股票期權信用估值調整的柳樹法計算

王光光, 許 威

(同濟大學 數學科學學院,上海 200092)

隨著全球金融衍生品市場的快速發(fā)展, 交易對手信用風險(counterparty credit risk, CCR)逐漸成為全球金融機構面臨的主要風險之一, 其定義為交易對手未能履行約定契約中的支付義務而造成經濟損失的風險. 自2008年金融危機之后, 金融衍生品合約的定價考慮CCR逐漸成為全球共識. 2010年出臺的巴塞爾協(xié)議III[1]則首次增添新的資本計提量, 即信用估值調整(credit valuation adjustment, CVA).

CVA是度量由于交易對手違約而造成的期望潛在損失, 定義為無交易對手違約風險的金融衍生品價格與含違約風險的價格之差. 因此, 從定價角度來講, CVA的計算即是對CCR的風險中性定價[2], 其主要由3部分組成：貼現(xiàn)期望暴露、交易對手違約概率和違約損失率[2-3]. 通常的CVA計算多數是基于交易對手違約概率與暴露互相獨立的假設, 如巴塞爾協(xié)議III中所給出的CVA計算公式[1]. 然而, 交易對手違約概率與決定金融衍生品價格的市場風險因子之間會存在相關性, 即存在錯向風險(wrong way risk, WWR): 暴露越大, 交易對手違約概率越大. 錯向風險的存在會增大CVA, 因此對于CCR的定價非常重要.

對于歐式期權, 由于到期日之前無法行權, 若不考慮WWR, CVA在幾何布朗運動[4](geometric Brownian motion, GBM)和Merton跳擴散模型[5]下存在解析公式[2-3]. 但對于百慕大期權, 由于其路徑依賴性, CVA的計算過程將變得非常復雜. 目前, 多數文獻中CVA是通過基于模擬的方法來計算. Breton等[6]在GBM和跳擴散模型[5]下提出了一種基于函數插值的動態(tài)規(guī)劃方法, 對高斯Copula[3]和Hull-White強度模型[7]兩種WWR模型下的百慕大期權進行了定價研究. 但該方法僅適用于低維標的模型, 同時對Hull-White模型也無法做到擬合市場上信用違約互換價差數據. 之后, Bavier等[8]基于Hull-White強度模型, 首先利用二叉樹方法將違約強度通過價差數據校準得到, 然后通過蒙特卡洛模擬研究了GBM下百慕大期權的提前行權特性對于CVA的影響. Graaf等[9]在隨機波動率模型[10]下提出了基于蒙特卡洛模擬的SGBM(stochastic grid bundling method)方法用于定價百慕大期權下無WWR的CVA. Feng等[11]利用同樣方法研究了包含WWR的百慕大期權下的CVA計算, 但其中WWR是由額外的隨機過程進行刻畫, 形式較為復雜. 近年來, 國內學者對于交易對手違約風險也有研究, 如蔣昇[12]基于Copula函數利用復雜的嵌套蒙特卡洛模擬對交易對手風險進行了實證分析; 奚揚陽[13]計算了歐式期權下的CVA. 更多關于CVA和WWR模型的內容可參見文獻[3].

本文基于以上現(xiàn)有方法的諸多限制, 首次提出了一種基于柳樹樹狀結構能應用于各種標的資產模型并且快速有效計算帶有Hull-White-WWR的CVA的數值算法. 該方法主要包括兩部分. 第一部分, 柳樹法在無WWR時計算CVA. 此時假設違約概率分布是確定的, 根據文獻[2-3], 對于歐式期權, 計算CVA等價于計算歐式期權在零時刻的價格, 則根據文獻[14]柳樹法可快速求得歐式期權價格從而直接求得CVA. 而對于百慕大期權, 假設交易對手在期權所有可行權時間節(jié)點均可能發(fā)生違約, 則根據文獻[9]中關于百慕大期權下暴露的定義: 期權行權, 暴露為零; 期權持有, 暴露等于該時刻的持有價值. 因此無WWR下CVA的計算是一個路徑依賴的過程, 需要用柳樹法倒向歸納計算期權在所有可行權時刻的持有價值, 并判斷是否行權, 以確定當前時刻的貼現(xiàn)期望暴露. 第二部分, 柳樹法在Hull-White模型刻畫WWR時計算有錯向風險的CVA, 此時與無WWR區(qū)別在于違約概率分布需要用市場上信用違約互換價差數據校準得到. 柳樹法基于Bavier[8]的思想, 通過自身柳樹結構在給定價差數據時精確校準Hull-White模型中的時間依賴函數a(t), 從而得到新的違約概率分布, 用于最后計算有WWR的CVA.

