轉(zhuǎn)換理論中“距離集合”的闡釋及應(yīng)用分析

摘 要： 大衛(wèi)·列文（David Lewin）的轉(zhuǎn)換理論（Transformation Theory）中Interval數(shù)值是一個(gè)非常重要的概念。從列文的“距離”（Interval）觀點(diǎn)入手，通過(guò)分析列文提出的距離集合（Interval Function）概念，再運(yùn)用實(shí)例詳細(xì)闡述距離集合的定義，運(yùn)用其對(duì)具體作品的分析，以期全面闡述這一概念對(duì)無(wú)調(diào)性音樂(lè)作品分析所產(chǎn)生的新視角及新作用。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)換理論;距離集合;嵌入集合;注入集合

中圖分類號(hào)： J614? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

文章編號(hào)： 1004 - 2172（2019）04 - 0127 - 07

DOI：10.15929/j.cnki.1004 - 2172.2019.04.018

前 言

國(guó)音樂(lè)理論家大衛(wèi)·列文（David Lewin，1933—2003）在其著作《廣義音程與轉(zhuǎn)換》（Generalized Musical Intervals and Transformations） ?一書(shū)中，一共提出了3個(gè)集合概念，分別是距離集合（Interval Functions）﹑嵌入集合（Embedding Functions）及注入集合（Injection Functions）。這3個(gè)集合中，距離集合是列文第一個(gè)進(jìn)行單獨(dú)講解并列出的集合關(guān)系，因此在對(duì)列文所探討的3種集合關(guān)系中，我們也可以把這一集合形態(tài)理解為這3種集合的基礎(chǔ)，并應(yīng)該給予高度重視，進(jìn)一步深入研究。

在列文的這一著作中，Interval被廣泛理解為“距離”，而不是作為常規(guī)音樂(lè)術(shù)語(yǔ)被翻譯為“音程”。從列文的視角而言，他更想強(qiáng)調(diào)的是這個(gè)概念中包含的音與音之間的“距離”關(guān)系，并且這個(gè)關(guān)系并不僅僅局限于音高，也包含有其它結(jié)構(gòu)要素中所包含的對(duì)象之間的“距離”。在“廣義音程距離”（GIS）中，一個(gè)重要要素是“距離的組群”（group of interval）。因此，在距離集合這一概念中，筆者將繼續(xù)沿用作者的這一觀點(diǎn)，采用“距離”的釋義來(lái)作為對(duì)這一概念的理解。本文對(duì)于Function的解讀涉及兩方面的含義：第一，作為和Interval﹑Embedding﹑Injection等連接的名詞固定搭配，采用“集合”進(jìn)行釋義;第二，當(dāng)Function單獨(dú)使用時(shí)，筆者采用了其“函數(shù)”這一釋義，因?yàn)樵诹形恼麄€(gè)分析體系中可以看到，由于列文數(shù)學(xué)家的特質(zhì)，他運(yùn)用了大量的函數(shù)公式和概念對(duì)分析理論進(jìn)行定義和釋義。在本文中也會(huì)涉及到一些運(yùn)用分析理論對(duì)音樂(lè)作品的相關(guān)分析應(yīng)用，基于此，筆者認(rèn)為“函數(shù)”這一釋義會(huì)更為準(zhǔn)確地表達(dá)列文所想表達(dá)的一種數(shù)學(xué)概念。

在列文的原著中，列文將Interval Functions的表述統(tǒng)一縮寫(xiě)為了IFUNC，因此，在本文中，筆者將繼續(xù)采用這一縮略形式來(lái)表示。對(duì)于這一概念，列文是這樣闡述的：“IFUNC does not figure heavily in the standard literature of atonal set theory” ?，對(duì)此，筆者作如下理解：第一，列文認(rèn)為，他提出的這個(gè)集合概念并未出現(xiàn)在權(quán)威無(wú)調(diào)性集合理論文獻(xiàn)中;第二，列文沒(méi)有采用“set”命名集合而是使用了“function”，可見(jiàn)他想表達(dá)的是，除了集合本身以外還有更多關(guān)于函數(shù)的概念和意義，以及他在整本書(shū)中不斷強(qiáng)調(diào)的“Space”空間意義，而這些內(nèi)容是“以前”的權(quán)威出版物中所沒(méi)有涉及的。因此，這些內(nèi)容是筆者著手分析的重點(diǎn)。

