一類幾何問題初高中解法的對比分析與反思

1 引子

2019年高考數(shù)學(xué)全國1卷的選擇題第四題有關(guān)“維納斯身高”的問題引起了各方熱議，筆者注意到網(wǎng)絡(luò)上有人說該題是初中題目，甚至還有人說這題小學(xué)生都可以做.筆者認(rèn)為小學(xué)生能否做存在爭議（有些優(yōu)秀的小學(xué)生當(dāng)然沒問題），但本題拿給初中生做并沒有超出知識范圍，因?yàn)楸绢}考查的知識點(diǎn)主要是比例、不等式等問題，而對于黃金比例這個數(shù)學(xué)知識（文化），許多版本的初中教材都有提到，因此說此題初中生能做是沒問題的.事實(shí)上有部分題目特別是一些平面幾何問題，既可以用高中教材講到的知識和方法去做，也可以用初中教材所講的知識和方法去做，兩類方法的思維差異何在？對教學(xué)有什么啟示？

筆者自工作以來在高中從教十三年，直到去年到農(nóng)村初中支教一年，擔(dān)任初三數(shù)學(xué)的教學(xué)工作，對初高中考試或練習(xí)中都可以出現(xiàn)的一類平面幾何問題進(jìn)行了初步的研究，也收獲了幾點(diǎn)教學(xué)上的感悟，現(xiàn)整理分享如下，權(quán)當(dāng)拋磚引玉.

2 例題分析

例1 如圖1，F(xiàn)為正方形ABCD邊CD上一點(diǎn)，連接AC、AF，延長AF交AC的平行線DE于點(diǎn)E，連接CE，且AC=AE.求證：CE=CF.

思路分析 初高中的知識儲備不一樣，導(dǎo)致了解題分析的視角不一樣.高中生見到這個題目的已知條件，注意到已知條件中AD和AE的長度是有關(guān)系的，又易得∠ADE=135°，因而容易從綜合法的角度分析問題，利用已知條件在△ADE中使用高中熟悉的正弦定理來得出sin∠AED=12，進(jìn)而得到∠CFE=∠CEF=75°，即證CE=CF.

高中解法 由已知條件易知∠ADE=135°，AE=AC=2AD，在△ADE中，由正弦定理有ADsin∠AED=AEsin∠ADE，化簡得ADsin∠AED=2ADsin135°，所以sin∠AED=12，即得∠AED=30°，因?yàn)锳E=AC，所以∠FEC=180°-30°2=75°，又因?yàn)椤螮FC=∠FAC+∠ACF=30°+45°=75°，所以∠FEC=∠EFC，所以CE=CF.

而對于初中生來說，要證明CE=CF往往是證明兩邊的對角相等，如果∠EAC的大小能求出則問題得到破解.由經(jīng)驗(yàn)可知初中階段求解的角一般都是特殊角，如30°和45°等，并且在求角的過程中往往需要構(gòu)造直角三角形，結(jié)合本題中DE∥AC的條件，過點(diǎn)E作EH⊥AC于H，構(gòu)建出直角三角形△AEH容易發(fā)現(xiàn)EH=12AE，從而得出∠EAC=30°.

初中解法 過點(diǎn)E作EH⊥AC，垂足為H，如圖2所示.因?yàn)镈E∥AC，所以EH=AD·sin45°=22AD，又因?yàn)锳E=AC=2AD，所以EH=12AE，所以∠EAH=30°，因?yàn)锳E=AC，所以∠FEC=180°-30°2=75°，又因?yàn)椤螮FC=∠FAC+∠ACF=30°+45°=75°，所以∠FEC=∠EFC，即證CE=CF.

點(diǎn)評 高中解法關(guān)注三角形中的邊與角是否存在數(shù)量關(guān)系，而不太關(guān)注邊與角的條件是否足夠特殊，而初中解法由于只能用最基本的定理和性質(zhì)來解決問題，所以更關(guān)注題目條件的特殊性，以此為突破口并結(jié)合基本活動經(jīng)驗(yàn)來處理問題.

例2 如圖3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，點(diǎn)D在AB上，且有∠BDC=30°，求證：AD=BC.

