基于單元定數(shù)截尾數(shù)據(jù)信息融合的串聯(lián)系統(tǒng)可靠性的貝葉斯分析

馬建軍　王立君

摘 要：為了解決小子樣成敗型串聯(lián)系統(tǒng)可靠性評估的問題，本文基于單元定數(shù)截尾數(shù)據(jù)，利用Monte-Carlo方法，提出了模擬先驗(yàn)分布的方法，給出了融合單元信息的成敗型串聯(lián)系統(tǒng)可靠性評估的貝葉斯方法。

關(guān)鍵詞：成敗型試驗(yàn);串聯(lián)系統(tǒng)可靠性;定數(shù)截尾數(shù)據(jù);貝葉斯估計(jì)

0 引言

在系統(tǒng)可靠性評估中，由于系統(tǒng)復(fù)雜、昂貴，獲得系統(tǒng)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)是很困難的。一些系統(tǒng)將單元集成之后，只能進(jìn)行成敗型的試驗(yàn)，如炮彈、導(dǎo)彈等一些軍工產(chǎn)品。在成敗型試驗(yàn)可靠性評估中，若樣本容量為n，失敗次數(shù)為f，置信水平為γ，可靠度的單側(cè)置信下限由下式計(jì)算

當(dāng)時(shí)，有，得，n為所需試驗(yàn)最少次數(shù)。成敗型試驗(yàn)中失敗次數(shù)為零時(shí)，當(dāng)，時(shí)，n=16，當(dāng)γ=0.90，時(shí)，n=22，當(dāng)γ=0.80，0.95時(shí)，n=32，當(dāng)γ=0.90，0.95時(shí)，n=45。

結(jié)果說明成敗型數(shù)據(jù)所包含的信息量少，需要進(jìn)行大量試驗(yàn)才能保證給定的置信水平。而且可靠性越高，試驗(yàn)樣品越多。若條件限制不允許進(jìn)行大量的試驗(yàn)，匯總各方面的信息進(jìn)行綜合評估的方法是評估系統(tǒng)可靠性的主流方法。

1 指數(shù)單元串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性

考慮由多個(gè)單元串聯(lián)構(gòu)成的系統(tǒng)，例如某型導(dǎo)彈可以按主要功能分為推進(jìn)單元、控制單元、毀傷單元等多個(gè)單元。根據(jù)已有的單元數(shù)據(jù)，可以獲得系統(tǒng)的可靠性先驗(yàn)信息。

假定系統(tǒng)由m個(gè)單元組成，每個(gè)單元的壽命服勻從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為

在t0時(shí)刻第i個(gè)單元的可靠度為

記m個(gè)單元串聯(lián)系統(tǒng)的壽命為，則～Exp（λ1+

λ2+λ3+…+λm），其中Exp（λ）表示參數(shù)為λ的指數(shù)分布。

假設(shè)對第i單元有ni次獨(dú)立觀測，其中有ki次失效，它們的失效時(shí)間記為，

則參數(shù)的極大似然估計(jì)（MLE）為

其中第i個(gè)單元的為總失效時(shí)間，。且有[1]

根據(jù)極大似然估計(jì)的不變性，m個(gè)單元串聯(lián)系統(tǒng)壽命分布參數(shù)λ的極大似然估計(jì)為。

若m單元定數(shù)截尾觀測都是獨(dú)立的，則有

（1）

則串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性的極大似然估計(jì)為。

2 系統(tǒng)可靠性的Bayes估計(jì)

假定m個(gè)單元組成串聯(lián)系統(tǒng)，單元壽命服從指數(shù)分布。如果需要評估在t0時(shí)刻的系統(tǒng)可靠性，只要利用先驗(yàn)信息估確定先驗(yàn)分布中參數(shù)a，b即可。在這一節(jié)中，在給定試驗(yàn)數(shù)據(jù)下，利用Monte-Carlo方法來估計(jì)參數(shù)。

在給定數(shù)據(jù)時(shí)，可以認(rèn)為。此處用到了信仰推斷的思想，認(rèn)為參數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量。我們從分布中抽取隨機(jī)數(shù)，利用矩法估計(jì)參數(shù)。具體步驟如下：