本文基于柳樹法計算錯向風險下歐式和百慕大期權的CVA, 主要貢獻體現(xiàn)在以下幾方面: 第一, 以樹狀結構計算CVA在現(xiàn)有文獻中尚屬首次; 第二, 所提出的柳樹法計算CVA的算法不依賴于標的資產模型, 容易從常見的GBM[4]、Merton跳擴散模型[5]擴展到更復雜的隨機波動率[10]或Lévy過程[15]等, 適用范圍更廣; 第三, 柳樹法基于Hull-White模型刻畫WWR能擬合市場上信用互換價差數據, 實用性更強; 第四, 柳樹法在歐式和百慕大期權的CVA計算中計算效率高, 存儲空間較少, 維護成本更低.

1 無錯向風險的CVA計算

考慮一份權益類衍生品合約, 如歐式和百慕大期權, 到期日為T, 其CVA定義如下[3]:

CVA=(1-R)E[1{0<τ

(1)

式中:E[·]代表風險中性測度下的期望;τ為交易對手違約時間;R為回收率, 1-R即違約損失率;Bt為t時刻的貼現(xiàn)因子, 在無風險利率r為常數假設下,Bt=e-rt; 1{·}為示性函數;Et代表t時刻的暴露, 非負;PD(dt)代表交易對手在時段[t,t+dt]內違約的風險中性概率 (假設時刻t之前沒有違約).

式(1)是CVA一般化的表達式, 沒有對風險暴露和交易對手違約概率之間的相關性做任何的假設. 事實上, 業(yè)界普遍采用二者是互相獨立的假設, 從而得到以下簡化的CVA表達式:

(2)

(3)

因此, 巴塞爾協(xié)議要求的CVA可通過計算式(3)間接得到. 假設交易對手違約時刻的概率分布具有如下形式[6-8]:

PD(t)=1-exp(-λt)

(4)

1.1 柳樹法期權定價

柳樹法通過構造離散的馬爾科夫過程來刻畫布朗運動, 能處理各種標的資產模型, 如GBM[4,14]、Merton跳擴散模型[5,16]、隨機波動率模型[10]以及Lévy過程[15-16]等等, 現(xiàn)已經被廣泛用于各種期權的定價[14,16-17]. 圖1展示了一個柳樹結構的簡單示意圖. 該柳樹結構從初始時刻0到T, 有5個離散的時刻, 從第2個時刻起, 每個時刻都有5個可能的資產價格節(jié)點. 因此, 柳樹法的一個優(yōu)點在于每個離散時刻上的資產價格節(jié)點個數是常數, 從而總的節(jié)點個數隨時間步長N呈線性增長.

圖1 包含5個時刻、 5個資產價格節(jié)點的柳樹結構圖

Fig.1 Graphical depiction of willow tree lattice with 5 space nodes and 5 time nodes

(5)

1.2 歐式期權的

(6)

則由式(6)可知, 柳樹法計算無WWR時歐式期權的CVA等價于定價歐式期權.

1.3 百慕大期權的

(7)

2 有錯向風險的CVA計算

錯向風險是描述暴露與交易對手違約概率之間的正相關性, 即違約概率隨著交易對手暴露的增加而增加. 在柳樹框架下主要考慮Hull-White強度模型對于CVA計算的影響. 此時由于違約概率與暴露的相關性, CVA無法再通過式(2)和(3)簡化計算.

Hull-White強度模型是指: 假設式(4)違約強度是一個關于時間t和t時刻無違約風險下期權價格V的函數, 記為λ(t), 即

λ(t)=exp(a(t)+bVt)

(8)

式中：Vt是t時刻對應的期權價格, 如后續(xù)數值試驗中歐式或百慕大看跌期權的價格;b∈R+是WWR參數;a(t)是標準化函數.

當WWR由式(8)刻畫時, 結合式(2)和式(3), Hull-White模型下的CVA的計算表達式修正為[7-8]

(9)

(10)

(11)

若令式(11)等號兩端同時除以左端項, 則成立

(12)

基于式(12), 本文有以下定理, 用于迭代校準a(t).

