有黏條件氣泡聲散射特性和衰減譜數(shù)值研究?

杜 娜 蘇明旭

(上海理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院 上海 200093)

0 引言

多相流中的顆粒粒度和濃度的測量問題廣泛應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)、環(huán)保工程、醫(yī)學(xué)研究等方面。氣泡的聲波散射特性和粒徑表征也一直受到學(xué)者們的高度關(guān)注。例如，Leighton等[1]通過實(shí)驗(yàn)研究了單個(gè)氣泡的頻率及聲壓特性；Wu等[2]采用多對(duì)不同頻率探頭分別延伸頻率范圍，將其拓展至多分散氣泡測量；蘭慶等[3]將理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)合研究了微泡型超聲造影劑對(duì)聲傳播衰減的影響。相較于光散射和圖像等方法，聲學(xué)法對(duì)于濃度較高條件下氣泡特性研究具有明顯的優(yōu)勢。

在聲學(xué)法氣泡散射理論方面，Minnaert[4]發(fā)現(xiàn)了球形氣泡的共振散射現(xiàn)象并給出了忽略氣泡表面張力和介質(zhì)的黏滯阻力影響時(shí)氣泡共振頻率公式；Azzi等[5]研究了單個(gè)氣泡的聲散射特性，并推導(dǎo)了散射截面的計(jì)算公式；Pauzin等[6]利用有限元分析軟件計(jì)算出水中微米級(jí)氣泡的共振散射現(xiàn)象。

不過，上述學(xué)者的理論模型中沒有將黏滯阻力因素考慮在內(nèi)，也沒有推演到多氣泡衰減問題。在對(duì)多相流中的氣泡顆粒濃度及粒度測量中，需要對(duì)介質(zhì)及顆粒的物理性質(zhì)有較全面的考慮，其中介質(zhì)的黏滯阻力對(duì)氣泡的聲散射特性影響不可忽略。故本文首先從理論上分析平面聲波入射條件下水中單個(gè)球形氣泡的聲散射及吸收特性，充分考慮介質(zhì)的黏性對(duì)聲波衰減的影響；進(jìn)一步拓展至多氣泡體系的聲衰減預(yù)測，分析影響多氣泡體系聲衰減的因素，通過理論模型的研究為聲衰減法氣泡粒度甄別和表征提供理論依據(jù)。

1 氣泡散射理論模型

單氣泡聲散射模型的建立，需要著重考慮聲波作用下氣泡對(duì)聲波的散射及吸收特性，散射截面σscatt、吸收截面σabs通常由多階散射常量級(jí)數(shù)求和給出，而消聲截面σext則直接由前二者之和給出[7]：

為便于計(jì)算及理論分析，本文采用了無量綱的量——散射系數(shù)Qscatt，其表達(dá)式為Qscatt=σscatt/πa2。類似定義消聲系數(shù)及吸收系數(shù)(a為氣泡半徑，l為諧波階數(shù)，k為聲傳播波數(shù))。散射函數(shù)Sl則由邊界壓力項(xiàng)、速度項(xiàng)及溫度場條件給出[7]：

其中，ρ為介質(zhì)密度分別為l階第一類貝塞爾函數(shù)和漢克爾函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。βl為包含壓力、速度及黏度項(xiàng)在內(nèi)的系數(shù)，計(jì)算中尤需注意復(fù)函數(shù)計(jì)算中的數(shù)據(jù)溢出問題[8]。

對(duì)于入射聲強(qiáng)為I0的平面聲波，在距離球坐標(biāo)系原點(diǎn)足夠遠(yuǎn)處(kr?1)的點(diǎn)(r,θ)處的聲散射強(qiáng)度I表示為[9]

