利用三線合一　巧做輔助線

趙艷紅

摘 要 初中數(shù)學(xué)中的幾何問題經(jīng)常需要添加輔助線。解析等腰三角形的三線合一問題時(shí)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)三線中具備兩線時(shí)，巧做輔助線，構(gòu)造等腰三角形，然后利用全等、相似或者中位線等去解決問題。

關(guān)鍵詞 三線合一;三線中具備兩線;構(gòu)造等腰三角形

中圖分類號：G632

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1002-7661（2019）26-0164-01

初中幾何解題指導(dǎo)，要善于利用輔助線，總結(jié)解題規(guī)律，做到舉一反三，收到觸類旁通之效。

初中學(xué)生在解析數(shù)學(xué)中的幾何題型時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)絞盡腦汁、冥思苦想，卻怎么也想不出一點(diǎn)思路的情形。其實(shí)，解幾何題并不那么難，也是有規(guī)律可循的。許多看起來似乎極難、毫無思路的幾何題型，有時(shí)只需巧做一條小小的輔助線，便會(huì)讓處于山窮水盡地步的學(xué)生，解題思路出現(xiàn)柳暗花明，一下豁然開朗。下邊就以幾何題型三線中如果遇到兩線為例，講析一下如何巧做輔助線，如何讓難題變難為易，迎刃而解，并總結(jié)一下解題思路與規(guī)律。

典例：點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD⊥CD于D，AD平分∠BAC，E是BC中點(diǎn)，連接DE，若AB=13，AC=7。求DE的長度。

分析：在這個(gè)問題中，AD具備了平分一個(gè)角，與CD垂直這兩個(gè)條件，那么延長CD與AB相交于點(diǎn)F，根據(jù)等角的余角相等，很容易證出△AFC是等腰三角形，AF=AC=7，再利用三線合一，得出D是CF中點(diǎn)，DE就是△FCB的中位線，就可以得到DE=3。

變式一：△ABC中，AC=BC，∠C=90°點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，AD⊥BD于D，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)F，求證：BD=AF.

提示：AD依然是三線中具備了兩線，延長BD與AC延長線交于點(diǎn)P，構(gòu)造出等腰三角形，得到BD=BP，再利用全等證明AF=BP即可。

變式二：梯形ABCD，AD∥BC，BE⊥CD于E，BE平分∠ABC，DE是CE的一半，△BEC的面積是2，求四邊形ABED的面積。

提示：根據(jù)做輔助線規(guī)律構(gòu)造出等腰三角形，再利用相似知識求解。

變式三：平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，∠BCD的外角平分線CE⊥DE于E，BC=6，AB=4，求OE的長度。

提示：根據(jù)規(guī)律構(gòu)造出等腰三角形，得到三角形的中位線求解。

總結(jié)：在一個(gè)三角形中，只要有兩個(gè)條件存在就可以， 即（高線，中線，角平分線）中隨意兩個(gè)條件，那么這個(gè)三角形為等腰三角形。通過前面幾個(gè)問題，我們想到等腰三角形三線合一的逆命題也是正確的：

（1）如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的高重合，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。

（2）如果三角形中任一邊的中線和這條邊上的高重合，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。

（3）如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的中線重合，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。因?yàn)檎n本中沒有以定理出現(xiàn)，所以考試的證明題中如果遇到一定要證明一下，不可直接使用。

可以自己試著做一下以下兩個(gè)題目：

1.已知：AD是△ABC斜邊上的高，∠BAC=90°，∠ ABD的平分線交AD于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)P?！螩AD的平分線交BP于點(diǎn)Q.

求證：△QAD是等腰三角形。

2.△ABC中，BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB，AM⊥CE于M，AN⊥BD于N，求證：MN∥BC。

題海無涯，特別是數(shù)學(xué)題千變?nèi)f化，但萬變不離其宗，不管題型如何變化，總蘊(yùn)含一定的規(guī)律在其中。只要用心思考和學(xué)習(xí)，掌握了做題的技巧和規(guī)律，問題就會(huì)很容易被解決，既能享受到做出難題的樂趣，更會(huì)留下深刻印象。根據(jù)問題中的已知條件，做出合適的輔助線，為學(xué)生開拓了一個(gè)廣闊的思維空間，做輔助線過程中也讓學(xué)生認(rèn)識到化歸的思想，從而達(dá)到融會(huì)貫通的目的。