一類三波作用模型的不變代數(shù)曲面、Hamilton結(jié)構(gòu)及無窮遠(yuǎn)動(dòng)力學(xué)行為

牛艷秋,楊雙羚,,許明星

(1.吉林建筑科技學(xué)院 基礎(chǔ)部,長春 130114；2.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長春 130012)

0 引 言

考慮如下三波作用模型:

其中:γ,δ是參數(shù),δ表示同步失諧,其他線性項(xiàng)刻畫耗散和外部能量泵送的影響;x,y,z正比于3個(gè)波的振幅.該模型描述了3個(gè)準(zhǔn)同步波在等離子體中的相互作用[1-2].

目前關(guān)于模型(1)的研究已有很多結(jié)果: Bountis等[3]利用Painlevé分析研究了該模型的奇性結(jié)構(gòu)；Almeida等[4]給出了該模型存在非平凡李對(duì)稱的充分條件;Lu等[5]利用特征線法刻畫了該模型所有的運(yùn)動(dòng)積分；文獻(xiàn)[6]研究了該模型有理首次積分的存在性.本文首先用代數(shù)幾何中的消除理論刻畫該模型的具常數(shù)余因子的不變代數(shù)曲面；其次,證明具不變代數(shù)曲面的三波作用模型存在無窮多個(gè)Hamilton-Poisson結(jié)構(gòu),因此是雙Hamilton的;最后,利用Poincaré緊致化技巧研究該模型在無窮遠(yuǎn)的動(dòng)力學(xué)行為.

1 不變代數(shù)曲面和Hamilton結(jié)構(gòu)

令f(x,y,z)∈[x,y,z]是關(guān)于x,y,z的多項(xiàng)式.如果存在多項(xiàng)式k(x,y,z)∈[x,y,z],使得

(2)

則稱代數(shù)曲面f=0是模型(1)的不變代數(shù)曲面,其中k稱為f對(duì)應(yīng)的余因子.如果f是不變代數(shù)曲面,也稱其為Darbux多項(xiàng)式.由定義易見,如果模型(1)的某軌線上一點(diǎn)屬于該不變曲面,則整個(gè)軌線上的點(diǎn)都屬于該不變曲面.不變代數(shù)曲面可用于構(gòu)造系統(tǒng)的首次積分[7-8],不變代數(shù)曲面的存在性對(duì)于理解系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為很重要[9].

為簡單,本文考慮模型(1)具常數(shù)余因子的不變代數(shù)曲面，即k∈. 進(jìn)一步,假設(shè)不變代數(shù)曲面具有如下形式:

f=a000+a100x+a010y+a001z+a110xy+a101xz+a011yz+a200x2+a020y2+a002z2,

(3)

把式(3)代入式(2),并對(duì)比x,y,z的同次冪系數(shù),可得多項(xiàng)式方程組

gj(γ,δ,k0,as1,s2,s3)=0,j=1,2,…,16,

(4)

其中:

令I(lǐng)∶=〈g1,g2,…,g16〉表示上述多項(xiàng)式生成的理想.下面利用代數(shù)幾何中的消除定理[10]消去k0和aijk,得到只含有γ,δ的Gr?bner基底.注意到代數(shù)方程存在平凡的零解,利用數(shù)學(xué)軟件的輸出結(jié)果為〈0〉,因此消除過程總可以進(jìn)行.考慮額外的條件a200≠0,即考察理想I1∶=〈1-ωa200,I〉.消去ω,k0和aijk的Gr?bner基底.利用數(shù)學(xué)軟件,不難得到約化理想J1=〈γ2+3γ+2〉,對(duì)應(yīng)的代數(shù)簇為

V=V1∪V2,

其中:V1={(γ,δ)|γ=-1};V2={(γ,δ)|γ=-2}.類似地,可以考慮其他情形,沒有新的代數(shù)簇產(chǎn)生.

通過上述分析,可得如下結(jié)果.

定理1三波作用模型(1)存在具常余因子的二次不變代數(shù)曲面的充分必要條件是下列條件之一成立：

1)γ=-1,此時(shí),不變代數(shù)曲面是x2+y2+z,余因子是-2;

2)γ=-2,此時(shí),不變代數(shù)曲面是δx2+δy2+2yz,余因子是-4.

利用不變代數(shù)曲面,可以構(gòu)造三波作用模型(1)的無窮多個(gè)Hamilton-Poisson結(jié)構(gòu),從而說明該系統(tǒng)是雙Hamilton的.相關(guān)的定義和基本結(jié)果參見文獻(xiàn)[11-12].