一、概念分析

列文在書(shū)中寫(xiě)到，當(dāng)給出X﹑Y兩個(gè)集合時(shí)，就可以得到一個(gè)以某一距離函數(shù)形成的IFUNC（X，Y），然后再配以不同的IVLS ?，就可以得到IFUNC（X，Y）（i）。i指不同IVLS的具體數(shù)值，以i的數(shù)值可以得到X中有多少個(gè)音可以映射到Y(jié)中。以此觀察在不同的音程結(jié)構(gòu)關(guān)系下X和Y的關(guān)系，從而從不同的視角揭示音樂(lè)更為隱蔽的內(nèi)在聯(lián)系。

先根據(jù)一個(gè)譜例進(jìn)行分析，以初步理解IFUNC到底想要說(shuō)明什么，以及它是如何運(yùn)算的。

譜例1呈示了兩個(gè)音級(jí)集合：X=（E，B）與Y=（F，A，C），當(dāng)運(yùn)用不同的i進(jìn)行X的移位時(shí)，X中有不同個(gè)數(shù)的音符映射到Y(jié)中，并與Y中的音符一致。例如，當(dāng)i=0時(shí)，IFUNC（X，Y）（0）=0，也就是說(shuō)在不移位的情況下，X和Y集合中是沒(méi)有一個(gè)音相同的;當(dāng)i=1時(shí)，IFUNC（X，Y）（1）=1，表示這個(gè)時(shí)候，X1（F，B）有一個(gè)音F和Y集合中的F音相同，具體如下。

i = 0 ?1 ?2 ?3 ?4 ?5 ?6 ?7 ?8 ?9 ?10 ?11

IFUNC（X，Y）（i）= 0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ?0 ?1 ? 0 ? 1

在對(duì)i值進(jìn)行0～11的計(jì)算中，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象：在IFUNC中，如果i為奇數(shù)，X中就會(huì)有一個(gè)音和Y中的音相同;如果i為偶數(shù)，X中就不會(huì)有任何一個(gè)音和Y中音相同。

當(dāng)然，筆者目前還無(wú)法斷定這個(gè)奇數(shù)和偶數(shù)的規(guī)律是個(gè)別現(xiàn)象還是普遍現(xiàn)象。但對(duì)于i值的計(jì)算，總能讓我們得出X和Y之間的共同音數(shù)目，以及在不同i值但共同音數(shù)目相同的情況下，多種結(jié)果對(duì)音樂(lè)不同層面產(chǎn)生的影響，從而解析集合之間更為緊密的內(nèi)在聯(lián)系。

綜上所述，IFUNC是以強(qiáng)調(diào)兩個(gè)集合在不同移位關(guān)系下共同音的數(shù)量的多少，并以此映射兩個(gè)集合內(nèi)在關(guān)系的一種分析方法。那么，對(duì)于IFUNC到底能揭示什么？這種分析和以往的集合分析又有何不同？它對(duì)音樂(lè)分析產(chǎn)生何種新的啟迪？當(dāng)然，僅靠概念闡釋肯定還不足以詳盡解答這些問(wèn)題，因此，筆者將以列文對(duì)韋伯恩作品Op.7，No.3的前9小節(jié)的分析為基礎(chǔ)作進(jìn)一步闡述。 二、作品分析

Four Pieces for Violin and Piano是韋伯恩定稿于1914年，為小提琴和鋼琴而作的一部套曲，包含4首小品。本文以第3首中的前9小節(jié)為分析對(duì)象（譜例2），筆者除了以IFUNC進(jìn)行全面闡述外，還將盡量以傳統(tǒng)集合的分析方式解析該音樂(lè)片段，以期達(dá)到傳統(tǒng)分析方式與IFUNC分析之間的有效對(duì)比，從而更為直接地觀察IFUNC所能夠帶來(lái)的一種新的行之有效的分析方式。

例中鋼琴的右手部分從第3～8小節(jié)開(kāi)始含有兩條明顯的旋律線，第1條旋律線是第3～5小節(jié)，第2條旋律線從第5小節(jié)的B音開(kāi)始，一直到第8小節(jié)結(jié)束。這一部分是這首作品中的抒情性的旋律線，我們將這兩個(gè)旋律線分別確定為X（A，B，E）和Y（B，F(xiàn)，E，C，E，D，F(xiàn)）集合。

