利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義解決動態(tài)性的最值問題

王勝華

摘要：圓錐曲線是解析幾何中的重點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的重點(diǎn)章節(jié)之一，在教學(xué)過程和高考試卷中都占有很大的比例。在歷年高考的命題中都是熱點(diǎn)和重點(diǎn)之一。圓錐曲線的定義在初高中數(shù)學(xué)乃至高等數(shù)學(xué)中，都有廣泛的應(yīng)用。本論文首先對圓錐曲線的統(tǒng)一定義進(jìn)行歸納總結(jié)概述;其次給出了利用圓錐曲線統(tǒng)一定義巧解題的一些方法以及解題過程，然后對利用圓錐曲線統(tǒng)一定義巧解題中所涉及到的數(shù)形結(jié)合思想作了歸納和總結(jié)。

一、圓錐曲線的統(tǒng)一定義（又叫做第二定義）

圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）統(tǒng)一定義：平面內(nèi)一個動點(diǎn)M與一個定點(diǎn)F的距離與一條定直線L（點(diǎn)F不在直線L上）的距離之比等于一個常數(shù)e;當(dāng)01時，動點(diǎn)M的軌跡是雙曲線。

圓錐曲線的統(tǒng)一定義，是圓錐曲線定義概念的重要組成部分，揭示了圓錐曲線之間的內(nèi)在聯(lián)系，使焦點(diǎn)，離心率，和準(zhǔn)線等構(gòu)成一個統(tǒng)一的整體，學(xué)習(xí)好圓錐曲線的統(tǒng)一定義，不僅是研究圓錐曲線圖像與性質(zhì)的基礎(chǔ)，而且在許多高中數(shù)學(xué)問題的解題過程中，具有不可磨滅的特殊作用。圓錐曲線第二定義在求最值的形式一般是：的最小值，同時求取得最小值時相應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)。這個問題轉(zhuǎn)化的本質(zhì)就是將（其中點(diǎn)A是曲線（橢圓，雙曲線或拋物線）內(nèi)一定點(diǎn)（異于焦點(diǎn)）的一定點(diǎn)，是曲線上的一個動點(diǎn)，是曲線的一個焦點(diǎn)，是曲線的離心率）。

二、巧用圓錐曲線統(tǒng)一定義解最值問題

例1? 已知A（1，2），F(xiàn)為橢圓+ 的右焦點(diǎn)，P為橢圓上的動點(diǎn)，當(dāng)∣PA∣+∣PF∣取最小值時，求P點(diǎn)的坐標(biāo).

思路分析：已知e=，而∣PF∣恰好是橢圓上的點(diǎn)到橢圓相應(yīng)準(zhǔn)線的距離。

解：∵橢圓方程為+=1，∴a=5，b=4，c=3∴ e=.又∵A（1，2）是橢圓內(nèi)部的點(diǎn)，橢圓的右準(zhǔn)線方程為L：x=，過點(diǎn)P作PQ⊥L于點(diǎn)Q，由橢圓的第二定義知： =e=，即：PQ=∣PF∣，

∴ ∣PA∣+∣PF∣=∣PA∣+∣PQ∣，當(dāng)且僅當(dāng)P、A、Q三點(diǎn)共線時，∣PA∣+∣PQ∣有最小值，過A作AA′⊥L，與橢圓的交點(diǎn)即為所求，顯然yp=2，代入橢圓方程可求xp=，

∴當(dāng)∣PA∣+∣PF∣取最小值時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2）.

【評注】在涉及橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)有關(guān)的距離時，一定明確橢圓的第二定義及其相應(yīng)的變形式子。

例2：已知點(diǎn)，，在雙曲線上求一點(diǎn)，使的值最小。

解：∵，，∴，e=，設(shè)到與焦點(diǎn)相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為，則即在雙曲線上求點(diǎn)，使到定點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離和最小，顯然直線垂直于準(zhǔn)線時合題意，且在雙曲線的右支上，此時點(diǎn)縱坐標(biāo)為，∴所求的點(diǎn)為

例3：如果雙曲線上一點(diǎn)P到雙曲線右準(zhǔn)線的距離等于，求點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離。

即點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為。

如上題如何求P到左焦點(diǎn)的距離解：， ∴， ∴

方法二：雙曲線左支上的點(diǎn)離右準(zhǔn)線的距離的最小值，故點(diǎn)為雙曲線右支上的點(diǎn)，∴P到左準(zhǔn)線的距離

由雙曲線的第二定義

注：通過一題多解鞏固雙曲線中焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的“對應(yīng)”關(guān)系。

例 4. 已知點(diǎn)B（ 3，2 ），F(xiàn)為拋物線 的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上移動，當(dāng)|PB| + |PF| 的值最小時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為？ 若將題中的（ 3，2 ）改成（ 2，3 ）呢？

解： 如圖所示， 點(diǎn)B（ 3，2 ）在拋物線內(nèi)，過點(diǎn) P 作拋物線的準(zhǔn)線 L∶x=-1的垂線，垂足為 Q ，則 |PF |= |PQ| 只需求出|PB| +| PQ| 的最小值。 由圖可知當(dāng) M ， P ， Q 三點(diǎn)共線時，|PB| +| PQ |最小，此時P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 2 。

代入 得 x=2 ，點(diǎn) P（2，2）。

若將題中的B（3，2）改成（2，3），顯然點(diǎn)B（2，3）在拋物線外， ???????????????????????????????????????????當(dāng) B ， P ， F 三 點(diǎn) 共 線 時 ，|PM| + |PQ| 最 小 ，

評析： 利用拋物線的性質(zhì)， 拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離就是到準(zhǔn)線的距離， 再通過作圖，得到的| BM| +| PF| 最小值， 是典型的幾何法。

三、問題小結(jié)

從上述例題可以看出，圓錐曲線的統(tǒng)一定義（第二定義）既是推導(dǎo)圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的依據(jù)，又是用來解決一些最值問題的重要方法，一般情況下，當(dāng)問題涉及焦點(diǎn)或準(zhǔn)線，且用其它方法不易求解時，則可通過“數(shù)”與“形”的結(jié)合，充分利用圖形的直觀性，與圓錐曲線的統(tǒng)一定義結(jié)合起來求解。它的基本特點(diǎn)是解題思路比較簡單， 規(guī)律性較強(qiáng)，因此在解決問題時會事半功倍。