其中，Pl、Pm分別為l、m階勒讓德級(jí)數(shù)，θ為散射角，上角標(biāo)?表示共軛復(fù)數(shù)。

對(duì)于體積濃度Cv(如氣泡在氣-水兩相體系中所占體積百分比)的多氣泡兩相體系中，可以進(jìn)一步結(jié)合Beer-Lambert定律[10]計(jì)算聲衰減系數(shù)α，經(jīng)推導(dǎo)后由式(6)給出，

此外，本文將采用Minnaert給出氣泡共振頻率經(jīng)典公式[4]，用于共振頻率的驗(yàn)證：

式(7)中，P表示靜壓；γ為氣體比熱容比，在絕熱條件下取γ=1.4；ρ即為氣泡周圍的介質(zhì)密度。

2 結(jié)果和討論

為研究水中氣泡聲學(xué)特性，表1給出了數(shù)值計(jì)算算例中用到氣液物性參數(shù)，溫度為20°C(溫度影響介質(zhì)及氣泡的物性參數(shù))。根據(jù)第1節(jié)介紹的計(jì)算方法在MATLAB環(huán)境下編寫程序，建立氣泡的聲散射計(jì)算模型。

表1 空氣、水的物性參數(shù)(20℃)Table1 Parameters of the medium and particle used in the numerical calculation

2.1 單氣泡聲散射特性

由前述及，氣泡散射是由無數(shù)次諧波的貢獻(xiàn)組成，數(shù)值上也隨諧波階數(shù)增加逐漸收斂。為確定單氣泡聲散射隨諧波階數(shù)l的變化，以無因次尺寸參量ka=5為例，設(shè)置不同諧波階數(shù)調(diào)試程序。圖1給出具有不同諧波階數(shù)的單氣泡散射強(qiáng)度分布，可以看出不同階諧波對(duì)聲散射的貢獻(xiàn)度，當(dāng)諧波階數(shù)依次遞增時(shí)，散射旁瓣數(shù)表現(xiàn)出先增加后減小的趨勢，散射強(qiáng)度分布逐步穩(wěn)定并表現(xiàn)為較強(qiáng)的前向散射(與選取的ka值有關(guān))。當(dāng)諧波階數(shù)增加到5時(shí)，結(jié)果已趨于穩(wěn)定，至階數(shù)為8～10時(shí)基本重合，為兼顧計(jì)算準(zhǔn)確性及效率，后文中按l=10計(jì)算。

圖1 單氣泡散射強(qiáng)度分布隨諧波階數(shù)的變化Fig.1 Scattering intensity distributions with different orders l

進(jìn)一步探究在有黏條件下單氣泡的聲散射特性，討論氣泡散射系數(shù)及吸收系數(shù)隨粒徑的分布規(guī)律及不同靜壓力及頻率下消聲系數(shù)的變化趨勢。圖2為聲波頻率f=5 MHz，氣泡半徑范圍為0.2～50 μm，在不同的靜壓力(0.1 MPa、0.6 MPa、1.5 MPa)下，散射系數(shù)及吸收系數(shù)隨氣泡半徑的變化?？梢钥闯?，在共振區(qū)，吸收系數(shù)的數(shù)值明顯大于散射系數(shù)，原因在于共振引起了聲能的劇烈耗散。在非共振區(qū)如氣泡粒徑較大時(shí)，吸收系數(shù)的量級(jí)與散射系數(shù)相比很小，表明黏性阻尼項(xiàng)的影響減小，而聲波的彈性散射效應(yīng)占了主導(dǎo)地位。

圖2 散射系數(shù)及吸收系數(shù)隨氣泡半徑變化Fig.2 Scattering and absorption coefficient as a function of bubble radius a