再看小提琴聲部對(duì)于Y集合的伴奏部分，這是兩組固定音型的伴奏循環(huán)。筆者根據(jù)伴奏部分的中心節(jié)奏及固定音型的劃分，將兩組固定音型伴奏確定為集合Z0（A，D，E，A）及Z3（C，F(xiàn)，F(xiàn)，B）， Z0和Z3的命名是以Z集合T3的音程距離來(lái)確定的（譜例3）。這兩個(gè)集合剛好是一個(gè)T3關(guān)系的移位，從這一點(diǎn)中也可以看出作品伴奏的音高組織的統(tǒng)一性。

通過(guò)對(duì)X、Y、Z0、Z3集合的整體觀察，發(fā)現(xiàn)不僅僅是Z0和Z3集合，X與Y集合之間也是以T3的音程距離來(lái)進(jìn)行音樂(lè)發(fā)展的，整個(gè)X集合都以T3的關(guān)系與Y集合一開(kāi)始出現(xiàn)的3個(gè)音B、F、E完全符合（譜例4）。因此，當(dāng)音程距離關(guān)系為T(mén)3時(shí)，決定了（Z0，Z3）以及（X，Y）集合中的IFUNC最大值。

再來(lái)看X和Z0以及Y和Z3的映射關(guān)系，在X集合中，開(kāi)始的第一個(gè)音和最后一個(gè)音分別映射Z0集合的最后一個(gè)音及倒數(shù)第二個(gè)音;而Y集合中，同樣第一個(gè)音映射Z3集合的最后一個(gè)音及倒數(shù)第二個(gè)音，從譜面分析來(lái)看，配合crescendo的漸強(qiáng)處理進(jìn)一步體現(xiàn)了空間上的映射結(jié)果，這也是列文在著作中一直強(qiáng)調(diào)的空間（space）的映射作用，這個(gè)對(duì)比結(jié)果包含了各個(gè)方面的因素。同時(shí)，Z0及Z3集合的內(nèi)部同樣以T3的關(guān)系映射，將這兩個(gè)集合的固定音型分為兩個(gè)兩音組，那么，Z0的前兩個(gè)音（A，D）同Z3的前兩個(gè)音（E，A）以及Z0的后兩個(gè)音（C，F(xiàn)）同Z3的后兩個(gè)音（F，B）分別以T3的關(guān)系嚴(yán)格對(duì)稱。

在上述基本分析中，筆者將整個(gè)集合的各種關(guān)系進(jìn)行了一個(gè)距離移位上的關(guān)系分類，下面將用這4組關(guān)系進(jìn)行IFUNC的具體分析。

（一）集合（X，Y）

從旋律的主要集合（X，Y）入手，通過(guò)不同i值的計(jì)算，可得到以下結(jié)果：

i = 0 ?1 ?2 ?3 ?4 ?5 ?6 ?7 ?8 ?9 ?10 ?11

IFUNC（X，Y）（i）= 1 ?2 ?1 ?3 ?1 ?2 ?2 ?2 ?3 ?1 ? 2 ? 1

從上述計(jì)算列表中可以看出所有移位關(guān)系狀態(tài)下（X，Y）集合中的IFUNC值。當(dāng)i=3或i=8時(shí)，X將有3個(gè)音映射在Y中，形成該集合分析狀態(tài)下的IFUNC最大值。在前面的分析中提到過(guò)，當(dāng)集合在T3狀態(tài)下移位時(shí)，X集合中有3個(gè)音全部映射到Y(jié)集合中，這樣產(chǎn)生的結(jié)果與i=3時(shí)的計(jì)算結(jié)果相同，因此本文不再贅述。下面主要對(duì)i=8時(shí)的映射情況進(jìn)行具體分析。

X集合為（A，B，E）， 當(dāng)i=8時(shí)，T8（X）=（E，F(xiàn)，B），觀察樂(lè)譜可以發(fā)現(xiàn)，T8（X）集合剛好映射Y集合中的邊緣化音符（boundary tones）。列文認(rèn)為邊緣化音符是作曲家在創(chuàng)作時(shí)安排在最重要的位置、最能說(shuō)明音樂(lè)特點(diǎn)的音符。B是Y集合中的第一個(gè)音，F(xiàn)是Y集合的最后一個(gè)音，而E則是Y集合中的最高音。也就是說(shuō)，T8（X）以邊緣化音符的特征強(qiáng)調(diào)i=8的重要性，從另一個(gè)分析層面上烘托i=3的關(guān)系，它們共同促成了（X，Y）集合中IFUNC最大值所起到的對(duì)音樂(lè)的結(jié)構(gòu)作用。事實(shí)上，從“轉(zhuǎn)換”角度來(lái)看，（E，F(xiàn)，B）就是X的另一種轉(zhuǎn)換關(guān)系（譜例5），而邊緣化音符所帶來(lái)的聽(tīng)覺(jué)突出感更應(yīng)該值得我們注意。

