聯(lián)系?重組?結(jié)構(gòu)化

徐衛(wèi)智

著名教育心理學(xué)家皮連生認(rèn)為，今后教學(xué)設(shè)計(jì)關(guān)注的不僅僅是一個(gè)學(xué)科中某一知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)過程，也不僅僅是學(xué)習(xí)的認(rèn)知過程，而應(yīng)從人的整體發(fā)展的規(guī)律和角度去進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。美國學(xué)者加里·鮑里奇認(rèn)為：系統(tǒng)的力量在于整體大于部分之和。強(qiáng)調(diào)必須從整體上把握教學(xué)單元與其組成部分課時(shí)，其教學(xué)設(shè)計(jì)關(guān)注的正是教學(xué)單元與其內(nèi)部的關(guān)系。目前很多高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中把精力放在細(xì)節(jié)的處理，而忽視教材的整體性與系統(tǒng)性。這種“只見樹木不見森林”的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的知識(shí)碎片化，難以形成一個(gè)完整的知識(shí)體系，進(jìn)而導(dǎo)致部分學(xué)生基礎(chǔ)不扎實(shí)、難以應(yīng)對題型變化等問題。隨著高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂，“單元教學(xué)設(shè)計(jì)”逐漸得到數(shù)學(xué)教育研究者和高中數(shù)學(xué)教師的廣泛認(rèn)同。

單元教學(xué)設(shè)計(jì)是指在整體把握教材的基礎(chǔ)上，用全局的眼光、系統(tǒng)的方法把教材中具有內(nèi)在聯(lián)系的知識(shí)進(jìn)行整合、重組并形成相對完整、動(dòng)態(tài)的教學(xué)設(shè)計(jì)。它可以以重要的數(shù)學(xué)概念或核心知識(shí)為主線組織，也可以以數(shù)學(xué)思想方法為主線組織，還可以以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)或數(shù)學(xué)核心能力為主線組織。

筆者嘗試對《橢圓、雙曲線》復(fù)習(xí)課進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

一、聯(lián)系——眼見樹木，心向森林

1.例題（眼見樹木）：已知橢圓的焦點(diǎn)為，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，若，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)。（課本例題）

方法1：將關(guān)鍵點(diǎn)落在“焦點(diǎn)”和“橢圓上的動(dòng)點(diǎn)P”，聯(lián)想到橢圓的定義，條件①②可以表達(dá)為：，條件③則表示為：，聯(lián)立這兩個(gè)式子得到的長，再進(jìn)一步得到點(diǎn)P的坐標(biāo)。

方法2：向量作為工具在解析幾何和立體幾何中發(fā)揮著重要作用，在解決平行和垂直問題時(shí)優(yōu)越性十分突出，在閱讀題目條件時(shí)將關(guān)鍵點(diǎn)落在“”，聯(lián)想到，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用代數(shù)運(yùn)算解決問題，條件“動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上”表達(dá)成：（將點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程）。聯(lián)立方程組求得的值。

方法3：解析幾何歸根結(jié)底還是幾何，不能忽略“形”的特點(diǎn)。從形的角度解讀條件“”可以理解為P在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，即P同時(shí)在橢圓和圓上運(yùn)動(dòng)，聯(lián)立這兩個(gè)曲線方程可求得的值。

2.聯(lián)想（心向森林）

題目中所求點(diǎn)P滿足三個(gè)條件：①橢圓方程，;②動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上;③焦點(diǎn)及P形成。審題時(shí)抓住的關(guān)鍵點(diǎn)不同，轉(zhuǎn)化方向就有所不同，形成不同的方法。而不同指向的延伸又是哪里？是否可以沿著不同脈絡(luò)指向，將課本和習(xí)題中相關(guān)問題收集、整理、分類、重組，連成一片森林？

二、重組——走進(jìn)森林，身臨其境

問1：在方法1的理解基礎(chǔ)上，如果條件不變，本題中還能求些什么？

（1）已知點(diǎn)P在焦點(diǎn)為的橢圓上，若，求的值。（來源于教材）

（2）已知點(diǎn)P在焦點(diǎn)為的橢圓上，若，求的面積。

從求P點(diǎn)坐標(biāo)（先的長，再進(jìn)一步得到點(diǎn)P的坐標(biāo)）到求的值，再到求的面積，可以讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的技巧，整體運(yùn)算的便捷，落實(shí)“數(shù)學(xué)運(yùn)算”這一核心素養(yǎng)。

