圓弧刀廓加工螺旋錐齒輪的全齒面分區(qū)修形

陳義忠，嚴(yán)宏志，艾伍軼，鄧 辰，伊偉彬

（1.中南大學(xué) 高性能復(fù)雜制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙 410012；2.中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，長沙 410012；3.中南大學(xué) 輕鋁合金學(xué)院，長沙 410012）

0 引言

刀具修形是一種高效、簡便的齒面修形方法。常見的刀廓修形有：直線刀廓、拋物線刀廓和圓弧刀廓。圓弧刀廓的刀具在展成齒面時(shí)，齒廓方向修形量增大，可有效避免在輪齒根部和頂部處形成的邊緣接觸[1]。但圓弧刀廓在齒根和齒頂處修形會(huì)產(chǎn)生失配[2]，導(dǎo)致傳動(dòng)誤差幅值增大。針對存在的這個(gè)問題，需要對圓弧刀廓修形的齒面進(jìn)行近一步修形優(yōu)化。

國內(nèi)外學(xué)者對齒面修形做出了許多研究。蘇進(jìn)展[3,4]提出基于Ease-off的弧齒錐齒輪齒面修形優(yōu)化方法，沿接觸跡和嚙合線對小輪齒面進(jìn)行雙向修形，并獲得目標(biāo)齒面；王會(huì)良[5]將齒面劃分為9個(gè)區(qū)，提出了斜齒輪沿齒長和齒廓方向上的拓?fù)湫扌蟹椒?，建立了修形齒面；聶少武[6]研究了圓弧刀廓修形對齒面形狀的影響，并得出合理的圓弧刀廓半徑可降低邊緣接觸；STADTFELD[7]設(shè)計(jì)了4段刀廓新刀具，可提高擺線錐齒輪的嚙合性能；方宗德[8]提出基于齒面曲率修正方法的高階傳動(dòng)誤差設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)出高重合度弧齒錐齒輪，改善了齒輪副的嚙合平穩(wěn)性；唐進(jìn)元[9]基于主動(dòng)設(shè)計(jì)方法，由局部綜合法求得滿足預(yù)設(shè)定傳遞誤差曲線且容差性較好的一組小輪加工調(diào)整參數(shù)。

本文研究了圓弧刀廓加工小輪齒面的全齒面分區(qū)修形，主要包括：首先利用圓弧刀廓將小輪齒根、齒頂處劃分為兩個(gè)區(qū)域，其次基于多段拋物線分區(qū)修形將齒面主要工作部分劃分為大端、中間區(qū)域和小端；然后根據(jù)預(yù)設(shè)的接觸跡線夾角和分區(qū)修形參數(shù)，對圓弧刀廓加工后的齒面重新設(shè)計(jì)，以獲得滿足預(yù)設(shè)性能的目標(biāo)齒面。最后反求出一組優(yōu)化后的小輪機(jī)床加工參數(shù)，并通過加載接觸分析方法驗(yàn)證了全齒面分區(qū)修形優(yōu)方法的有效性。

1 雙重螺旋法加工螺旋錐齒輪副建模

1.1 圓弧刀廓齒面數(shù)學(xué)模型

本文只對雙重螺旋法加工、圓弧刀修形的小輪齒面建模，大輪采用直線刀廓成形法[10]。

如圖1(a)所示，a部分為刀廓的主要切削部分，圓弧半徑為R1；b部分為刀廓展成齒根圓角部分，圓弧半徑為ρ。坐標(biāo)系σ1'={OO1；i’，j，k}與小輪刀盤固連，Oo1為刀盤中心，坐標(biāo)軸k為刀盤軸線。M1、M2為小輪工作面、非工作面參考點(diǎn)，S01為沿參考點(diǎn)處切線從齒根到M2點(diǎn)的距離，S1為沿參考點(diǎn)處切線從齒頂?shù)組2點(diǎn)的距離，α1為刀具齒形角，W1為刀頂距，刀盤半徑為rt1（外刀半徑為r1c，內(nèi)刀半徑為r1d）。圖1(b)、(c)分別為小輪內(nèi)、外刀產(chǎn)形面示意圖，其中I表示刀傾角，θ1為刀盤相位角。

