冪函數遞減模型的建立、對比與應用

陳元千，傅禮兵

（中國石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083）

產量遞減法是預測油氣井、油氣藏和油氣田產量和可采儲量的重要方法。它的應用不受油氣藏的儲集類型、驅動類型、流體類型和開采方式的限制，只要進入了產量遞減階段，即可進行方法的選擇和有效的應用。Arps［1-2］于1945 年和1956 年提出了指數、雙曲線和調和三種經典遞減模型。其中指數遞減模型應用最為廣泛，而雙曲線遞減模型應用較少，調和遞減模型出現的概率很低。這主要與三種遞減模型的適用性和預測結果的可靠性有關。陳元千等于2015 年提出的線性遞減模型［3］，僅適用于壓裂后投產而產量遞減較快的致密性砂巖和頁巖的油氣井和油氣藏。陳元千等于2016 年建立的廣義遞減模型［4-5］，對注水開發(fā)油田的加密調整效果［6］、注聚合物溶液的三次采油效果［7］和重質原油熱力開采的效果［8-9］可以作出有效評價。對于致密、超致密的砂巖油氣藏和頁巖油氣井，若在經水力壓裂投產后，產量較低，遞減較快，可采用線性或指數遞減模型進行評價［10］。而對于投產后產量遞減較慢的頁巖水平氣井，可利用筆者建立的冪函數遞減模型，進行產氣量、累積產氣量和經濟可采儲量、采出程度和遞減率的預測。

1 冪函數遞減模型的建立

Pareto于1897年提出的負指數冪函數表達式［11］為:

由（1）式可以看出，當x=0 時，y趨于無窮大，這是該函數的一個特點，也是它的一個缺陷。為了將（1）式用于產量遞減，對（1）式作如下修正:

這樣，由（2）式可以看出，當x=0時，y=a，而不是無窮大。若將y改為產量q，x改為時間t，由（2）式得冪函數遞減的產量為:

由（3）式可以看出，當t=0 時，q=a，而a就是t=0時的初始理論產量qi。為了確定（3）式中常數a和b值，將該式取自然對數得:

由（4）式可以看出，q與（1+t）之間呈雙對數直線關系，故冪函數遞減又可稱為雙對數遞減。

已知累積產量與產量的關系為:

將（3）式代入（7）式，經積分后得冪函數遞減的累積產量為:

若經過經濟評價確定了經濟極限產量qEL后，那么，由（3）式可得與其相對應的經濟極限生產時間為:

將（9）式代入（8）式，得冪函數遞減的經濟可采儲量為:

由（8）式除以（10）式，得可采儲量的采出程度為:

由（3）式對時間求導得:

已知Arps定義的遞減率［1］為:

將（3）式和（13）式代入（12）式，得冪函數的遞減率與時間的關系式為:

由（14）式可以看出，冪函數遞減的遞減率隨時間的增加呈雙曲線降低，當t=0 時，D=Di=b，故由（14）式得:

2 不同遞減模型的對比

表1列出了按Arps遞減指數劃分的不同遞減模型:n=-1 時為線性遞減；n=0 時為指數遞減；0＜n＜1時為雙曲線遞減；n=1 時為調和遞減；1＜n≤2 而n=1/Di時為冪函數遞減。表1 中的無因次產量qD=q/qi，無因次遞減率DD=D/Di，無因次時間tD=Dit。

表1 不同遞減模型的n，D，DD，q和qD的對比Table1 Comparisons of n，D，DD，q and qD for different decline models

繪制不同遞減模型的無因次產量與無因次時間的典型曲線。由圖1 可看出，線性遞減（n=-1）的典型曲線處在最左邊，其次是指數遞減（n=0）的典型曲線，接著是雙曲線遞減（n=0.5）和調和遞減（n=1）的典型曲線，最右邊的是冪函數遞減（n=2）的典型曲線。利用實際生產的產量遞減數據與典型曲線擬合［12］，可以判斷遞減模型，確定遞減常數和評價可采儲量。

