運算問題，基于著作[3]的分段積分法和分部積分法，本文提出了整體積分法。基于整體積分法，提出了高階LTI連續(xù)時間因果系統(tǒng)時域分析的不定積分降階法和上限積分降階法，分析結果表明，LTI連續(xù)時間因果系統(tǒng)的單位沖激響應為因果信號，在因果信號作用下其零狀態(tài)響應為因果信號。圓滿地解決了高階LTI連續(xù)時間因果系統(tǒng)零輸入響應、零狀態(tài)響應及全響應的時域求解問題。

1 截斷信號的積分

若連續(xù)時間信號x(t)定義在整個時間區(qū)間，則稱x(t)為無時限連續(xù)時間信號。一個無時限連續(xù)時間信號x(t)可以分解成連續(xù)時間反因果信號與連續(xù)時間因果信號之和，即：

式中，ε(t)為單位階躍函數。

實際工作中，信號發(fā)生器的輸出是連續(xù)時間因果信號。因此，在LTI連續(xù)時間因果系統(tǒng)的時域分析中，經常涉及連續(xù)時間因果信號的積分問題，即截斷信號的積分問題。

例 1：已知連續(xù)時間因果指數信號 f(t)=eλtε(t)，其中，λ為常數，ε(t)為單位階躍函數，試求積分運

解：方法1：采用分段積分法。

（1）當t＜0時，考慮到f(t)=eλtε(t)，若 -∞≤τ≤t＜0，則有 ε(t)=0，于是：

（2）當 t＞0 時，考慮到 f(t)=eλtε(t)，則有：

綜合式（2）及式（3），可得：

式（4）表明，利用分段積分法，對連續(xù)時間因果指數信號做積分運算，其結果是一個分段函數。

方法2：采用分部積分法。

式（5）表明，利用分部積分法，對連續(xù)時間因果指數信號做積分運算，其結果雖然表示成了一個連續(xù)時間因果信號，但是積分運算的過程十分冗長。

方法3：采用整體積分法。

若將連續(xù)時間反因果信號或連續(xù)時間因果信號的表達式視為一個整體，找出其原函數，則可直接利用牛頓—萊布尼茨公式解決問題。這種求解連續(xù)時間反因果信號或連續(xù)時間因果積分運算的方法，稱為整體積分法。

式（6）表明，所設函數F(τ)是所給因果指數函數f(τ)的一個原函數。

于是，由牛頓—萊布尼茨公式可得：

結論1：

對連續(xù)時間因果信號做積分運算，采用整體積分法不僅是一種最簡便的方法，而且其結果自動表示為因果信號。

2 構建基于整體積分法的連續(xù)時間反因果信號和因果信號的不定積分公式

考慮到 ε′(t)=δ(t)，則有：

對式（6）兩邊做不定積分，可得：

式中，C為任意常數。

由式（11）可得：

式中，C為任意常數。

在式（12）中，令 λ=a+jω0，C=C1+jC2，則有：

考慮到歐拉公式，由式（13）可得：

考慮到式（14）中的實部和虛部分別相等，則有：

考慮到式（12），則有：

為了便于運算，表1列出了常用的連續(xù)時間因果信號和反因果信號的不定積分公式，其中，C為常數，λ是λ≠0的實數或復數。

3 LTI連續(xù)時間因果系統(tǒng)輸出與輸入的時域關系

設描述二階LTI連續(xù)時間系統(tǒng)響應y(t)與激勵f(t)關系的微分方程為：

式中，λi＜0(i=1,2)。假設系統(tǒng)的起始狀態(tài) y′(-∞)=y(-∞)=0。

顯然，微分方程式（20）可寫成：

表1 常用連續(xù)時間因果信號和反因果信號的不定積分公式

設：

則有：

并且，微分方程式（21）可寫成一階微分方程，即：

將一階微分方程式（24）兩邊乘以e-λ1t，可得：

利用乘積求導法則，對式（25）的左邊做逆向改寫，可得：

由式（26）可得：

在τ∈(-∞,t]上，對式（27）兩邊做上限積分運算（累加），可得：

考慮到式（23），由式（28）可得：

由式（29）可得：

對比微分方程式（22）及微分方程式（24），并注意到式（30），則微分方程式（22）的解y(t)，即二階LTI連續(xù)時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf(t)可以表示為：

式中，h(t)為二階LTI連續(xù)時間因果系統(tǒng)的單位沖激響應，并且 h(t)=eλ1tε(t)*eλ2tε(t)。

上述這種導出二階LTI連續(xù)時間因果系統(tǒng)輸出與輸入關系的方法，稱為上限積分降階法。

式（31）揭示了LTI連續(xù)時間因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應可以用激勵和系統(tǒng)單位沖激響應的線性卷積進行計算。

4 LTI連續(xù)時間因果系統(tǒng)的時域分析

下面以舉例的方式，介紹利用整體積分法來求解高階LTI連續(xù)時間因果系統(tǒng)的響應。

例2：設描述二階LTI連續(xù)時間因果系統(tǒng)響應y(t)與激勵f(t)關系的微分方程為：

若系統(tǒng)的激勵為f(t)=15e-2|t|，系統(tǒng)的起始狀態(tài)y′(-∞)=y(-∞)=0。

（1）試求系統(tǒng)的單位沖激響應h(t)。

（2）試求t≥-∞時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf(t)。

（3）若t＜0時的激勵用于給系統(tǒng)建立初始狀態(tài)，試求t≥時系統(tǒng)的零輸入響應yx(t)、零狀態(tài)響應yf(t)及全響應y(t)。

解：（1）考慮到微分方程式（32），則有：

對微分方程式（33）的左邊改寫，可得：

將式（34）兩邊乘以e3t，可得：

對式（35）兩邊做不定積分運算，并注意到表1中序號為1的不定積分公式，可得：

由式（36）可得：

同理，將微分方程式（37）兩邊乘以e4t，可得：

對式（38）兩邊做不定積分運算，并注意到表1中序號為1和4的不定積分公式，可得：

由式（39）可得：

考慮到系統(tǒng)的初始狀態(tài)h′(0_)=h(0_)=0，由式（40）可知，C1=C2=0，于是所求二階LTI連續(xù)時間因果系統(tǒng)的單位沖激響應為：

上述這種求解LTI連續(xù)時間因果系統(tǒng)的單位沖激響應的方法，稱為不定積分降階法。

結論2：

式（41）揭示了LTI連續(xù)時間因果系統(tǒng)的單位沖激響應h(t)是一個連續(xù)時間因果信號。

（2）考慮到：

由式（31），并注意到式（42）及表1中序號為4和12的不定積分公式，可得：

（3）由式（43）可知，當t≥0時，系統(tǒng)的零輸入響應為：

系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf(t)為：

系統(tǒng)的全響應y(t)為：

5 結 語

本文提出了整體積分法，解決了連續(xù)時間反因果信號和連續(xù)時間因果信號積分過程冗長的問題?；谡w積分法，提出了高階LTI連續(xù)時間因果系統(tǒng)時域分析的不定積分降階法、上限積分降階法。揭示了LTI連續(xù)時間因果系統(tǒng)的單位沖激響應為因果信號，在因果信號作用下其零狀態(tài)響應為因果信號。圓滿地解決了高階LTI連續(xù)時間因果系統(tǒng)零輸入響應、零狀態(tài)響應及全響應的時域求解問題。