問2：如果改變的大小，你還能求出的面積嗎？

（3）將“”改為其它條件不變，如何求出的面積？

（4）已知點(diǎn)P在焦點(diǎn)為的橢圓上，若，如何求的面積？

從特殊到一般，進(jìn)一步落實(shí)“數(shù)學(xué)抽象”、“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的核心素養(yǎng)。

問3：如果適當(dāng)改變條件和結(jié)論，你還能解決這些問題嗎？

（5）已知點(diǎn)P在焦點(diǎn)為的橢圓上，若的面積為4，求的大小。

（6）已知點(diǎn)P在焦點(diǎn)為的橢圓上，若的面積為4，求P點(diǎn)坐標(biāo)。

通過以上問題希望學(xué)生能體會(huì)多變的形式及不變的本質(zhì)，能透過紛繁的變化形式尋找到“定義”的影子，體會(huì)概念的本質(zhì)。

三、結(jié)構(gòu)化——走出森林，鳥瞰全景

以上列舉的題目幾乎全部來源于課本和配套練習(xí)冊，就像一顆顆孤立的樹木分散在課本的不同部分，在單元設(shè)計(jì)中以數(shù)學(xué)方法為脈絡(luò)將這些樹木連成一片，層層深入，形成森林。然而行走在森林深處，也會(huì)有迷失。如何讓學(xué)生在多變的形式中抓住不變的本質(zhì)--圓錐曲線的定義以及“通性通法”轉(zhuǎn)化條件，解決問題？這就需要教師帶領(lǐng)學(xué)生走出森林，鳥瞰全景，將丘壑收于眼底，將脈絡(luò)裝于心中，也就是將上述問題結(jié)構(gòu)化。

問3：你能否用結(jié)構(gòu)圖表示出這些問題的關(guān)聯(lián)性？

通過問7希望學(xué)生在結(jié)構(gòu)之中感受數(shù)學(xué)的整體性，在完善結(jié)構(gòu)的同時(shí)，建立相關(guān)知識(shí)的邏輯聯(lián)系，最終形成良好的整體認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

思考：

（1）一部分學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣不高，很重要的一個(gè)原因是他們覺得數(shù)學(xué)難，對數(shù)學(xué)有畏懼心理。教材是課程的重要載體，是實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)、實(shí)施教學(xué)的重要資源。它為學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了基本線索。以教材例題為載體展開教學(xué)，降低題目難度但不降低思維深度，可以有效排除學(xué)生的畏懼心理，形成積極的學(xué)習(xí)態(tài)度。

（2）單元教學(xué)設(shè)計(jì)最大的特點(diǎn)就是在整體的視角下研究課程，關(guān)注知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，使得相關(guān)知識(shí)易于形成一個(gè)完整的知識(shí)鏈條和結(jié)構(gòu)體系。這樣能有效避免課時(shí)教學(xué)造成學(xué)生知識(shí)的碎片化。尤其是單元教學(xué)設(shè)計(jì)下的章末總結(jié)設(shè)計(jì)能有效強(qiáng)化整章數(shù)學(xué)知識(shí)體系的完整性。這要求教師站在更高的位置上對學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)，而不僅僅是上好某節(jié)課的內(nèi)容。單元教學(xué)設(shè)計(jì)正是站在“課程標(biāo)準(zhǔn)”的高度，依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，整體把握教材，對教材中具有內(nèi)在聯(lián)系的知識(shí)進(jìn)行整合、重組并直指學(xué)生核心素養(yǎng)。

（3）數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容是課堂明線，而在實(shí)際的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中往往蘊(yùn)含著一條暗線，即數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容背后所要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法。用問題串將零散的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整合，抓住數(shù)學(xué)課程的主線和基本脈絡(luò)，有利于學(xué)生激疑生惑，主動(dòng)思考，從宏觀上形成對數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，從整體是掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，從結(jié)構(gòu)上更好地把握數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性。