(13)

證明 首先, 當n=1時, 即對于區(qū)間[t0,t1], 由式(12)數學期望可知

(14)

對n>1, 成立

(15)

3 CVA數值實驗

基于不同標的資產模型, 以GBM和Merton跳擴散模型為例, 其他資產模型同理， 對Hull-White錯向風險模型中不同參數下的CVA進行定價分析, 同時以歐式和百慕大看跌期權為產品(看漲期權同理), 比較柳樹法與解析公式或蒙特卡洛模擬方法的數值結果. 所有數值實驗的程序均在操作系統(tǒng)為64位Windows 10家庭版的計算機上運行, 內存為8 GB, 處理器為Intel(R) Core(TM) i7-6700U CPU@2.80 GHz, 使用的軟件版本為Matlab R2018a.

實驗中, 對于GBM, 柳樹法中資產價格節(jié)點個數m=30；對于復雜的Merto跳擴散模型,m=50. 離散時間步數N=100, 蒙特卡洛方法的模擬路徑數為5×104. 回收率R=0.4. 實驗比較了不同的股票價格S0, 不同的信用互換價差θ下柳樹法和蒙特卡洛方法的表現(xiàn). 記號WT代表柳樹法, MC代表蒙特卡洛模擬, 以運行10次求平均值作為參考值, s.d.代表蒙特卡洛的標準差, B-S、M-J分別代表由Gregory[3]列出的在GBM和Merton跳擴散模型下無WWR的歐式期權的CVA解析公式.

首先, 考慮GBM, 固定歐式和百慕大期權的敲定價格K=100, 利率r=0.05, 波動率σ=0.1, 到期日T=1. 然后選取了不同的價格S0和不同的信用價差θ, 從表1可以看出, 在無WWR時, 對于歐式期權, 柳樹法的定價結果與文獻[3]解析公式非常接近; 而對于百慕大期權, 柳樹法數值結果與文獻常用的最小二乘蒙特卡洛結果相近, 相對誤差均低于1%, 其中蒙特卡洛的標準差至少為10-3量級. 這充分說明了柳樹法的準確性. 從計算時間上來看, 在給定資產價格節(jié)點個數m和時間節(jié)點個數N時, 其他參數的變化并沒有影響柳樹法的計算時間, 但是, 柳樹法的計算時間則少于蒙特卡洛方法.

接下來, 討論錯向風險對于CVA計算的影響, 其中Hull-White模型參數b以文獻[6,8]中b=0.01為參考.從表2可以看出, 柳樹法在歐式期權和百慕大期權下定價CVA的數值結果與蒙特卡洛模擬相比均十分接近, 同樣, 柳樹法在計算時間上均具有明顯優(yōu)勢.

其次, 從GBM拓展到帶跳躍的Merton跳擴散模型. 歐式和百慕大期權的敲定價格K=100, 利率r=0.05, 波動率σ=0.1, 到期日T=1, 跳躍強度為0.1, 跳躍幅度滿足對數正態(tài)分布, 均值為-0.05, 標準差為0.05[16]. 從表3可以看出, 選取不同的S0和不同的信用價差θ, 柳樹法在歐式和百慕大期權下的無WWR的CVA數值結果與蒙特卡洛相比十分接近, 其中蒙特卡洛標準差至少為10-3量級, 同時在計算時間上有一定優(yōu)勢. 這說明柳樹法在復雜的資產模型下同樣表現(xiàn)優(yōu)秀.進一步, 將Hull-White錯向風險模型應用到Merton跳擴散模型. 從表4可以看出, 柳樹法在歐式和百慕大期權下的CVA計算與蒙特卡洛相比十分接近, 其中蒙特卡洛標準差同樣至少為10-3量級, 但柳樹法在計算時間上有優(yōu)勢.

最后, 考慮CVA在兩種期權同樣參數下以及有無WWR下的數值比較. 一方面, 從表1到表4, 可以看出, 歐式期權下的CVA與百慕大期權下的CVA在數值上明顯不同, 并且歐式期權下的CVA數值較大, 這是因為百慕大期權給與期權持有者更多主動行使期權的機會, 從而降低了持有者將來時刻的暴露, 降低了CVA. 另一方面, 考慮WWR的Hull-White模型下的CVA比無WWR下的CVA數值要大. 通過計算, 其比值介于1.02～1.40之間, 這與巴塞爾協(xié)議III[1]中WWR系數所在區(qū)間[1.2,1.4]較為吻合, 也證實了錯向風險會增大CVA的結論.

