基于廣義奇異值分解的圖像去噪算法

楊 潔， 魏平俊， 張旭初

(1. 中原工學(xué)院 電子信息學(xué)院， 河南 鄭州 450007；2. 武警河南省總隊(duì) 信息通信處， 河南 鄭州 450018)

噪聲會(huì)導(dǎo)致圖像質(zhì)量的下降，不利于對(duì)圖像信息的解釋。因此，圖像去噪技術(shù)早已成為圖像處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，相關(guān)學(xué)者提出了多種圖像去噪算法。例如，JAIN等將一種卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于圖像去噪[1]；許麗、劉波和熊新兵等提出了利用奇異值分解技術(shù)去除圖像噪聲的方法[2-4]；張?chǎng)┑忍岢隽朔蔷植孔韵嗨菩缘膱D像去噪算法[5]；閔莉花等提出了基于偏微分方程的圖像去噪算法[6]；王紅宇等提出了基于中值濾波的圖像去噪算法[7]。上述圖像去噪算法雖然都能在一定程度上達(dá)到降噪的目的，但是降噪對(duì)象都是經(jīng)典的二階數(shù)組，屬于經(jīng)典的低階圖像，均未涉及高維空間信息。為了進(jìn)一步提高高階圖像的去噪質(zhì)量，本文提出一種基于廣義奇異值分解的圖像去噪算法，擬首先對(duì)原圖像添加椒鹽噪聲，其次對(duì)含噪圖像進(jìn)行鄰域變換，使其成為高階含噪圖像[8-10]，然后通過(guò)Matlab編程求解峰值信噪比，最后比較本文去噪算法與傳統(tǒng)奇異值分解技術(shù)的圖像去噪效果。

1 廣義奇異值去噪方法

1.1 矩陣奇異值分解

奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)是一種重要的矩陣分解技術(shù)，它以對(duì)稱的方式處理矩陣的行和列，并對(duì)信息進(jìn)行“排序”，在數(shù)據(jù)挖掘和其他方面都有重要作用[11-12]。傳統(tǒng)SVD是利用A=U×S×VT進(jìn)行分解的，分解對(duì)象為經(jīng)典二階矩陣。

由文獻(xiàn)[3]可知，假設(shè)A是一個(gè)m×n階矩陣，其中的元素全部屬于域K，也就是實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域，則存在一個(gè)分解，使得

A=U×S×VT

(1)

式中：U是m×m階酉矩陣；S是半正定m×n階對(duì)角矩陣；V是n×n階酉矩陣。這樣的分解就稱作A的奇異值分解。S對(duì)角線上的元素Si即為A的奇異值，且按從大到小的順序排列。

1.2 廣義奇異值分解

為得到更好的圖像去噪效果，本文充分利用圖像的高階信息，在傳統(tǒng)奇異值分解的基礎(chǔ)上，提出一種基于廣義奇異值分解(Tensorial Singular Value Decomposition，TSVD)的圖像去噪算法。該算法主要通過(guò)鄰域選取法對(duì)傳統(tǒng)矩陣進(jìn)行擴(kuò)展，使其成為高階廣義矩陣，以達(dá)到圖像去噪的目的。

假設(shè)存在一個(gè)廣義矩陣Xt∈CD1×D2，滿足：

(2)

相比于傳統(tǒng)SVD分解，TSVD分解的優(yōu)勢(shì)在于：分解對(duì)象可以是三階、四階甚至更高階數(shù)組，而不僅限于傳統(tǒng)矩陣。其具體方法可參照文獻(xiàn)[8-10]。

若給定一個(gè)秩為r的矩陣，在對(duì)矩陣進(jìn)行奇異值分解時(shí)，舍棄S中奇異值為零或奇異值較小的數(shù)值(因?yàn)榱闫娈愔祷蜉^小奇異值所包含的信息較少，甚至在矩陣重建時(shí)可以忽略不計(jì))，則廣義奇異值可寫為：

(3)

1.3 廣義奇異值分解去噪原理

在圖像處理中，準(zhǔn)確完整的圖像信息通常是不包含噪聲的。若一副圖像的秩偏高則是因?yàn)樵肼暤拇嬖?。進(jìn)行矩陣的奇異值分解可以達(dá)到圖像去噪的效果，但是效果并不理想。本文提出的基于廣義奇異值分解的圖像去噪算法是在傳統(tǒng)奇異值分解去噪的前提下，首先利用廣義矩陣模型，對(duì)原含噪矩陣進(jìn)行高階擴(kuò)展[8-10]，然后采用廣義奇異值算法進(jìn)行去噪處理，最終得到去噪后的近似圖像。

第一步：獲取原圖像，并對(duì)其添加高斯噪聲；

第二步：對(duì)含噪圖像進(jìn)行鄰域擴(kuò)展，使其成為高階含噪圖像；

第五步：求取傳統(tǒng)奇異值分解與近似廣義奇異值分解得到的峰值信噪比，比較兩者的去噪效果。

根據(jù)SVD重構(gòu)原理，在已知一個(gè)矩陣的前提下，可以通過(guò)奇異值分解，選取較大的奇異值來(lái)代替原矩陣。在圖像處理領(lǐng)域，可將上述理論應(yīng)用于圖像去噪?，F(xiàn)實(shí)中很多圖像一般是低秩的，因?yàn)樵肼暤拇嬖?，才形成了滿秩矩陣[9]。因此，可通過(guò)SVD分解得到奇異值矩陣，對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化，達(dá)到降噪的目的。