觀察X8中3個(gè)音的出現(xiàn)順序可發(fā)現(xiàn)，（B，E，F(xiàn)）剛好是（A，B，E）的逆行倒影。當(dāng)然，在IFUNC概念里面是不贊成運(yùn)用這樣的關(guān)系作為分析點(diǎn)的，列文的“注入集合”概念專門(mén)闡述了關(guān)于倒影在“廣義音程與變換”中的重要作用，筆者在已完成的論文《“轉(zhuǎn)換理論”的集合分析初探——以達(dá)拉皮科拉〈安娜莉貝拉的音樂(lè)札記〉No.5為例》 ?中也詳細(xì)分析了列文關(guān)于倒影的運(yùn)用。

（二）集合（Z0，Z3）

前文提過(guò)，Z0及Z3集合是以T3關(guān)系進(jìn)行移位的，因而i=3時(shí)，它們同樣能夠得到映射的最大值。將i值全部計(jì)算以后將得到如下結(jié)果。

i = 0 ?1 ?2 ?3 ?4 ?5 ?6 ?7 ?8 ?9 ?10 ?11

IFUNC（Z0，Z3）（i）= 0 ?0 ?2 ?4 ?2 ?0 ?0 ?0 ?2 ?4 ? 2 ? 0

此外，當(dāng)i=9時(shí)候，Z0集合映射到Z3的數(shù)值同樣為最大值，因此Z3=T9（Z0）。那么，對(duì)于T9的重要性，作曲家是如何通過(guò)技術(shù)手法來(lái)體現(xiàn)的呢？雖然從譜面來(lái)看，作曲家將T9的關(guān)系隱藏了起來(lái)，并沒(méi)有顯示在音樂(lè)所包含的音級(jí)中，但是這種隱藏又是不完全的，作曲家將T9的關(guān)系用在節(jié)奏效果中進(jìn)行突出。比如，作曲家將Z0及Z3集合的音進(jìn)行分解組合，得到了音程距離為9的配對(duì)（譜例6）。

從譜例6的組合可以看出，當(dāng)對(duì)Z0及Z3集合進(jìn)行首尾及中部對(duì)稱的組合搭配時(shí) ，可以得到音程距離為9的結(jié)果。對(duì)此，列文還從另一個(gè)層面進(jìn)行了分析：Z0的前兩個(gè)音都以直接距離 ?7同Z3的后兩個(gè)音得到該結(jié)果，而后兩個(gè)音則以直接距離3同Z3的前兩個(gè)音得到該結(jié)果（譜例7），從十六分音符節(jié)奏的前后對(duì)應(yīng)關(guān)系上體現(xiàn)了i=9的內(nèi)在的影響，細(xì)分了兩個(gè)音組之間的對(duì)稱關(guān)系。列文對(duì)該結(jié)果做了如下解釋：“這意味著：在兩個(gè)間隔7個(gè)十六分音符的音之間的音高間隔距離為9?！?從這個(gè)結(jié)論可以看出，列文對(duì)于作品的音級(jí)分析是立體的、全面的，不僅僅局限于對(duì)音級(jí)音高關(guān)系的分析，還包含了節(jié)奏關(guān)系以及前后音符之間的空間距離（space），這樣的分析結(jié)果讓分析的立體感躍然紙上，仿佛我們?cè)诜治鲋幸材軌蚋玫馗Q探到作曲家在創(chuàng)作作品時(shí)的那種立體空間思維。

（三）集合（X，Z0）及（Z3，Y）

在集合關(guān)系（X，Z0）及（Z3，Y）中，整個(gè)i值的計(jì)算都沒(méi)有完全等同的最大值。但巧合的是，當(dāng)i=（0，5，6，11）時(shí)，X集合中會(huì)有2個(gè)音映射到Z0中，形成該集合映射的最大值;當(dāng)i=（0，5，6，11）時(shí)，Z3集合中有3個(gè)音映射到Y(jié)集合中，形成該組合的映射最大值。這樣的巧合，除了讓我們感嘆作曲家在創(chuàng)作時(shí)的精妙設(shè)計(jì)以外，也讓我們對(duì)IFUNC于作品的細(xì)節(jié)分析有了更進(jìn)一步的了解，為這一概念所帶來(lái)的強(qiáng)大分析力所嘆服。