當(dāng)γ=-1時(shí),做變換

u=xet,v=yet,w=ze2t,

則(u,v,w)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為

即模型(1)變?yōu)?/p>

(5)

將I1作為Hamilton函數(shù),可得系統(tǒng)(5)的一個(gè)Hamilton-Poisson實(shí)現(xiàn):

定理2假設(shè)γ=-1,系統(tǒng)(5)存在Hamilton-Poisson實(shí)現(xiàn)(3,Π1,H1),使得它可改寫為

其中: Hamilton量H1=I1;Poisson矩陣

Poisson括號(hào){·,·}滿足{f,g}=fTΠ1g.

(6)

將I2作為Hamilton函數(shù),得到系統(tǒng)(5)的另一個(gè)Hamilton-Poisson實(shí)現(xiàn):

定理3假設(shè)γ=-1,系統(tǒng)(5)存在Hamilton-Poisson實(shí)現(xiàn)(3,Π2,H2),使得其可改寫為

其中: Hamilton量H1=I2;Poisson矩陣

Poisson括號(hào){·,·}滿足{f,g}=fTΠ2g.

基于定理2和定理3,可以構(gòu)造出系統(tǒng)(5)無窮多個(gè)Hamilton-Poisson實(shí)現(xiàn).

定理4假設(shè)γ=-1,系統(tǒng)(5)存在無窮多個(gè)Hamilton-Poisson實(shí)現(xiàn) (3,Πab,Hcd),其中:

Πab=aΠ1+bΠ2;Hcd=cH1-dH2;

當(dāng)γ=-2時(shí),做變換

u=xe2t,v=ye2t,w=ze2t,

則模型(1)變?yōu)?/p>

(7)

同理可知系統(tǒng)(5)具有無窮多個(gè)Hamilton-Poisson實(shí)現(xiàn),因此也是雙Hamilton的.

定理5假設(shè)γ=-2且δ≠0,系統(tǒng)(7)存在無窮多個(gè)Hamilton-Poisson實(shí)現(xiàn)(3,Πab,Hcd),其中:

2 無窮遠(yuǎn)動(dòng)力學(xué)行為

當(dāng)γ=-1時(shí),考慮函數(shù)F1(x,y,z)=x2+y2+z.易驗(yàn)證沿著模型(1)的解曲線為

因此,任何滿足從F1≠0出發(fā)的軌線,沿t→+∞趨向于不變曲面F1=0,沿t→-∞趨向于無窮遠(yuǎn).同理可以考慮當(dāng)γ=-2時(shí)的情形.因此,有如下結(jié)果.

定理6假設(shè)γ=-1(或γ=-2),對(duì)于模型(1),所有從不變代數(shù)曲面F1=0(或F2=0)或者無窮遠(yuǎn)附近出發(fā)的軌線都是異宿軌,并且限制在該軌道都是正向趨向于不變曲面F1=0(或F2=0),負(fù)向趨向于無窮遠(yuǎn).

圖1 在x,y,z軸正方向的端點(diǎn)處Ui的定向 (Vi位于Ui的對(duì)徑切面上,i=1,2,3)Fig.1 Orientation of local charts Ui at positive endpoints of coordinate axis x,y,z(Vi on diametrical tangent of Ui,i=1,2,3)

圖冊(cè)Ui={γ∈S3|γi>0},Vi={γ∈S3|γi<0},i=1,2,3,4.為考慮模型(1)中x,y,z在無窮遠(yuǎn)的動(dòng)力學(xué)行為,只需考慮如圖1所示的Ui,Vi(i=1,2,3).

(8)

在不變平面z3=0上,系統(tǒng)約化為

(9)

(10)

注意到平面z3=0在無窮遠(yuǎn)是不變的,且系統(tǒng)(10)可約化為

(11)

圖2 系統(tǒng)(9)的相圖Fig.2 Phase diagram of system (9)

圖3 系統(tǒng)(11)的相圖Fig.3 Phase diagram of system (11)

圖4 系統(tǒng)(13)的相圖Fig.4 Phase diagram of system (13)

令z3=0,則

(13)

系統(tǒng)(13)存在唯一的退化奇點(diǎn)(0,0)以及首次積分

其相圖如圖4所示.在V3上,由于系統(tǒng)的流與U3相同,因此只需將時(shí)間反向.

綜上可見：在無窮遠(yuǎn)的Poincaré緊致球面,三波作用模型(1)在x軸的端點(diǎn)存在鞍點(diǎn),在z軸的端點(diǎn)存在不穩(wěn)定的退化奇點(diǎn);該模型在無窮遠(yuǎn)的動(dòng)力學(xué)行為與模型參數(shù)的取值無關(guān).