2 實(shí)驗(yàn)與仿真

為評(píng)估廣義奇異值分解的去噪性能，以采用wikipedia下載的Lenna圖像、MonaLisa圖像及House圖像為測(cè)試樣本。圖1所示為3種測(cè)試樣本的原圖像、噪聲圖像、加噪后圖像、傳統(tǒng)去噪后圖像及利用本文廣義奇異值分解去噪后圖像的對(duì)比。

(1) 原圖像 (2) 噪聲圖像 (3) 加噪后圖像 (4) 傳統(tǒng)去噪后圖像 (5) 本文算法去噪后圖像 圖1 3種測(cè)試樣本的圖像對(duì)比

為了解廣義奇異值分解在圖像去噪方面的優(yōu)勢(shì)，對(duì)Lenna圖像、MonaLisa圖像及House圖像，分別進(jìn)行3×3鄰域(TSVD)及3×3×3×3鄰域(TTSVD)擴(kuò)展，使原始的二階矩陣擴(kuò)展為四階、六階甚至更高階矩陣(也稱廣義矩陣，具體定義可參考文獻(xiàn)[8])。經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，本文提出的廣義奇異值分解算法在圖像去噪方面明顯優(yōu)于傳統(tǒng)奇異值分解算法，且其去噪能力與廣義矩陣的擴(kuò)展階數(shù)成正比。這里以MonaLisa圖像為例，比較擴(kuò)展為四階和六階時(shí)圖像的去噪效果，以峰值信噪比作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，峰值信噪比越大，圖像的去噪效果越好(見圖2)。

圖2 傳統(tǒng)矩陣與擴(kuò)展為四階和六階時(shí)圖像的去噪效果

本文共進(jìn)行3個(gè)主實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)1為對(duì)原始圖像加噪聲，然后利用SVD進(jìn)行降噪并求取峰值信噪比；實(shí)驗(yàn)2是將原始含噪圖像進(jìn)行3×3鄰域擴(kuò)展，使其成為四階廣義矩陣，然后利用TSVD進(jìn)行降噪并求取峰值信噪比；實(shí)驗(yàn)3是將原始矩陣進(jìn)行3×3×3×3鄰域擴(kuò)展，使其成為六階廣義矩陣，然后利用TTSVD進(jìn)行降噪并求取峰值信噪比。其中，TSVD與TTSVD均表示廣義奇異值分解，區(qū)別在于前者進(jìn)行3×3鄰域擴(kuò)展，為四階廣義矩陣，而后者進(jìn)行3×3×3×3鄰域擴(kuò)展，為六階廣義矩陣。

由圖2可知，隨著擴(kuò)展階數(shù)的提升，圖像峰值信噪比增大，即圖像的去噪效果越來(lái)越好。由此可得出以下結(jié)論：利用本文廣義奇異值分解技術(shù)得到的圖像去噪效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的奇異值分解技術(shù)，且矩陣的擴(kuò)展階數(shù)越高，圖像的降噪效果越顯著。

3 討論

對(duì)原始含噪圖像中每個(gè)像素點(diǎn)取一定范圍鄰域，且不斷增加其維數(shù)，能夠使高階圖像的重建質(zhì)量不斷提高。原始含噪圖像的像素大小具有一定限制，且均以零元素進(jìn)行填充。隨著鄰域的不斷擴(kuò)展，當(dāng)所取像素點(diǎn)鄰域均不在原始圖像范圍內(nèi)時(shí)，再選取鄰域已失去計(jì)算價(jià)值，所進(jìn)行的低秩近似結(jié)果則逼近于極限值。例如選取一個(gè)5×5的矩陣，當(dāng)從中心像素開始取鄰域時(shí)，可最快到達(dá)極限。以a3，3為例，不斷對(duì)第一個(gè)元素進(jìn)行3×3鄰域選取，當(dāng)取到第六個(gè)3×3鄰域時(shí)，所擴(kuò)充的元素均不在元素圖像的像素范圍內(nèi)，此時(shí)再進(jìn)行鄰域選取便失去實(shí)際意義。

4 結(jié)語(yǔ)

為驗(yàn)證所采用的廣義奇異值分解技術(shù)在高階圖像分析中的應(yīng)用效果，根據(jù)廣義奇異值分解的相關(guān)理論，對(duì)多個(gè)測(cè)試樣本進(jìn)行了驗(yàn)證與統(tǒng)計(jì)分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在高階圖像去噪方面，廣義奇異值分解算法與傳統(tǒng)算法相比，圖像的低秩重建效果具有明顯的優(yōu)勢(shì)；針對(duì)高階圖像去噪，采用廣義奇異值分解技術(shù)比傳統(tǒng)奇異值分解技術(shù)所求峰值信噪比優(yōu)勢(shì)更明顯，且其峰值信噪比隨著矩陣擴(kuò)展階數(shù)的提升而增大。

本文提出的去噪算法充分考慮了圖像的高階信息，比傳統(tǒng)算法更快捷、準(zhǔn)確。將其應(yīng)用于圖像去噪，效果良好。