樹狀圖在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的應(yīng)用

蘇丹

摘 要：樹狀圖是把分類單位擺在圖上樹枝頂部，根據(jù)分枝可以表示其相互關(guān)系，它可以既不重復(fù)又不遺漏地列舉出所有符合條件的對象。本文針對樹狀圖在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用進(jìn)行討論。

關(guān)鍵詞：樹狀圖;復(fù)合函數(shù);二元復(fù)合函數(shù);隱函數(shù);隱函數(shù)組;全微分;求導(dǎo)

【中圖分類號】G【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】B【文章編號】1008-1216（2019）09B-0098-03

數(shù)學(xué)分析課程中涵蓋了大量的基礎(chǔ)性概念知識，這會使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中感到抽象與枯燥，從而導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣下降，最終影響對學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用技能的培養(yǎng)。在教學(xué)過程中積極探索該課程的實(shí)踐性已成為近年來教學(xué)改革的熱點(diǎn)，目的在于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的興趣，提高課堂教學(xué)效果。本文主要針對樹狀圖在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行討論。

樹狀圖是不包含回路的連通圖，也叫樹枝狀圖。樹狀圖本身由結(jié)和連接結(jié)的枝組成。在日常事物關(guān)系中，樹狀圖的應(yīng)用情況是很多的。比如，封建時(shí)代的家譜或者族譜是用樹狀圖來代表的;河流的支流和分支也可用樹狀圖來表示;在學(xué)習(xí)概率問題時(shí)經(jīng)常需要畫樹狀圖，在概率統(tǒng)計(jì)這門課程中，樹狀圖起到了一種“模型”的作用，它可以清晰地看出元素的排列順序及層次，進(jìn)而準(zhǔn)確地計(jì)算出排列種數(shù)，使之不重復(fù)，不丟項(xiàng);同樣的，樹狀圖在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中也有比較重要的應(yīng)用，在進(jìn)行多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，多元復(fù)合函數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)，多元函數(shù)求全微分，隱函數(shù)和隱函數(shù)組求偏導(dǎo)數(shù)等運(yùn)算時(shí)，樹狀圖就發(fā)揮了可以不重復(fù)又不遺漏的特點(diǎn)，給我們解決問題提供了極大的便利。下面，從這四個(gè)方面分別闡述一下樹狀圖在數(shù)學(xué)分析教學(xué)過程中的應(yīng)用。

一、用樹狀圖在二元復(fù)合函數(shù)求一階偏導(dǎo)以及求全微分中的應(yīng)用

多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算與一元函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算比較起來，因?yàn)樽兞總€(gè)數(shù)增加，同時(shí)變量間也滿足一定的函數(shù)關(guān)系，所以處理起來一般比較復(fù)雜，它在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)過程中既是重點(diǎn)，同時(shí)也是難點(diǎn)。我們必須特別注意正確區(qū)分復(fù)合函數(shù)中哪些是自變量，哪些是中間變量，只有這樣才能正確使用鏈?zhǔn)椒▌t求出結(jié)果;其次，為了便于記憶鏈?zhǔn)椒▌t，可以按照各變量間的復(fù)合關(guān)系，畫出樹狀圖，并在每一條分支上標(biāo)出上一個(gè)變量關(guān)于下一個(gè)變量的求導(dǎo)關(guān)系，最后再按照同一路徑的不同分支之間用乘法運(yùn)算符號連接，不同路徑之間用加法運(yùn)算符號連接的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，就能得出最終的運(yùn)算結(jié)果。

下面通過二元復(fù)合函數(shù)的例子看怎么利用樹狀圖解決此類問題。

例1：設(shè) z=（x+y）^xy，求dz 。

解：本題是計(jì)算二元復(fù)合函數(shù)全微分的，那么我們首先要弄清楚求全微分和求偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而再解決問題。

關(guān)于二元復(fù)合函數(shù)如何求全微分，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了如下定理：

若二元函數(shù)z在其定義域D內(nèi)每一點(diǎn)（ ）都可微，則z在每一點(diǎn)關(guān)于每個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)都存在，且z在D上全微分為dz（x，y）=z_x（x，y）dx+z_y（x，y）dy

觀察求解全微分的公式，可以看出要想計(jì)算dz，首先要先計(jì)算出zx和zy，也就是說求全微分的本質(zhì)就是計(jì)算二元復(fù)合函數(shù)關(guān)于其所有自變量的一階偏導(dǎo)數(shù)。那么在計(jì)算之前要先判斷變量與變量之間的關(guān)系，哪些是中間變量，哪些是最終自變量。