表1 不同S0、θ下, 柳樹法和蒙特卡洛在GBM下定價歐式和百慕大期權下無WWR的CVA的結果

表2 不同S0、θ下, 柳樹法和蒙特卡洛在GBM下定價歐式和百慕大期權下有WWR的CVA的結果

表3 不同S0、θ下, 柳樹法和蒙特卡洛在跳擴散模型下定價歐式和百慕大期權下無WWR的CVA的結果

Tab.3 Results of willow tree method and Monte Carlo method at different values ofS0andθin jump-diffusion model without WWR

S0θ歐式期權百慕大期權CVA/元時間/sCVA/元時間/sWTM-JWTM-JWTMC(s.d.)WTMC950.050.187 40.187 20.130.020.045 30.045 2(1.07×10-4)0.893.840.100.359 70.359 50.160.020.089 00.088 7(1.94×10-3)0.873.560.150.518 30.517 90.130.010.131 30.131 0(2.65×10-3)0.733.841000.050.095 00.094 90.080.020.052 90.053 1(4.25×10-4)0.874.270.100.182 30.182 10.130.010.103 30.103 7(1.44×10-3)0.833.520.150.262 70.262 40.060.010.155 00.153 5(1.73×10-3)0.803.561050.050.042 80.042 70.080.020.040 40.040 5(5.57×10-4)0.733.660.100.082 20.082 00.060.020.060 70.060 3(6.31×10-4)0.863.380.150.118 40.118 20.130.020.088 50.087 5(1.05×10-3)0.783.47

表4 不同S0、θ下, 柳樹法和蒙特卡洛在跳擴散模型下定價歐式和百慕大期權下有WWR的CVA的結果

Tab.4 Results of willow tree method and Monte Carlo method at different values ofS0andθin jump-diffusion model with WWR

S0θ歐式期權百慕大期權CVA/元時間/sCVA/元時間/sWTMC(s.d.)WTMCWTMC(s.d.)WTMC950.050.198 50.197 8(1.49×10-3)0.020.550.044 90.045 0(8.09×10-4)1.274.560.100.383 90.380 6(2.37×10-3)0.030.500.089 80.089 6(2.39×10-3)1.784.920.150.553 40.550 2(1.19×10-3)0.020.530.134 60.133 5(3.39×10-3)1.314.421000.050.101 40.100 8(3.21×10-4)0.020.470.054 00.053 6(1.09×10-3)1.234.220.100.196 00.194 8(2.15×10-4)0.020.470.108 00.108 4(9.98×10-4)1.224.560.150.282 50.281 4(8.89×10-4)0.020.480.162 00.161 1(9.55×10-4)1.234.331050.050.046 00.045 6(8.02×10-4)0.030.630.032 20.032 5(5.00×10-4)1.584.390.100.088 90.088 3(5.74×10-4)0.020.660.064 50.064 3(1.82×10-4)1.644.060.150.128 10.127 1(8.02×10-4)0.020.500.096 70.095 8(1.80×10-3)1.504.02

4 結語

本文首次提出了一種基于柳樹樹狀結構快速計算錯向風險下CVA的算法. 一方面, 文中指出在無WWR時計算CVA的核心是計算期望暴露, 并詳細給出了歐式和百慕大期權下柳樹法計算期望暴露的算法；另一方面, 用Hull-White模型刻畫WWR時, 通過柳樹結構校準該模型中的時間依賴函數a(t)從而調整新的違約概率. 數值實驗以幾何布朗運動和跳擴散模型下歐式和百慕大看跌期權的CVA計算為例, 表明柳樹法與現(xiàn)有方法相比有相同的計算精度, 但計算速度更快, 同時柳樹法能擬合市場上信用違約互換價差數據, 實用性較高. 此外, 該算法較容易擴展到更復雜的標的資產價格模型，適用范圍廣. 下一步將研究更多WWR模型對于CVA計算的影響，以及計算歐式和百慕大互換期權下的CVA.