圖1 小輪圓弧刀廓及其產(chǎn)形面

刀尖半徑可由下式計(jì)算：

將a部分的產(chǎn)形面以矢量形式表示為：

式中的雙符號，上面的符號對應(yīng)外刀（工作面），下面的符號對應(yīng)內(nèi)刀（非工作面）。由式(2)可得到產(chǎn)形面的法矢為：

如圖2所示，建立坐標(biāo)系σ1={O'；i1，j1，k1}，其中，O'是機(jī)床中心，i1-j1平面為機(jī)床平面同，O1為小輪設(shè)計(jì)交叉點(diǎn)，Z1為徑向刀位；q1為角向刀位；XB1為床位；X1為軸向輪位；E1為垂直輪位；I為刀傾角，J為刀轉(zhuǎn)角；δM1為小輪輪坯安裝角。產(chǎn)形輪的軸向與k1軸所在直線的方向相同，故單位矢量以k1=[0 0 1]T表示。

圖2 小輪加工坐標(biāo)系

將小輪產(chǎn)形面方程位置矢量表示在機(jī)床坐標(biāo)系σ1中：

其中，MO1O'、Mdz、Mdq為中間坐標(biāo)系變換矩陣[11]；LO1O'、Ldz、Ldq分別對應(yīng)變換矩陣的三階主子式。

則小輪交叉點(diǎn)O1到機(jī)床中心O'的矢量可表示為：

產(chǎn)形面與小輪齒面完全共軛，以小輪設(shè)計(jì)交叉點(diǎn)為原點(diǎn)，則小輪齒面上任一點(diǎn)的位置矢量可表示為：

1.2 齒輪副三維模型的建立

以1對準(zhǔn)雙曲面齒輪副為研究對象，大、小輪基本參數(shù)及加工參數(shù)如表1、表2所示。將求解所得的大、小輪齒面空間坐標(biāo)點(diǎn)導(dǎo)入Pro/E中，得到大、小輪齒面。根據(jù)設(shè)計(jì)要求將大、小輪進(jìn)行安裝，得到螺旋錐齒輪副三維模型，如圖3所示。

表1 齒輪副基本參數(shù)

表2 齒輪副加工參數(shù)

圖3 齒輪副三維模型

2 全齒面分區(qū)修形方法研究

本文提出的全齒面分區(qū)修形是將圓弧刀廓修形和主動(dòng)設(shè)計(jì)相結(jié)合的方法，將整個(gè)齒面劃分成五個(gè)區(qū)，既可有效避免在輪齒根部和頂部處形成的邊緣接觸，又起到對齒面沿齒長方向、齒廓方向和對角方向全方位的預(yù)控修形。

圖4為小輪修形區(qū)域示意圖，其中①為中間區(qū)，利用多段拋物線沿齒面嚙合線修形，通過預(yù)控接觸跡線方向、接觸橢圓長半軸長度、傳動(dòng)誤差對該區(qū)域進(jìn)行齒面拓?fù)鋬?yōu)化；②、③為利用圓弧刀廓分別對小輪齒面的齒根、齒頂進(jìn)行修形的區(qū)域。④、⑤為利用多段拋物線分區(qū)修形分別對小輪齒面大端、小端進(jìn)行修形的區(qū)域。

2.1 齒面嚙合性能主動(dòng)設(shè)計(jì)

預(yù)設(shè)大輪傳動(dòng)誤差曲線和接觸區(qū)參數(shù)，可求出與大輪完全共軛的小輪齒面。完全共軛齒面[12]相當(dāng)于分區(qū)修形過程中的基準(zhǔn)平面，然后在其基礎(chǔ)上修形可以得到滿足預(yù)設(shè)性能的小輪目標(biāo)齒面。

如圖5所示，橫坐標(biāo)φ1為小輪轉(zhuǎn)角，縱坐標(biāo)δφ2為大輪傳動(dòng)誤差，b和b'為齒對間傳動(dòng)過程中的嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)。2π/z1為單個(gè)嚙合周期轉(zhuǎn)角；z1是小輪齒數(shù)，δT1為轉(zhuǎn)換點(diǎn)的傳動(dòng)誤差。

