基于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例

程雅琳 廖小勇

摘 要：數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)的六大學(xué)科核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)具有重要的理論和實(shí)踐價(jià)值。本文以一個(gè)典型的房貸問題為例進(jìn)行案例分析，以期揭示培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的意識(shí)，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力和創(chuàng)新精神的教學(xué)設(shè)計(jì)策略。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)建模;房貸問題;教學(xué)案例

我國(guó)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》）明確提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的概念，對(duì)六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)提出了明確要求。并指出，“數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)”[1]。

近幾年，關(guān)于數(shù)學(xué)建模教學(xué)的研究引起了越來越多的學(xué)者和教師的關(guān)注和重視。朱婭梅認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)就是將現(xiàn)實(shí)問題表述為數(shù)學(xué)形式，并使用數(shù)學(xué)求解，將數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯為現(xiàn)實(shí)結(jié)果并檢驗(yàn)的能力[2]。周春荔認(rèn)為，如果從方法論的角度來看數(shù)學(xué)建模，它就是一種數(shù)學(xué)思想方法;從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度來看數(shù)學(xué)建模，其實(shí)它就是一種數(shù)學(xué)活動(dòng)[3]。王尚志提出，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)和評(píng)價(jià)將面臨很大挑戰(zhàn)，尤其是對(duì)基礎(chǔ)教育中的數(shù)學(xué)建模教學(xué)與評(píng)價(jià)等問題[4]。李明振、俞平認(rèn)為，許多高中數(shù)學(xué)教師缺乏和忽視對(duì)數(shù)學(xué)建模思想方法及其教學(xué)的訓(xùn)練與研討[5]。牛偉強(qiáng)等認(rèn)為，中國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)建模研究以思辨研究為主，采用實(shí)驗(yàn)研究等實(shí)證研究方法的文獻(xiàn)比例較小，同時(shí)較為新穎的數(shù)學(xué)建模案例研究也比較匱乏[6]。

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何更好地落實(shí)新課標(biāo)要求？如何將數(shù)學(xué)建模思想融入到高中數(shù)學(xué)教學(xué)之中？具體的實(shí)施步驟有哪些？實(shí)施數(shù)學(xué)建模教學(xué)對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和學(xué)生解決實(shí)際問題的能力起到怎樣的促進(jìn)作用？這些問題正是在新課程改革的背景下，中學(xué)數(shù)學(xué)教師和教育研究者亟待解決的問題。

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)需要落實(shí)到具體的教學(xué)上，而富于數(shù)學(xué)思想、精心設(shè)計(jì)的教學(xué)案例對(duì)于學(xué)生建模素養(yǎng)的培養(yǎng)起著不可忽視的作用。本文正是以實(shí)際生活中的貸款買房為例，從基于課程標(biāo)準(zhǔn)提出的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培養(yǎng)角度去分析，期望為高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例提供一些參考。

一、關(guān)于數(shù)學(xué)建模及教學(xué)的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)

（一）數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)建模是把實(shí)際生活中的問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化，抽象成數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)學(xué)知識(shí)求解，并解決問題，如果不符合實(shí)際情況需再次修改模型，直到得到符合實(shí)際的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模不僅僅是一種工具，更是一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，探究發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的教學(xué)案例具有重要意義。

數(shù)學(xué)建模的基本過程大體相同，數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模問題一般與實(shí)際問題的特性、模型建立的目的相關(guān)，具體而言，主要有以下幾個(gè)步驟：

1.提出假設(shè)：假設(shè)是數(shù)學(xué)建模的前提和基礎(chǔ)，實(shí)際問題中存在眾多干擾因素，建模時(shí)應(yīng)抓住本質(zhì)，提煉出問題，對(duì)問題簡(jiǎn)化的同時(shí)，作出一定的假設(shè)。

2.模型建立：抽象出數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)學(xué)知識(shí)找出主要變量以及變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，例如，用數(shù)字和字母表示問題當(dāng)中的變量，進(jìn)行數(shù)學(xué)表征，建立數(shù)學(xué)模型。

3.模型求解：利用數(shù)學(xué)方法，采用恰當(dāng)?shù)募夹g(shù)手段，如，計(jì)算機(jī)軟件中的MATLAB、SPSS對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析計(jì)算。

4.模型檢驗(yàn)：對(duì)模型解釋的結(jié)果帶到實(shí)際問題中檢驗(yàn)，若結(jié)果符合實(shí)際問題，則認(rèn)為該模型正確。若結(jié)果不符合實(shí)際問題，需要對(duì)模型進(jìn)行修改，對(duì)結(jié)果再次檢驗(yàn)，直到建立符合實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型。