聲波在介質(zhì)中傳播時(shí)，其與顆粒、連續(xù)相介質(zhì)產(chǎn)生相互作用，從而強(qiáng)度隨著傳播距離的增加而逐漸減弱的現(xiàn)象稱為聲衰減[11-12]。在不考慮聲源本身的特性時(shí)，聲波傳播過程中的衰減僅考慮吸收衰減和散射衰減[13-15]，而消聲系數(shù)可用于表征由散射和吸收效應(yīng)引起的聲衰減特性。圖3給出了不同頻率和壓力條件下消聲系數(shù)的變化趨勢，可以看出，聲波頻率一定，隨靜壓力的增加，共振區(qū)間右移且消聲系數(shù)的峰值減小，這表明聲散射和吸收的總效應(yīng)減弱(結(jié)合圖2)，即聲波的衰減減小。在共振區(qū)右側(cè)，消聲系數(shù)數(shù)值上呈遞減趨勢。從圖3中還可以看出，靜壓力一定(0.1 MPa)、聲頻率0.5 MHz時(shí)消聲系數(shù)的峰值較5 MHz時(shí)峰值大，這表明此時(shí)共振區(qū)的衰減效應(yīng)更明顯。

圖3 不同壓力及頻率下消聲系數(shù)隨氣泡半徑變化Fig.3 Extinction coefficient as a function of a

為比較有黏條件與無黏條件下氣泡聲散射特性，圖4給出了單氣泡消聲系數(shù)及散射系數(shù)隨無因次尺寸參量ka的變化曲線(均按靜壓力為0.1 MPa計(jì)算)。從圖4中可以看出，與有黏條件相比，無黏條件下消聲系數(shù)表現(xiàn)為共振區(qū)更窄同時(shí)峰值更大。此外，在ka＜0.1時(shí)(共振區(qū))，吸收效應(yīng)占比較強(qiáng)，散射相對(duì)較弱，為散射吸收過渡區(qū)。而在ka＞0.1后，消聲系數(shù)與散射系數(shù)曲線幾乎重合，吸收效應(yīng)幾乎可以忽略，ka=0.1為區(qū)分純散射區(qū)與散射吸收過渡區(qū)的分界線。

圖4 消聲系數(shù)隨無因次尺寸參量ka變化Fig.4 Extinction coefficient as a function of ka

2.2 多氣泡體系聲衰減

將單氣泡的聲散射特性推廣至多氣泡體系聲衰減的預(yù)測，并與ECAH模型[16-18]進(jìn)行對(duì)比。ECAH模型首先由Epstein和Carhart提出，之后Allegra和Hawley發(fā)展了該模型，模型通過質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒定律，結(jié)合聲學(xué)、熱力學(xué)關(guān)系式獲得在彈性、各向同性、導(dǎo)熱顆粒和連續(xù)相介質(zhì)中的波動(dòng)方程，并在球坐標(biāo)下按照Bessel函數(shù)和球諧函數(shù)的級(jí)數(shù)展開求解波動(dòng)方程，在顆粒與介質(zhì)界面運(yùn)用邊界條件，獲得一個(gè)6階的線性方程組，求解此方程組即可得到與聲衰減有關(guān)的散射系數(shù)。如圖5所示，對(duì)于氣泡體積濃度Cv=1%，超聲頻率為1 MHz、0.5 MHz及0.1 MHz，將本文氣泡散射模型的計(jì)算結(jié)果與ECAH模型進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)，在氣泡半徑大于10μm(即對(duì)應(yīng)ka＞0.1時(shí))，兩種模型的計(jì)算結(jié)果吻合；反之，當(dāng)ka＜0.1時(shí)，即散射吸收過渡區(qū)，二者的計(jì)算結(jié)果存在一定偏差。原因在于ECAH模型建立的對(duì)象為液/固體顆粒聲衰減預(yù)測，在過渡區(qū)對(duì)于吸收效應(yīng)的考慮與本文氣泡散射模型有所偏差。表2給出了不同共振頻率時(shí)共振特征半徑的計(jì)算結(jié)果?？梢钥闯?，對(duì)于三種不同超聲頻率，ECAH模型計(jì)算得到的氣泡共振特征半徑最小，Minnaert經(jīng)典公式的計(jì)算結(jié)果最大，本文計(jì)算值則介于二者之間。