圖5 預(yù)設(shè)傳動(dòng)誤差曲線

傳動(dòng)誤差曲線可表示為：

接觸區(qū)的大小、位置直接影響齒輪副的嚙合性能。如圖6所示，M為齒面參考點(diǎn)，虛線區(qū)域?yàn)榻佑|區(qū)，接觸跡線與節(jié)錐線的夾角用η表示，接觸橢圓長半軸長度用a表示。

圖6 接觸跡線示意圖

2.2 多段拋物線分區(qū)主動(dòng)設(shè)計(jì)

多段拋物線分區(qū)主動(dòng)設(shè)計(jì)為沿嚙合線方向上的修形。如圖7所示，以嚙合線所在的直線為x軸，以接觸跡線IJ與嚙合線的交點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過M點(diǎn)垂直于嚙合線的直線為y軸，建立oxy坐標(biāo)系。

圖7 多段拋物線分區(qū)修形示意圖

其中ABCD表示完全共軛齒面，A'B'C'D'為修形后的目標(biāo)齒面。多段拋物線分區(qū)將齒面分為三個(gè)區(qū)域：大端、小端和中間區(qū)；在中間區(qū)域內(nèi)（EFGH）沿拋物線Ⅰ進(jìn)行修形，在小端區(qū)域內(nèi)（ABEH）沿拋物線Ⅱ進(jìn)行修形，在大端區(qū)域內(nèi)（CDGF）沿拋物線Ⅲ進(jìn)行修形。在oxy坐標(biāo)系中，x3表示小端最遠(yuǎn)齒面點(diǎn)，x4表示大端最遠(yuǎn)齒面點(diǎn)，x1x2表示齒面接觸區(qū)橫向長度，d1、d2分別表示小端、大端最大修形量。

沿嚙合線方向的齒面法向修形量可表示為：

其中ζ為彈性變形量，一般取為0.00635mm[13]，k為齒面不同的修形區(qū)域，m為修形曲線系數(shù)；Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ段修形曲線可根據(jù)不同的修形要求，通過預(yù)控大端、小端的最大修形量d2、d1，反求出不同的修形系數(shù)m值來實(shí)現(xiàn)。

另外，要保證修形齒面連續(xù)可導(dǎo)，還應(yīng)該滿足：

3 算例分析

3.1 預(yù)設(shè)參數(shù)

將圓弧刀廓修形的小輪齒面定義為原始組，將全齒面分區(qū)修形的小輪齒面定義為優(yōu)化組，加工參數(shù)如表2所示。對原始組齒面進(jìn)行接觸分析，得到原始組接觸跡夾角。優(yōu)化組接觸跡線夾角大小和分區(qū)修形預(yù)設(shè)參數(shù)如表3、表4所示。

表3 齒面接觸跡夾角η

表4 優(yōu)化組分區(qū)修形參數(shù)

在表4中，其中δT1單位為秒（″），其余單位為毫米（mm）。

3.2 全齒面分區(qū)修形目標(biāo)齒面

原始組ease-off圖如圖8和圖9所示，優(yōu)化組齒面ease-off圖如圖10、圖11所示。

圖8 原始組的齒面（工作面）

圖9 原始組的齒面（非工作面）

圖10 優(yōu)化組的目標(biāo)齒面（工作面）

圖11 優(yōu)化組的目標(biāo)齒面（非工作面）

3.3 加工參數(shù)反求

對比目標(biāo)齒面與原始組的齒面，可得兩齒面間的法向偏差。而齒面法向偏差與加工參數(shù)改變量的關(guān)系如下式所示[14]，此方程為超靜定非線性方程組，運(yùn)用最小二乘法，求得對應(yīng)的機(jī)床加工參數(shù)調(diào)整量，從而得到最終的機(jī)床加工參數(shù)。

其中，δφk為加工參數(shù)調(diào)整量，Skm為機(jī)床加工參數(shù)對齒面點(diǎn)的敏感系數(shù)，δdm為齒面法向偏差。

基于以上所述，可得優(yōu)化組對應(yīng)的機(jī)床加工參數(shù)如表5所示。

表5 優(yōu)化組機(jī)床加工參數(shù)