為了更容易理解，在這里的處理方法有一定技巧，可以先令，則z=uv，從這里可以看出來引入的u和v是中間變量，而x和y是最終自變量，接著就可以用畫出樹狀圖1表示求導(dǎo)關(guān)系。首先，從因變量z向中間變量u，v畫出兩個(gè)分枝，然后再分別從中間變量u，v向自變量x，y畫出分枝，并在每個(gè)分支旁寫上對應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)，求zx時(shí)，只要把從z到x的每條路徑上的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)相乘，然后再將這些乘積相加即得，同理可以求出 。下面列出算式：

根據(jù)樹狀圖1，結(jié)合運(yùn)算法則，得到則

注：在處理這種題型時(shí)，我們也可以利用多元函數(shù)的一階全微分形式不變性的知識點(diǎn)來求全微分，利用微分形式的不變性，可以有條理地計(jì)算復(fù)雜函數(shù)的全微分。但是本文著重點(diǎn)在于介紹樹狀圖的方法，利用不變性的這種方法就不再贅述了。

二、用樹狀圖在二元復(fù)合函數(shù)求二階偏導(dǎo)中的應(yīng)用

眾所周知，多元復(fù)合函數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)往往會出現(xiàn)各種各樣的問題：比如不能正確使用公式，少項(xiàng)、多項(xiàng)等，特別是函數(shù)關(guān)系是抽象的函數(shù)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)具體表達(dá)式不清楚，學(xué)生在學(xué)習(xí)和解決這部分題目時(shí)往往無從下手，所以更容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。分析其錯(cuò)誤時(shí)，不難發(fā)現(xiàn)主要在對一階偏導(dǎo)再求導(dǎo)這一步上，沒有弄清楚一階偏導(dǎo)函數(shù)仍然是以原來的中間變量為中間變量，原來的自變量為自變量的函數(shù)，因而不能很好利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，如果利用樹狀圖就可以避免出現(xiàn)這類錯(cuò)誤。因?yàn)闃錉顖D可以清晰地表示出每上一個(gè)變量與下一個(gè)變量的關(guān)系，從而做到不漏項(xiàng)、不多項(xiàng)，所以在解決計(jì)算多元復(fù)合函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)的問題時(shí)，可以優(yōu)先考慮畫出樹狀圖，進(jìn)行計(jì)算，會使問題簡化很多。

下面通過例題來說明。

例2. 設(shè)

解：通過觀察題意可知，這里z是以x，y為自變量的復(fù)合函數(shù)，而且這里函數(shù)f的形式是抽象函數(shù)而不是具體函數(shù)，要想解決此類問題，可以把函數(shù)表達(dá)式改寫成如下形式： 然后再進(jìn)行計(jì)算，可以先計(jì)算，其中引入的變量u，v為中間變量，變量x，y為最終自變量。接下來可以首先從因變量z向中間變量u，v畫出兩個(gè)分枝，然后再從中間變量u向自變量x畫出分枝，同時(shí)從中間變量v向自變量x，y畫出分枝，并在每個(gè)分支旁寫上對應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)，求 時(shí)，只要把從z到x的每條路徑上的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)相乘，然后再將這些乘積相加即得，同理可以求出 。下面列出算式：

借助于樹狀圖4表示求導(dǎo)關(guān)系：

所以有

注意：這里，仍然是以u，v為中間變量的復(fù)合函數(shù)，所以接下來可以首先從因變量向中間變量u，v畫出兩個(gè)分枝，然后再從中間變量u向自變量x畫出分枝，同時(shí)從中間變量v向自變量x，y畫出分枝，并在每個(gè)分支旁寫上對應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)。另外從因變量向中間變量u，v畫出兩個(gè)分枝，然后再從中間變量u向自變量x畫出分枝，同時(shí)從中間變量v向自變量x，y畫出分枝，并在每個(gè)分支旁寫上對應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)，最后利用用樹狀圖3和樹狀圖4，求。

首先有

其中可由樹狀圖3求得：

所以得到

同理也可以求? 。

注意：用樹狀圖進(jìn)行多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，不要求解釋具體的關(guān)系，只是借用樹狀圖的結(jié)構(gòu)，將多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)形象化，避免多項(xiàng)，漏項(xiàng)。