圖1 不同遞減模型無因次產量qD與無因次時間tD的關系Fig.1 Plot of qD and tD of different decline models

繪制不同遞減模型的無因次遞減率DD與無因次時間tD的關系曲線。由圖2 可以看出，不同遞減模型的遞減率隨時間變化的理論關系，冪函數遞減是遞減最慢的一種遞減模型。

圖2 不同遞減模型的無因次遞減率DD與無因次時間tD的關系Fig.2 Plot of DD and tD of different decline model

3 應用實例

美國賓夕法尼亞州阿巴拉琴盆地的Marcellus頁巖氣藏［13］，A 井和B 井兩口頁巖水平氣井投產后的生產數據繪于圖3。按照（4）式的關系，將兩口井的生產數據繪于雙對數坐標系統(tǒng)中，由圖4看出，在雙對數坐標系統(tǒng)中，兩口井的q與1+t具有很好的直線關系，經（4）式的線性回歸求得A 井的α=6.760 8，β=0.522 6，相關系數r=0.983 3；B 井的α=6.138 1，β=0.526 6，相關系數r=0.985 7。由（5）式和（6）式分別求得:A 井的a=863.33 和b=0.526 6；B 井的a=462.88和b=0.522 6。

圖3 A井和B井產量曲線Fig.3 Production curves of Well A and Well B

圖4 A井和B井的lnq與ln（1+t）的關系Fig.4 Plot of lnq vs.ln（1+t）of Well A and Well B

將兩口井的a和b值分別代入（3）式，得預測A井和B井的產量關系式分別為:

再將A 井和B 井的a和b值分別代入（6）式，得預測兩口井的累積產量關系式分別為:

最后，將兩口井的a，b和qEL值分別代入（11）式，得預測A井和B井的采出程度關系式分別為:

將兩口井的b值分別代入（11）式，得預測A 井和B井的遞減率的關系式分別為:

將（16）式和（17）式預測兩口井的產量數據繪于圖3。由圖3看出，預測結果與實際生產數據符合得較好。由（18）式和（19）式預測兩口井的累積產氣量繪于圖5。由圖5可以看出，預測結果與實際生產數據也符合得很好。由（20）式和（21）式預測兩口井的采出程度繪于圖6。由（22）式和（23）式預測兩口井的遞減率繪于圖7。由圖7看出，盡管兩口井的產氣量與可采儲量相差明顯，但遞減率曲線幾乎重合。

圖5 A井和B井的Gp與t的關系圖Fig.5 Plot of Gp vs.t of Well A and Well B

圖6 A井和B井的R與t的關系圖Fig.6 Plot of R vs.t of Well A and Well B

圖7 A井和B井的D與t的關系圖Fig.7 Plot of D vs.t of Well A and Well B

若設頁巖水平氣井生產的月經濟極限產量qEL=30×104m3/mon，將該值與兩口井的a和b值分別代入（10）式，可得A井和B井的經濟可采儲量分別為:

4 結論

通過對Pareto 于1897 年提出的負指數冪函數的修正和推導，建立了冪函數遞減模型。該遞減模型是對由Arps 提出的指數遞減、雙曲線遞減、調和遞減模型以及由陳元千提出的線性遞減模型所構成的遞減模型序列的重要補充和完善。Arps 提出的遞減指數n是判斷和劃分遞減模型的重要參數。遞減指數愈大，產量的遞減愈慢。線性遞減的n=-1，雙曲線遞減的0＜n＜1，調和遞減的n=1，冪函數遞減的1＜n≤2。因此，冪函數遞減是最慢的一種遞減模型，而且產量開始遞減得快，而后逐漸變慢。

實際工作經驗表明，利用Arps 的指數遞減和雙曲線遞減模型，以及陳元千的線性遞減模型，對于頁巖水平氣井的產量和可采儲量的預測，有時達不到比較可靠的結果。然而，利用筆者建立的冪函數遞減模型，對兩口頁巖水平氣井的產量、累積產量、經濟可采儲量和遞減率的預測，取得了比較滿意的結果。兩口井的遞減指數幾乎相同，接近于2，屬于遞減最慢的類型。預測兩口井的經濟可采儲量并不高，分別為3.554 3×108m3和1.083 7×108m3，這可能與兩口水平井的水平段較短有關。

符號解釋

y—冪函數的因變量；

x—冪函數的自變量；

q—氣井的產量，104m3/d或104m3/mon；

qi—氣井的初始理論產量（qi=a），104m3/d或104m3/mon；

qD—氣井的無因次產量，dim；

qEL—氣井的經濟極限產量，104m3/d或104m3/mon；

Gp—氣井的累積產量，104m3；

GR—氣井的經濟可采儲量，104m3；

t—生產時間，d或mon；

tD—無因次生產時間，dim；

tEL—經濟極限的生產時間，d或mon；

n—遞減指數，dim；

D—遞減率，d-1或mon-1；

Di—初始理論遞減率，d-1或mon-1；

DD—無因次遞減率，dim；

R—可采儲量的采出程度，frac；

a和b—冪函數遞減方程的常數；

α和β—冪函數遞減雙對數直線的截距和斜率。