思路分析 對于高中生來說，注意到已知條件中有邊的關(guān)系，又有角的條件，容易想到利用正弦定理來尋找AD、BC的關(guān)系.

高中解法 因?yàn)锳B=AC且∠BAC=20°，所以∠B=∠ACB=80°，因?yàn)椤螧DC=30°，所以∠DCA=∠BDC-∠BAC=10°.

在△ACD中由正弦定理有DCsin20°=ADsin10°，所以AD=12cos10°DC.

在△BCD中由正弦定理有DCsin80°=BCsin30°，所以BC=12cos10°DC，所以AD=BC.

而對于初中生來說，證明兩條邊的長度相等往往需要證明兩邊所在的兩個三角形全等，而其中的難點(diǎn)在于往往需要添加輔助線構(gòu)造三角形.對于此題來說，還不能直接構(gòu)造兩個三角形，需要注意到已知條件中幾個角的特殊關(guān)系，結(jié)合△ABC是個等腰三角形的條件，添加幾條輔助線構(gòu)造兩個直角三角形.

初中解法 過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為E.過點(diǎn)A作CD的垂線，垂足為F，如圖4所示.

因?yàn)锳B=AC且AE⊥BC，所以BE=EC，∠EAC=10°.

因?yàn)椤螧DC=30°，所以∠DCA=∠BDC-∠BAC=10°.

又因?yàn)椤螦FC=∠AEC=90°且AC=AC，所以△AFC△AEC，所以AF=EC.

因?yàn)椤螧DC=30°且∠AFD=90°，所以AD=2AF，又因?yàn)锽C=2EC，所以AD=BC.

點(diǎn)評 高中解法是一種從定量的角度處理的方法，只要借助正余弦定理或者勾股定理溝通已知條件與所求目標(biāo)的關(guān)系，后面基本是常規(guī)的化簡運(yùn)算.所以從高中解法的角度來說，例1和例2的解題思想都是一樣的，兩個題目本質(zhì)上屬于同一類型題;而對于初中解法來說需要從條件的特殊性出發(fā)，“量身定制”必要的輔助線，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法.通過例1和例2的具體解答可以發(fā)現(xiàn)，因?yàn)轭}目條件的不同，兩題初中解法的具體思路和解法還是有很大差異的.

例3 如圖5，AB=AC，∠CAB=90°，∠ADC=45°，AD=1，CD=3，求BD的長度.

思路分析 從高中生思維角度出發(fā)，由已知條件AD=1、CD=3和∠ADC=45°容易想到使用余弦定理可以求出AC，這樣要求BD只需在△ABD中再一次應(yīng)用余弦定理即可.

高中解法 在△ADC中由余弦定理得

AC2=AD2+DC2-2DA·DC·cos∠ADC=10-32，所以BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cos∠BAD=AD2+AC2-2AD·AB·cos（90°+∠DAC）=1+10-32+2AD·AB·sin∠DAC=11-32+2AD·AC·sin∠DAC=11-32+4S△ADC=11-32+4×12×1×3×sin45°=11，所以BD=11.

而此題對于初中生來說，求解目標(biāo)BD的基本活動經(jīng)驗(yàn)是往往需要借助BD所在的一個直角三角形使用勾股定理來解決，然而本題的難點(diǎn)在于現(xiàn)有已知條件中并沒有含BD邊的直角三角形，這需要學(xué)生自己去構(gòu)造出來.

初中解法 過點(diǎn)A作AE⊥AD交DC于E，因?yàn)椤螦DC=45°，AE⊥AD，所以∠AED=45°，所以△ADE是等腰三角形，所以AD=AE，DE=2AD=2.

因?yàn)锳D=AE，AB=AC，∠DAC=90°+∠CAE=∠EAB，所以△ADC△AEB，所以BE=CD=3且∠AEB=∠ADC=45°，所以∠DEB=∠DEA+∠AEB=45°+45°=90°.

在△DEB中，由勾股定理有BD=DE2+EB2=2+9=11.