續(xù)（表5）

4 有限元加載分析（LTCA）

4.1 重合度分析

重合度是影響齒輪傳動(dòng)嚙合性能的主要因素，是判斷齒輪傳動(dòng)連續(xù)性及傳遞載荷均勻性的關(guān)鍵指標(biāo)[15]。重合度是指小輪單齒從進(jìn)入嚙合到退出嚙合所轉(zhuǎn)過的角度Tc與Tz的比值。因此，齒面重合度可以表示為：

其中，Tz是小輪的嚙合周期，為圖5中小輪從b點(diǎn)到b'點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度。

在齒輪副動(dòng)態(tài)嚙合過程中，小輪旋轉(zhuǎn)的角度與小輪齒面瞬時(shí)接觸應(yīng)力所對應(yīng)的時(shí)間是成正比的[16]。T表示某一單齒整個(gè)嚙合過程所經(jīng)歷的時(shí)間，T1表示上一單齒從開始嚙合到下一單齒進(jìn)入嚙合所經(jīng)歷的時(shí)間，故齒面重合度也可以表示為：

基于所求得優(yōu)化組與已知的原始組齒輪參數(shù)建立對應(yīng)的齒輪副模型，并導(dǎo)入abaqus進(jìn)行有限元仿真，其中齒輪材料都為16Cr3NiWMoVNbE。設(shè)置小輪轉(zhuǎn)速600r/min，大輪負(fù)載扭矩為600Nm，分別對兩組齒輪副進(jìn)行有限元?jiǎng)討B(tài)嚙合仿真，得到齒輪副嚙合過程中載荷對接觸力隨時(shí)間變化的分配圖，如圖12、圖13所示。

分析原始組第五齒的嚙合過程：圖12中第五齒進(jìn)入嚙合的時(shí)間為3.495s，完全退出嚙合的時(shí)間為3.710s，在3.626s時(shí)，第六齒開始進(jìn)入嚙合，可知其重合度為1.64；同理可知，優(yōu)化組的重合度為1.73，結(jié)果如表6所示。

圖12 原始組嚙合過程接觸力分配圖

圖13 優(yōu)化組嚙合過程接觸力分配圖

表6 兩組齒輪副的重合度比較

4.2 傳動(dòng)誤差分析

傳動(dòng)誤差曲線的波動(dòng)程度可反映出齒輪副在受載條件下的動(dòng)態(tài)性能，其波動(dòng)程度越小，振動(dòng)和噪聲越小，齒輪副傳動(dòng)越平穩(wěn)[17]。在abaqus仿真環(huán)境中可得到兩組齒輪副的傳動(dòng)誤差，如圖14和圖15所示。其中，P-P表示峰峰值，p-p表示單齒峰峰值。

圖14 原始組傳動(dòng)誤差

圖15 優(yōu)化組傳動(dòng)誤差

表7 傳動(dòng)誤差分析

分析圖14和圖15可得表7，可知：優(yōu)化組傳動(dòng)誤差的均值、P-P值和p-p值相對于原始組分別降低了7.4%、12.7%、18.15%。

4.3 齒面接觸應(yīng)力分析

對比分析圖16和圖17可知：原始組齒面間最大接觸應(yīng)力為1799MPa。優(yōu)化組齒面間最大接觸應(yīng)力為1776MPa。優(yōu)化組相對原始組齒面最大接觸應(yīng)力降低了1.3%。

圖16 原始組齒面嚙合區(qū)

圖17 優(yōu)化組齒面嚙合區(qū)

5 結(jié)語

1）基于雙重螺旋法的螺旋錐齒輪齒面創(chuàng)成原理，推導(dǎo)了圓弧刀廓加工小輪齒面模型；并將齒面劃分為五個(gè)區(qū)域，提出了全齒面分區(qū)修形的主動(dòng)控制方法。

2）通過預(yù)設(shè)接觸跡夾角和分區(qū)修形參數(shù)，求出了全齒面分區(qū)修形后的目標(biāo)齒面，并反求出優(yōu)化后的機(jī)床加工參數(shù)。

3）通過全齒面分區(qū)修形主動(dòng)設(shè)計(jì)，提高了齒面重合度，降低了齒輪副的傳動(dòng)誤差幅值、齒面最大應(yīng)力，彌補(bǔ)了由于圓弧刀廓修形失配引起的傳動(dòng)誤差的波動(dòng)，提高了齒輪副的運(yùn)行平穩(wěn)性。