但是，從內(nèi)部結(jié)構(gòu)來(lái)觀察，它們的映射情況又是不同的。在X及Z0的組合中，映射的音是輪換的：當(dāng)i=（0，5）時(shí)，X集合映射Z0集合的后兩個(gè)音（E，A）;當(dāng)i=（6，11）時(shí)，X集合映射Z0集合的前兩個(gè)音（A，D）。而在Z3及Y集合中確是不同的：當(dāng)i=（0，6）時(shí)，映射Y集合中的前兩個(gè)音及最后一個(gè)音（B，F(xiàn)，F(xiàn)）;當(dāng)i=（5，11）時(shí)，映射Y集合中的前兩個(gè)音及最高音（B，F(xiàn)，E）。由于（Z3，Y）的映射情況不完全相同， 無(wú)法做出有效的普遍性分析，但是從（Z3，Y）的具體映射來(lái)觀察，映射重復(fù)的音也符合邊緣化音符的考慮結(jié)果，Y集合的第一個(gè)音、最后一個(gè)音以及最高音都在映射范圍之內(nèi)（譜例3）。依照列文的觀點(diǎn)，這是集合與集合之間內(nèi)部聯(lián)系更加密切的具體體現(xiàn)。同時(shí)，Z3集合所映射到Y(jié)集合的3個(gè)音全部符合福特的音級(jí)集合理論中的3-5集合的特征，但如果僅從3-5集合的分析角度出發(fā)的話，我們就無(wú)法得到如此立體并更具邏輯性的分析結(jié)果。

結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)以上分析可以清晰地看到：基于IFUNC的概念對(duì)韋伯恩的作品Four Pieces for Violin and Piano（Op.7，No.3）所做出的分析，不僅囊括了音級(jí)關(guān)系，還包含了節(jié)奏關(guān)系以及空間關(guān)系這兩大重要因素，再配合列文的邊緣化音符的概念，突破了傳統(tǒng)的音級(jí)集合的分析方法，使作品分析更加深入、更加全面。這種在平面分析基礎(chǔ)上加入的立體架構(gòu)的分析，讓理論分析者能夠以更加立體的分析視角對(duì)音樂(lè)作品進(jìn)行深層次解讀。那么，我們是否可以做出推斷，這樣的立體架構(gòu)能夠讓我們?cè)诜治鲎髌窌r(shí)更明了作曲家立體的創(chuàng)作思維。這些新的分析視角有別于以往的音級(jí)分析，新的分析觀點(diǎn)得到了新的分析結(jié)果和分析關(guān)系，這也是列文自己在書(shū)中所一再?gòu)?qiáng)調(diào)的。

列文在書(shū)中談到了兩方面關(guān)于IFUNC的作用：第一，IFUNC（X，Y）（i）告訴我們?cè)诩蟈和集合Y的成員（元素）之間包含了多種距離i的可能性;第二，IFUNC在解釋距離或節(jié)奏基礎(chǔ)等問(wèn)題上比其它方法更為細(xì)致 。從上述這兩個(gè)觀點(diǎn)，可以看出列文對(duì)于這一概念所帶來(lái)的新的分析點(diǎn)和路徑要求是非常清晰和明確的。

IFUNC在無(wú)調(diào)性集合理論中的獨(dú)特分析視角和觀點(diǎn)，為音樂(lè)作品分析注入了新的能量，它能夠幫助分析者更好地架構(gòu)立體分析概念，由此可能會(huì)更為貼近作曲家的創(chuàng)作思維，從另一種不同的角度去洞察作品帶給我們的一切。但是，從目前的成果來(lái)看，在無(wú)調(diào)性音樂(lè)作品的分析中運(yùn)用該理論還不是十分普遍，分析成果相對(duì)較少。筆者僅以此文拋磚引玉，期待同行在這一分析領(lǐng)域有更多新的探索。

本篇責(zé)任編輯 張放

參考文獻(xiàn)：

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[3]高暢.后調(diào)性理論基礎(chǔ)[M].北京：人民音樂(lè)出版社，2018.

收稿日期：2019-01-05

基金項(xiàng)目：2016年四川音樂(lè)學(xué)院資助科研項(xiàng)目“大衛(wèi)·列文《轉(zhuǎn)換理論》中的‘距離集合研究”（CYXS2016021）。

作者簡(jiǎn)介：黃珩（1982— ），女，四川音樂(lè)學(xué)院音樂(lè)基礎(chǔ)教育部講師（四川成都 610021）。