點(diǎn)評 本題的高中解法思路非常清晰，容易入手，計算量也不大.而初中解法的本質(zhì)思路可以看成是基于△BAC是等腰直角三角形以及∠ADC=45°這種特殊條件，可以考慮將△ADC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AEB，然后證明△DEB是直角三角形.事實(shí)上按照利用旋轉(zhuǎn)三角形解決幾何問題的思想＼[1＼]，本題還可以將△DAB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，后面解答過程類似.通過對比不難發(fā)現(xiàn)，高中解法強(qiáng)調(diào)的是通過代數(shù)角度尋找到邊與角之間的關(guān)系，是一種通法;初中解法雖然強(qiáng)調(diào)利用構(gòu)建直角三角形通過勾股定理解決問題這種常規(guī)思路，但在此類并沒有直角三角形作為已知條件的問題中，往往需要一些添加輔助線的技巧，并且能使用這些技巧還需觀察到這個條件所具備的特殊性.正是因?yàn)檫@個原因，此題放在初中階段屬于難度較大的題目.

例4 如圖7，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD上的點(diǎn)，且EF=DF+BE，求∠ECF的度數(shù).

思路分析 從高中生思維出發(fā)，一看目標(biāo)是求角就能自然想到利用余弦定理求∠ECF的余弦值，接下來就是把△ECF的三條邊表示出來，剩下的事情就是計算.

高中解法 不妨設(shè)正方形的邊長為1，DF=x，EB=y，因?yàn)镋F=DF+BE，故有EF=x+y，在直角三角形AEF中由勾股定理有（x+y）2=（1-x）2+（1-y）2，化簡得x+y=1-xy，在△CEF中由余弦定理有cos∠ECF=（1+x2）+（1+y2）-（x+y）22（1+x2）（1+y2）=1-xy1+x2+y2+x2y2=1-xy1+（1-xy）2-2xy+x2y2=1-xy2（1-xy）2=22，所以∠ECF=45°.

從初中生的思維角度出發(fā)，考慮到既然此題可以讓初中生做，那么∠ECF的度數(shù)一定是特殊角，并且往往與已知條件的特殊角有關(guān)，結(jié)合圖象的直觀想象，容易猜想∠ECF=45°，然而如何真正求解出這個角來卻不容易想到.從目標(biāo)出發(fā)，要證明∠ECF=45°可考慮證明∠ECF=∠ECB+∠DCF，而∠ECB與∠DCF并不是挨在一起，所以可以考慮將其中一個角旋轉(zhuǎn)到另一個角旁邊，合并成一個新的角，然后再證明這個新的角與∠ECF相等，此時又可能需要先證明兩個角所在的三角形全等.另外從已知的條件EF=DF+BE也可以猜測到需要將DF和EB轉(zhuǎn)到同一條線段上，這樣便得到新的兩邊相等的條件，然后同樣是考慮證明兩邊所在的三角形全等.結(jié)合目標(biāo)所求和已有的特殊條件，將△CDF逆時針旋轉(zhuǎn)90°（或者將△CEB順時針旋轉(zhuǎn)90°）是破解此題的關(guān)鍵步驟.

初中解法 將△CDF繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBG，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有∠CBG=90°，即有E、B、G三點(diǎn)共線，CF=CG，DF=BG，∠DCF=∠BCG.因?yàn)镋F=DF+BE，所以EF=DF+BE=BG+BE=EG，又因?yàn)镃E=CE，所以△CFE△CGE，所以∠ECF=∠ECG，又因?yàn)椤螮CG=∠ECB+∠BCG=∠ECB+∠DCF，所以∠ECF=∠ECB+∠DCF，又因?yàn)椤螮CF+∠ECB+∠DCF=90°，所以∠ECF=90°2=45°.

點(diǎn)評 初中解法需要較強(qiáng)的技巧和解題經(jīng)驗(yàn)，需要不斷總結(jié)題型及對應(yīng)的解題“套路”，而高中解法容易想到方法，但計算和化簡的過程需要足夠的耐心.

例5 如圖9，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動時，A隨之在邊OM上運(yùn)動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運(yùn)動過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為

.

思路分析 對初中生來說，兩點(diǎn)之間的距離問題往往會轉(zhuǎn)化為跟固定長度的邊長作比較，從矩形ABCD的邊長比例可以發(fā)現(xiàn)取AB的中點(diǎn)E，則有△DAE是等腰直角三角形，另外還有EO是直角三角形AOB斜邊上的中線.