5.模型應(yīng)用：模型確立之后，需要將其應(yīng)用到相關(guān)的領(lǐng)域當(dāng)中，有助于解決實(shí)際問題的需要。

（二）數(shù)學(xué)建模教學(xué)原則

我們認(rèn)為，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，需遵循以下原則：

1.數(shù)學(xué)化原則：就是要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)化思想和數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)，讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)問題是源于生活，是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的高度概括。數(shù)學(xué)化是在基于數(shù)學(xué)建模的教學(xué)過程中，讓學(xué)生把數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)相聯(lián)系，在現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)的世界做到切換自如。

2.活動(dòng)性原則：就是要激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的興趣，積極參與多樣化的數(shù)學(xué)建模探究活動(dòng)，在建?；顒?dòng)中提高數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，從而帶動(dòng)其他核心素養(yǎng)的提升。

3.創(chuàng)造性原則：就是要在數(shù)學(xué)建模的教學(xué)過程中，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，在原有的數(shù)學(xué)知識(shí)和現(xiàn)實(shí)背景下，突破思維的局限性，采用一些非常規(guī)的思路解決數(shù)學(xué)建模問題，如，利用物理和化學(xué)中的知識(shí)來解決數(shù)學(xué)問題。

4.啟發(fā)性原則：就是要在數(shù)學(xué)建模過程中，在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)給予學(xué)生一定的啟發(fā)，合理地進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，在學(xué)生遇到困難時(shí)可以進(jìn)行“旁敲側(cè)擊”，同時(shí)還要注重引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會(huì)自我啟發(fā)，對(duì)數(shù)學(xué)建模的過程進(jìn)行反思，促使養(yǎng)成學(xué)生獨(dú)立思考問題的習(xí)慣，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

二、教學(xué)案例分析

當(dāng)今社會(huì)，房地產(chǎn)市場(chǎng)火爆，人人都在考慮買房。然而，多數(shù)人不可能有錢能夠一次性付清房款，必須貸款買房，從而貸款買房問題也就成為我們家庭面臨的許多經(jīng)濟(jì)決策問題之一。目前市場(chǎng)上不斷有各種收放廣告出現(xiàn)，人們看到這樣的廣告之后，急于想要知道自己是否能否有能力去買這樣的房子，隨之便提出了更多的問題：房子有多大;一次性付款要多少錢;銀行貸款月還款多少錢等等問題。

為了分析這些熱點(diǎn)的現(xiàn)實(shí)問題，我們?cè)诮虒W(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生把問題具體化，以便建立模型分析、解決問題。

（一）問題提出

買房要向銀行借款60萬元，年利率是7.2%，貸款期是25年。知道月還款額（設(shè)為常數(shù)），才能了解自己是否有能力買房。如今各大銀行有兩種還款方式，一種是等額本息還款法，另一種是等額本息還款法。

等額本息還款法：即把按揭貸款的本金總額和利息總額相加，然后平均分?jǐn)偟竭€款期限的每個(gè)月當(dāng)中，每個(gè)月的還款額是固定的，但每月還款額中的本金比重逐月遞增、利息比重逐月遞減。這種方法是目前最為普遍，也是大部分銀行長(zhǎng)期推薦的方式。

等額本金還款法：即貸款人將本金分?jǐn)偟矫總€(gè)月內(nèi)，同時(shí)付清上一交易日至本次還款日之間的利息。這種還款方式相對(duì)等額本息而言，總的利息支出較低，但是前期支付的本金和利息較多，還款負(fù)擔(dān)逐月遞減。等額本金還款法是一種計(jì)算非常簡(jiǎn)便，實(shí)用性很強(qiáng)的一種還款方式?；舅惴ㄔ硎窃谶€款期內(nèi)按期等額歸還貸款本金，并同時(shí)還清當(dāng)期未歸還的本金所產(chǎn)生的利息。

（二）模型建立

在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組討論時(shí)，教師可以根據(jù)討論的情況適當(dāng)啟發(fā)。

師：同學(xué)們，請(qǐng)思考一下還款的金額會(huì)受到那些因素的影響呢？銀行的利率在實(shí)際生活中是會(huì)發(fā)生變化的，為了方便同學(xué)們計(jì)算，此時(shí)我們假設(shè)銀行利率不變。

