數(shù)列問題中求最值的幾個策略

■楊 柳

求解最值問題一般來說是通過函數(shù)來達到目的的，而數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，所以數(shù)列中許多最值問題的解決也是通過構(gòu)造函數(shù)的方式來解決的，通常情況下是構(gòu)造二次函數(shù)。但是，數(shù)列有別于函數(shù)的特殊性，有其自身的規(guī)則與特性，所以也會有自身獨到的解題途徑與方式。

一、通過二次函數(shù)獲取通項的最小值

例1已知數(shù)列{an}中，an=2n2-18n+5，它的最小項是( )。

A.第4項

B.第5項

C.第6項

D.第4項或第5項

分析：an=2n2-18n+5=2-，而4和5與的距離相等。答案為D。

點評：利用二次函數(shù)解決數(shù)列的最值問題時，一定要注意n的取值問題。由于n是整數(shù)，故像該題，n就不能取，而是取與相鄰的兩個整數(shù)值4和5。

二、構(gòu)造二次函數(shù)求解前n項和的最小值

例2已知Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，若對任意的n∈N*，滿足an+1=an+a4，且a5=4，則Sn的最小值為( )。

A.6 B.-6

C.2 D.3

分析：在an+1=an+a4中，令n=3，則a4=a3+a4，得a3=0。令n=4，則a5=4=2a4，即a4=2。于是an+1-an=2，故數(shù)列{an}是首項為-4，公差為2的等差數(shù)列，可得。故n=2或n=3時，Sn的最小值為-6。

點評：等差數(shù)列的前n項和公式本身就是一個關(guān)于n的二次函數(shù)，即Sn=na1+，所以更應(yīng)當重視通過二次函數(shù)求解等差數(shù)列前n項和的最值問題。

三、通過通項公式確定前n項和的最小值

例3已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=2，a4=14，且，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求Tn的最小值。

分析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則。因為a1=2，所以an=4n-2，則。

因為數(shù)列{bn}的首項是-29，公差為2，所以，所以數(shù)列{bn}的前n項和Tn的最小值為-225。

點評：數(shù)列{an}的通項公式an本身就是一個關(guān)于n的函數(shù)，當?shù)炔顢?shù)列的公差d＞0時，則等差數(shù)列就相當于一個增函數(shù)；當?shù)炔顢?shù)列的公差d＜0時，則等差數(shù)列就相當于一個減函數(shù)。如果明確了從哪項開始為正或為負，就可以獲取和的最大值或最小值。