初中解法 取AB的中點(diǎn)E，連接OE、DE、OD，因?yàn)镺D≤OE+ED，所以當(dāng)O、D、E三點(diǎn)共線時，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大，因?yàn)锳B=2，BC=1，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以AE=12AB=1，由勾股定理可得：DE=AD2+AE2=2，因?yàn)椤螹ON=90°且E是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)E=12AB=1，所以點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為2+1.

而對于高中生來說更加容易想到利用余弦定理來表示出DO的長度，然后通過函數(shù)的角度求最值.

高中解法 設(shè)∠OAB=θ，則OA=2cosθ，由余弦定理有DO2=（2cosθ）2+1-4cosθcos（θ+90°）=4cos2θ+1+4sinθcosθ=2（1+cos2θ）+1+2sin2θ=3+22sin（2θ+45°）≤3+22=（1+2）2，所以DO≤2+1，當(dāng)且僅當(dāng)θ=22.5°時等號成立.

點(diǎn)評 對于本題顯然是使用初中解法要簡單直觀，而使用高中解法的難點(diǎn)主要在于選取什么作為自變量，其次是表達(dá)出目標(biāo)函數(shù)后求最值有些復(fù)雜，需要點(diǎn)耐心.

例6 如圖10，E為等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，CE平分∠ACB，D為BC邊上的一點(diǎn)，且DE=CD，連接BE，取BE的中點(diǎn)P，連接AP，PD，AD，試判斷AP與PD的位置關(guān)系并求出AP與PD的數(shù)量關(guān)系.

思路分析 對于初中生來說，容易通過圖形猜想到∠APD=90°，注意到△ABC是等邊三角形，可以考慮嘗試將△ADC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60°，得到新的圖形后問題就迎刃而解了.

初中解法 如圖11，將△ADC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AGB，連接PG.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有GB=DC、GA=DA、∠GAD=60°、∠ABG=∠ACD，又因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠ACD=∠BAC=60°，所以∠ABG=∠BAC，所以GB∥AC，由已知易得ED∥AC，所以GB∥ED，又因?yàn)镚B=DC=ED，所以四邊形GBDE是平行四邊形，因?yàn)镻是BE中點(diǎn)，所以PG=PD，又因?yàn)镚A=DA，所以AP⊥PD，且有∠PAD=12∠GAD=30°，所以AP=3PD.

而對于高中生來說，最直接的思路是將AD、PD和AP表達(dá)出來，然后通過余弦定理來判斷AP與PD的數(shù)量關(guān)系.

高中解法 如圖12，延長CE交AB于G，連接GP.因?yàn)镃E平分∠ACB，且△ABC是等邊三角形，所以CG⊥AB，且AG=GB.因?yàn)镻是BE的中點(diǎn)，所以PG=PE=PB，不妨設(shè)AC=1、DC=a，因?yàn)椤螮CD=30°且DE=CD，所以EC=3a.

在△ADC由余弦定理得AD2=1+a2-a，在△BEC中由余弦定理有BE2=（3a）2+1-23a·cos30°=3a2+1-3a，所以PB2=BE24=34a2-34a+14.

在△BDE中由中線性質(zhì)有4PD2+4PB2=2a2+2（1-a）2，即有PD2=14a2-14a+14，在△ABP中由中線性質(zhì)有4PG2+4（12）2=2PA2+2PB2，即有PA2=34a2-34a+34，故有PA2+PD2=AD2，即有AP⊥PD，又因?yàn)镻A2=3PD2，所以AP=3PD.

解法點(diǎn)評 初中解法的思路巧妙但是難以想到，需要熟悉在特殊條件下應(yīng)用旋轉(zhuǎn)三角形的方法（當(dāng)然也可以直接構(gòu)造全等三角形）.而高中解法的思路簡單，但要表達(dá)出三條邊來涉及到多個量，還要熟悉一些常見定理（不用這些定理會更繁瑣），整個解法綜合性強(qiáng)，計算量大.