（1）分別從分布中抽取一組隨機(jī)數(shù)，，;

（2）計(jì)算，;

（3）對于給定的時(shí)刻t0，將代入下式計(jì)算Rs（t0），

（4）計(jì)算Rs（t0）的均值與方差

（5）估計(jì)參數(shù)，利用貝塔分布數(shù)學(xué)期望與方差的公式[2]

可以得到參數(shù)的估計(jì)為

3 可靠性的Bayes可信下限

假定系統(tǒng)可靠性的先驗(yàn)分布為貝塔分布，記為，密度函數(shù)為

其中a和b為驗(yàn)前超參數(shù)，，。

若成敗型系統(tǒng)進(jìn)行了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，試驗(yàn)中成功x次，則系統(tǒng)可靠性的后驗(yàn)分布為，

其后驗(yàn)均值與后驗(yàn)方差分別為[3]

根據(jù)BAYES準(zhǔn)則[4]得到可靠性的點(diǎn)估計(jì)為

給定可信度為γ，系統(tǒng)可靠性的可信下限是分布的上γ分位數(shù)，即

4 實(shí)例分析

某型號(hào)系統(tǒng)由三個(gè)單元串聯(lián)構(gòu)成。歷史數(shù)據(jù)對單元一的壽命共有160次觀測，在5年內(nèi)共有40個(gè)觀測失效，失效時(shí)間記錄為：0.1，0.1，0.2 ，0.4 ，0.4，0.7，0.8，0.8，1.1，1.2，1.2，1.4，1.4，1.4，1.4，1.9，2.1，2.1，2.3，2.7，2.9，2.9，3.0，3.1，3.2，3.3 3.6 ，3.7，3.8，4.0，4.2，4.3，4.4，4.5，4.6，4.6，4.7，4.7，4.9。對單元二進(jìn)行了120次獨(dú)立觀測，在4年內(nèi)共有26個(gè)觀測失效，失效時(shí)間記錄為0.1，0.1，0.2，0.2，0.7，1.0，1.1，1.2，1.2，1.4，1.7，2.2，2.2，2.3，2.4，2.5，2.5，2.6，2.7，2.7，2.8，3.2，3.3，3.6，3.7，3.8。對單元三進(jìn)行了90次獨(dú)立觀測，在2年內(nèi)共有8個(gè)觀測失效，失效時(shí)間記錄為0.1，0.1，0.4，0.7，1.2，1.6，1.7，1.9。

下表中的符號(hào)：t0系統(tǒng)工作時(shí)間;，系統(tǒng)先驗(yàn)分布的參數(shù);n試驗(yàn)的次數(shù)，x表示n次試驗(yàn)中成功的次數(shù);表示系統(tǒng)可靠性的Bayes點(diǎn)估計(jì)，1-α表示可信度，RL表示可信度為Bayes可信下限，在這里可信度均取0.9。

5 結(jié)論

Bayes方法是系統(tǒng)可靠性小子樣評估的有效方法，由于單元壽命分布數(shù)據(jù)容易獲得，所以本文提出的方法是一種行之有效的評估方法，并且本文提出的方法可以由單元壽命數(shù)據(jù)確定任意時(shí)點(diǎn)的系統(tǒng)可靠性的先驗(yàn)分布。

參考文獻(xiàn)：

[1]蔡洪，張士峰，張金槐.Bayes試驗(yàn)分析與評估[M].國防科技大學(xué)出版社，2004.9：285-339

[2]張國志，楊光，鞏英海.復(fù)雜系統(tǒng)可靠性分析[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009.7：1-6，92-105

[3]金星，洪延姬.系統(tǒng)可靠性評定方法[M].國防工業(yè)出版社，2005.6：1-5，106-121.

[4]Pandey M， Upadhyay SK.Bayes estimation of reliability in stress - strength model of Weibull distribution with equal seale parameters [J]. Microelection Reliability， 1986，26 （2）：275-278.