模型一：等額本息還款法

首先我們用等額本息還款方式計(jì)算一個(gè)月還款數(shù)額：

設(shè)A0（=60萬元）為向銀行的貸款額，R0（=0.072）為年利率， R（=0.006）為月利率，N表示第N個(gè)月（時(shí)間變量），AN表示第 N個(gè)月欠銀行的款，x表示25年（=300月）還清本息每月應(yīng)還的錢。

這里要求的是x，因而將x看做因變量，A0、R看成參數(shù)，N看成自變量。此問題的數(shù)學(xué)模型如下：

A0（一開始借多少錢）;

A1=A0（1+4）-X（一個(gè)月后欠銀行的錢數(shù)，即本金加利息減去每月要還的錢數(shù)）。

第N個(gè)月尚欠銀行的錢數(shù)為：

AN=AN-1（1+R）-x

其中A0已知，這就是等額本息還款法問題的數(shù)學(xué)模型，在高中數(shù)列知識(shí)中屬于遞推關(guān)系的問題，即已知遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

將AN-1，AN-2，…，A1的表達(dá)式代入，即可得

模型二：等額本金還款法

設(shè)A0（=60萬元）為向銀行的貸款額，R0（=0.072）為年利率， R（=0.006）為月利率，N表示第N個(gè)月（時(shí)間變量），x0表示第 n個(gè)月還款數(shù)額。

這里要求的是x0，因而將x0看成因變量，A0、R、N看成參數(shù)，n看成自變量。本問題的數(shù)學(xué)模型可以建立為：

本金分?jǐn)偟矫總€(gè)月內(nèi)的金額為? ;

上一還款日至本次還款日之間的利息為? ? ? ?;

所以可得：

師：請(qǐng)大家思考并討論：等額本息法和等額本金法分別是什么模型？

生：模型一是等比數(shù)列模型，模型二是等差數(shù)列模型。

（三）模型求解

模型一的求解：

當(dāng)N=300時(shí)，N=300就表示還清貸款，由此可得

從而解得：x=4317.5元，這就是說每月要拿出4317.5元交付銀行，累計(jì)支付利息696259.64元，累計(jì)還款總額1286259.64。

模型二的求解：

將題設(shè)中的實(shí)際數(shù)據(jù)代入得：

從而接的月還款金額為第一個(gè)月5600元，第二個(gè)月還款金額是5588元，第三個(gè)月是5576元，…，第300個(gè)月2000元。月還款金額為首項(xiàng)5600，公差為-12的等差數(shù)列。累計(jì)支付利息是541800元，累計(jì)還款金額是1141800元。

結(jié)論：

從兩種方式來看，貸款年數(shù)相等，需要累計(jì)支付利息和還款總額等額本金還款法更占優(yōu)勢(shì)，銀行所取得的利息更小。

（四）模型檢驗(yàn)

在本案例當(dāng)中，需要將建模中得出的結(jié)果與實(shí)際房貸中的金額進(jìn)行比較，若結(jié)果相差不大，則說明此次模型的建立是正確的，若結(jié)果相差大，根據(jù)反饋對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行修改，從而完善模型。

（五）模型應(yīng)用

至此，可向?qū)W生提出新的問題，引導(dǎo)同學(xué)們進(jìn)一步思考：若王某月收入6000元，他應(yīng)該辦理哪種貸款？請(qǐng)說出理由。

三、結(jié)語

以上案例中，教師根據(jù)社會(huì)生活中的實(shí)際問題，結(jié)合數(shù)學(xué)建模設(shè)計(jì)原則和銀行貸款的實(shí)際背景，介紹當(dāng)下實(shí)施的兩種貸款方式，引導(dǎo)學(xué)生討論不同的貸款方案，將貸款過程與等比數(shù)列和等差數(shù)列的知識(shí)相結(jié)合，經(jīng)過計(jì)算分析，探討出最佳和最省錢的方案。這一教學(xué)案例不僅讓學(xué)生經(jīng)歷調(diào)研查資料，假設(shè)、解題、檢驗(yàn)、探討的過程，也能夠鞏固復(fù)習(xí)本節(jié)課的知識(shí)、方法及思想。隨著數(shù)學(xué)新課程改革的深入推進(jìn)，我們希望更多同仁關(guān)注利用案例開展數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)培養(yǎng)的實(shí)踐教學(xué)，共同提高高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)質(zhì)量與人才培養(yǎng)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱婭梅.我國(guó)八年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的調(diào)查研究[J].上海教育科研，2017，（4）：51-54.

[2]周春荔.建模與中學(xué)數(shù)學(xué)教育[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1996，（2）： 40-44.

[3]王尚志.數(shù)學(xué)建模在中國(guó)各學(xué)段的發(fā)展歷程及展望[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（6）.