3 幾點(diǎn)反思

3.1 中學(xué)數(shù)學(xué)教師要明晰自身對初高中幾何及學(xué)生解題思維差異的理解.

眾所周知，教材的編寫肯定是要符合學(xué)生不同年齡的思維發(fā)展水平的.大部分初中生的幾何思維基本還處于直觀、感性的認(rèn)知階段，所以初中教材中的幾何內(nèi)容介紹的都是最基本的幾何定理和性質(zhì)，而且這些定理往往是特殊條件下才能成立的，比如勾股定理的應(yīng)用需要直角三角形的條件.隨著學(xué)生思維水平的發(fā)展，高中的幾何知識部分融入了更多的代數(shù)知識，增強(qiáng)了知識應(yīng)用的普適性，比如說在將銳角三角函數(shù)拓展到重新定義的三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，勾股定理被推廣到了任意三角形都可以應(yīng)用的余弦定理，并衍生出溝通邊、角和外接圓半徑關(guān)系的正弦定理.

對于幾何中的證明問題，初中生主要借助直觀思維和聯(lián)想思維來處理，比如說要證明兩條邊相等，可能就會在圖形中尋找有沒有兩個三角形看起來全等，如果感覺圖形不夠完整，還會考慮添加輔助線構(gòu)造新的圖形.而高中生則因?yàn)閷W(xué)習(xí)了正余弦定理，對幾何圖形中邊與角的數(shù)量條件會有更多的關(guān)注，意圖從代數(shù)的角度將邊或角表達(dá)出來.

對于幾何中的計算問題，初中生往往只能借助于直角三角形的勾股定理、相似三角形以及旋轉(zhuǎn)三角形的性質(zhì)，注重利用圖形的特殊性來解決問題.而高中生則習(xí)慣于借助正余弦定理通過代數(shù)（方程）的思想來表達(dá)和計算，不再過度考慮圖形條件是否特殊.從數(shù)學(xué)的思想方法層面來看，初中的解法往往基于特殊條件下利用特殊的定理和性質(zhì)來解決問題，而高中的解法則更加注重利用通性通法去解決問題，當(dāng)然初高中的解法差異主要是由于學(xué)習(xí)的內(nèi)容層次不一樣和學(xué)生的思維水平不一樣決定的.

3.2 中學(xué)數(shù)學(xué)教師在幾何部分知識的教學(xué)中應(yīng)著眼于學(xué)生的思維發(fā)展.

對于初中數(shù)學(xué)教師來說，部分優(yōu)秀的初中生到了初三特別是中考復(fù)習(xí)時對初中幾何的解題方法應(yīng)該是非常熟悉了，反復(fù)加以訓(xùn)練固然可以提升解題的速度，但對于學(xué)生的思維水平來說并沒有得到提高，學(xué)習(xí)的興趣和好奇心也得不到激發(fā)，同時還浪費(fèi)了寶貴的學(xué)習(xí)時間.筆者認(rèn)為可以考慮對少數(shù)優(yōu)生因材施教，將高中教材中的三角函數(shù)包括正余弦定理等知識提前講授或讓學(xué)生自學(xué).由于這部分高中知識與初中知識關(guān)聯(lián)度大，理解難度較小，學(xué)習(xí)所需時間較短，因此這些知識對于優(yōu)秀的初中生是可以接受的，并且可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思想得到較大程度的提高.而對于高中數(shù)學(xué)教師來說，也應(yīng)該注意到學(xué)生用慣了通過正余弦定理等高中方法來去處理幾何問題會產(chǎn)生思維定勢，結(jié)果碰到像前面提到的有些例題時會遭遇因變量復(fù)雜和計算繁瑣而難以為繼的窘境，因此在教學(xué)中應(yīng)打破高中生僵硬的思維定勢，有針對性地選取一些初高中方法都可以做出來的題目，讓學(xué)生意識到面對具備特殊條件的幾何問題，應(yīng)考慮嘗試應(yīng)用初中的幾何方法，完善學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)變能力.

參考文獻(xiàn)

[1] 鄧城.利用旋轉(zhuǎn)法妙解一類解三角形問題＼[J＼].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2019（7）：23-25.

作者簡介 鄧城（1983—），男，一級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)和研究工作.