基本不等式解高中數(shù)學(xué)問(wèn)題探析

鄧清

【摘要】基本不等式又稱均值不等式，它是高中必修教材里重要內(nèi)容之一，基本不等式不僅可以用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，在解決實(shí)際問(wèn)題中也有著廣泛的應(yīng)用，是解決最大（?。┲祮?wèn)題的有力工具.本文主要針對(duì)基本不等式在高中數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)行探討和分析.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);基本不等式

在重視教育的當(dāng)今社會(huì)，高考受到越來(lái)越大的關(guān)注，從近五年高考情況來(lái)看，針對(duì)基本不等式，高考主要考查利用基本不等式求函數(shù)最值、參考范圍、證明不等式;對(duì)不等式的綜合應(yīng)用，常與函數(shù)結(jié)合在一起考查，利用基本不等式解題時(shí)要注意基本不等式的三要素，即一正二定三相等.利用基本不等式解決條件最值問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或乘積為定值，主要有三種思路：① 對(duì)條件使用基本不等式，建立相應(yīng)的不等式求解.② 對(duì)條件變形，以進(jìn)行“1”的代換，從而利用基本不等式求最值.③ 針對(duì)待求最值的式子，可以通過(guò)添項(xiàng)、分離常數(shù)、平方等方法使之能運(yùn)用基本不等式.

一、利用基本（均值）不等式求最值

利用基本不等式求最值，一般是已知兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為定值求其乘積的最大值，或已知兩個(gè)非負(fù)數(shù)的乘積求其和的最小值，是每年高考的重點(diǎn)內(nèi)容.

例1 求函數(shù)y=x-1x+3+x-1的最大值.

解 令t=x-1≥0，則x=t2+1，

所以y=tt2+1+3+t=tt2+t+4，

當(dāng)t=0，即x=1時(shí)，y=0;當(dāng)t>0，即x>1時(shí)，y=1t+4t+1，

因?yàn)閠+4t≥24=4，當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)等號(hào)成立，

所以y=1t+4t+1≤15，

即y的最大值為15（當(dāng)t=2，即x=5時(shí)，y取得最大值）.

此題先是借助換元法進(jìn)行代換，最后利用基本不等式求出最值.

二、基本（均值）不等式與函數(shù)的綜合問(wèn)題

對(duì)不等式的綜合應(yīng)用常與函數(shù)結(jié)合在一起考查.

例2 已知函數(shù)f（x）=x2+ax+11x+1（a∈R），若對(duì)任意x∈N，f（x）≥3恒成立，求a的取值范圍.

解 由f（x）≥3恒成立，得x2+ax+11x+1≥3，

又x∈N，∴x2+ax+11≥3（x+1），

∴a-3≥-x+8x，

令F（x）=-x+8x，x∈N，

則F（x）max=F（3）=-173，即a-3≥-173，

∴a≥-83.

求最值時(shí)要注意其中變量的條件，有些不能用基本不等式的問(wèn)題可考慮利用函數(shù)的單調(diào)性.

三、基本（均值）不等式的實(shí)際應(yīng)用

實(shí)際應(yīng)用中采用函數(shù)思想來(lái)解題，基本不等式是求最值的一種方法.

例3 某項(xiàng)研究表明：在考慮行車(chē)安全的情況下，某路段車(chē)流量F（單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)測(cè)量點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/時(shí)）與車(chē)流速度v（假設(shè)車(chē)輛以相同速度v行駛，單位：米/秒）、平均車(chē)長(zhǎng)l（單位：米）的值有關(guān)，其公式為F=76 000vv2+18v+20l.

（1）如果不限定車(chē)型，l=6.05，求最大車(chē)流量;

（2）如果限定車(chē)型，l=5，那么最大車(chē)流量比（1）中的最大車(chē)流量增加多少？

解 （1）當(dāng)l=6.05時(shí)，F(xiàn)=76 000vv2+18v+20×6.05，

∴F=76 000vv2+18v+121=76 000v+121v18≤76 0002v·121v+18=1 900，

當(dāng)且僅當(dāng)v=121v，即v=11時(shí)等號(hào)成立.

∴最大車(chē)流量F為1 900輛/時(shí).

（2）當(dāng)l=5時(shí)，F(xiàn)=76 000vv2+18v+20×5，

∴F=76 000v+100v+18≤76 0002v·100v+18=2 000，

當(dāng)且僅當(dāng)v=100v，即v=10時(shí)等號(hào)成立.

∴最大車(chē)流量比（1）中的最大車(chē)流量增加2 000-1 900=100（輛/時(shí)）.

解決實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)注意點(diǎn)：

（1）設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).

（2）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

（3）在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域（使實(shí)際問(wèn)題有意義的自變量的取值范圍）內(nèi)求解.

【參考文獻(xiàn)】

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