三、用樹狀圖在隱函數(shù)和隱函數(shù)組求導(dǎo)中的應(yīng)用

在一般情況下，我們在用隱函數(shù)的知識解決問題時(shí)，主要考慮隱函數(shù)的連續(xù)性和可微性，而不管它是否能用顯式表示。同樣，對于隱函數(shù)組，我們在進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，更重要的先明確哪些變量是自變量，哪些變量是因變量，然后再進(jìn)行有關(guān)的運(yùn)算和討論。這些特點(diǎn)，都為能采用樹狀圖去解決隱函數(shù)和隱函數(shù)組求導(dǎo)問題提供了便利。

另外，對于隱函數(shù)或者隱函數(shù)組的函數(shù)表達(dá)式是具體函數(shù)時(shí)，一般不采用樹狀圖，而是直接利用公式或者直接對式子本身去求導(dǎo)即可，而對于隱函數(shù)和隱函數(shù)組的具體函數(shù)表達(dá)式不具體時(shí)，樹狀圖的應(yīng)用就凸顯了優(yōu)勢，當(dāng)然在這里更重要的是要找到變量與變量間的關(guān)系，畫出樹狀圖。下面主要通過隱函數(shù)組的例子來具體說明一下：

例3. 設(shè)函數(shù)f（x，y），g（x，y）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而u=u（x，y）v=v（x，y）是由方程組確定的隱函數(shù)組，試求和。

解：分析題意，我們可以直接利用公式求出和，另外從題目中的方程組可以看出，給出的的兩個(gè)方程都不是具體的函數(shù)表達(dá)式，那么在這里就可以嘗試用樹狀圖來解決問題。

首先，構(gòu)造出F（x，y，u，v）和G（x，y，u，v），這個(gè)由題目中的兩個(gè)方程很容易實(shí)現(xiàn)，

設(shè)

則對此方程組中的F（x，y，u，v）=u-f （ux，v+y）=0，令ω=ux，h=v+y，另外對此方程組中的G（x，y，u，v）=g （u-x，v2y）=0，令m=u-x，n=v2y，由此可看出ω，h，m，n，u，v都是中間變量，而x，y是最終自變量。

我們可以從變量f向中間變量ω，h畫出兩個(gè)分枝，然后再從變量ω向變量u，x畫出兩個(gè)分枝，變量h向v，y畫出兩個(gè)分枝，最后分別從變量u，v分別向自變量x，y畫出分枝，并在每個(gè)分支旁寫上對應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)。另外從變量g向中間變量m，n畫出兩個(gè)分枝，然后再從變量m向變量u，x畫出兩個(gè)分枝，變量n向v，y畫出兩個(gè)分枝，最后分別從變量u，v分別向自變量x，y畫出分枝，并在每個(gè)分支旁寫上對應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)。就得到了樹狀圖如下：

對F（x，y，u，v）=u-f （ux，v+y）=0和 G（x，y，u，v）=g （u-x，v2y）=0方程兩端分別關(guān)于x求偏導(dǎo)，直接根據(jù)樹狀圖5和樹狀圖6，可得到

解此方程組，可得

同樣的方法，我們也可以計(jì)算出和。

注：樹狀圖在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中引用，具有清晰，直觀，形象，各變量不易重復(fù)與遺漏等優(yōu)點(diǎn)，特別是函數(shù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜和函數(shù)關(guān)系抽象的函數(shù)，引用樹狀圖求二元復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)，高階偏導(dǎo)，全微分，隱函數(shù)和隱函數(shù)組求導(dǎo)時(shí)可避免很多困難 。

總之，用樹狀圖去解決數(shù)學(xué)分析中關(guān)于多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題，不僅可以使問題變得形象化，使枯燥的數(shù)學(xué)理論變得生動有趣起來;而且在課堂教學(xué)中可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生在課堂中能積極地思考問題，同時(shí)展開熱烈的討論，進(jìn)而極大地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。今后在進(jìn)行數(shù)學(xué)分析的課堂教學(xué)實(shí)踐中，要學(xué)會把理論問題形象化，圖像化，實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的和諧統(tǒng)一。

課題項(xiàng)目：湛江幼兒師范?？茖W(xué)校教育教學(xué)改革研究與實(shí)踐項(xiàng)目（2019ZYCQ18）.

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