圖5 聲衰減在不同頻率時(shí)隨氣泡半徑的變化Fig.5 Attenuation as a function of bubble radius when frequency changes

表2 不同聲波共振頻率時(shí)氣泡半徑計(jì)算結(jié)果Table2 Value of bubble radius of different resonance frequency

圖6為氣泡半徑a=20μm，氣泡體積濃度Cv=1%時(shí)的聲衰減譜，當(dāng)剪切黏度的數(shù)值增加時(shí)，共振頻率保持不變，聲衰減的峰值在不斷的減小(20℃水中的剪切黏度的數(shù)值為0.001 N·s/m2)，且聲衰減譜逐漸展寬。結(jié)合圖4中的分析可知，當(dāng)無因次尺寸參量ka＞0.1時(shí)，剪切黏度對(duì)聲衰減譜的影響逐漸減小，故表現(xiàn)為不同黏度時(shí)的聲衰減譜曲線趨于一致。

圖6 不同剪切黏度下的聲衰減譜Fig.6 Attenuation as a function of frequency

圖7給出氣泡體積濃度Cv=1%，半徑a分別為30μm、50μm、80μm的聲衰減譜，計(jì)算結(jié)果在數(shù)值及趨勢上與ECAH模型保持一致?？梢钥闯?，隨著頻率的增大，或隨著氣泡半徑增加，聲衰減呈減小的趨勢(此時(shí)為非共振區(qū))。同時(shí)，圖7中還給出了氣泡半徑a=50μm、體積濃度Cv=2%時(shí)的聲衰減譜，可以看出，隨著體積濃度增加一倍，聲衰減呈正比例增加。

圖7 聲衰減隨頻率的變化Fig.7 Attenuation as a function of frequency

圖8是聲衰減隨氣泡體積濃度的變化，氣泡半徑a=50μm，頻率f分別為1 MHz、3 MHz、5 MHz。從圖8中可以看出，隨著體積濃度的增大，聲衰減增強(qiáng)，且接近線性變化(適用體積濃度較低)。隨聲波頻率增大，聲衰減呈減小的趨勢，ECAH模型在選取聲頻段和氣泡粒徑范圍內(nèi)與其完全吻合，不過相比較而言，本文中氣泡散射模型具有物理意義清晰、數(shù)值過程簡單、易于拓展的優(yōu)勢，并能在模型中直觀反映黏性的影響。

圖8 聲衰減隨濃度的變化Fig.8 Attenuation as a function of concentration

3 結(jié)論

本文研究了有黏條件下單氣泡的聲散射特性及對(duì)多氣泡的聲衰減進(jìn)行預(yù)測，通過理論模型的建立以及計(jì)算，得出以下結(jié)論：

(1)通過對(duì)單氣泡的聲散射特性分析可得隨著諧波階數(shù)改變，前向散射增加較為明顯且散射旁瓣數(shù)先增加后減小。靜壓力增加時(shí)共振區(qū)偏移、聲衰減減??；頻率較小時(shí)，共振區(qū)的聲衰減增強(qiáng)，ka=0.1成為純散射區(qū)與過渡區(qū)的分界線。

(2)在對(duì)多氣泡體系的聲衰減進(jìn)行預(yù)測中，濃度一定時(shí)，當(dāng)ka＞0.1時(shí)，氣泡散射模型的計(jì)算結(jié)果與ECAH模型吻合且剪切黏度影響聲衰減譜共振峰的展寬和幅值。在非共振區(qū)，聲衰減隨頻率的增加而減小，隨體積濃度遞增且在本文計(jì)算的濃度范圍內(nèi)呈線性分布。

本文的理論模型為氣泡聲衰減及氣泡粒度表征提供理論依據(jù)。同時(shí)，本文工作有助于后續(xù)將對(duì)多氣泡的理論模型進(jìn)行拓展以適用于更為復(fù)雜的混合顆粒兩相流體系。