概念課：潤(rùn)“物”有“聲”

江蘇省南京市板橋中學(xué) 陳方圓

一、引言

數(shù)學(xué)問(wèn)題歸根結(jié)底是概念問(wèn)題，“概念是數(shù)學(xué)思維的核心和邏輯起點(diǎn)”，從概念出發(fā)，用基本的數(shù)學(xué)知識(shí)解決基本的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)。概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心之一，然而受應(yīng)試教育的影響，在實(shí)際的概念教學(xué)中，弱化概念，強(qiáng)化習(xí)題講解時(shí)有發(fā)生，這極大地影響了學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解和思想滲透，以致有些學(xué)生覺(jué)得“只要會(huì)做題，概念是否理解不重要”這樣錯(cuò)誤的認(rèn)知。

2018 年12 月25 日有幸開(kāi)設(shè)了一節(jié)市級(jí)公開(kāi)課，這節(jié)課使我從“知”“行”“果”三個(gè)層面明白：理解概念，重視概念的地位和作用；建構(gòu)概念，精心設(shè)計(jì)精致的教學(xué)環(huán)節(jié)，促進(jìn)學(xué)生良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成；延伸概念，實(shí)現(xiàn)概念教學(xué)的育人價(jià)值。下面筆者將結(jié)合《平面向量坐標(biāo)運(yùn)算》這一節(jié)課的教學(xué)片段，闡述與分析教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖及教后反思。

二、案例

1.復(fù)習(xí)引入

設(shè)問(wèn)：請(qǐng)大家回憶一下，我們學(xué)習(xí)了向量的哪些內(nèi)容？

生答：向量的定義→向量的表示→向量的運(yùn)算→向量的關(guān)系→平面向量基本定理。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生明確之前是從“形”的層面，借助于有向線(xiàn)段，按照“定義→運(yùn)算→關(guān)系”這樣的順序?qū)ζ矫嫦蛄窟M(jìn)行研究的，很自然地，學(xué)生就會(huì)去想能不能從“數(shù)”的層面來(lái)研究向量呢？本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容就順理成章地展開(kāi)了。

2.學(xué)生活動(dòng)

（1）畫(huà)一畫(huà)

設(shè)問(wèn)：畫(huà)的過(guò)程中，有什么感受？

生1：正交基底畫(huà)起來(lái)更方便。

設(shè)問(wèn)：如果一個(gè)向量要用一組基底表示，你們會(huì)選擇什么樣的基底？

生2：正交基底。

設(shè)問(wèn)：基底的模長(zhǎng)為多少較好？

生3：模長(zhǎng)為1。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)比，讓學(xué)生直觀(guān)地感受正交基底的優(yōu)勢(shì)，讓學(xué)生通過(guò)感知習(xí)得知識(shí)。

（2）做一做

設(shè)問(wèn)：它們有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

生（大部分）：可以。

【設(shè)計(jì)意圖】選擇從特殊入手，讓學(xué)生觀(guān)察異同，發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，總結(jié)結(jié)論，進(jìn)而歸納出一般結(jié)論。選擇“特殊→一般”的思維模式，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。

3.概念建構(gòu)

（1）平面向量的坐標(biāo)表示

設(shè)問(wèn)：平面內(nèi)的點(diǎn)也是用坐標(biāo)表示的，那么點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)有關(guān)系嗎？觀(guān)察圖（1）。

圖（1）

圖（2）

圖（3）

設(shè)問(wèn)：圖（1）生7 答得正確，那圖（2）呢？怎樣說(shuō)才準(zhǔn)確？

設(shè)問(wèn)：那向量的起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)怎么辦？

生8：將向量的起點(diǎn)平移到原點(diǎn)。

例1：如圖（3），已知O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A 在第一象限，，求的坐標(biāo)。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)圖形的直觀(guān)認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)向量的坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，這一關(guān)系與向量坐標(biāo)的定義是等價(jià)的，緊接著安排一個(gè)例題，訓(xùn)練學(xué)生“一般→特殊”的解題思維。

（2）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)問(wèn)：研究完向量的坐標(biāo)表示，下面我們要研究什么了？

生答（齊聲）：運(yùn)算（加、減、數(shù)乘）。

追問(wèn)：拿到問(wèn)題時(shí)，通常我們?cè)趺醋觯?/p>

生9：先分析一下條件。

追問(wèn)：條件是什么？

追問(wèn)：向量的坐標(biāo)是怎么定義的呢？（學(xué)生恍然大悟）

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)于運(yùn)算規(guī)則的教學(xué)，往往會(huì)走入注重運(yùn)用而忽略由來(lái)的誤區(qū)，通過(guò)談話(huà)方式設(shè)置追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，從而找到解決問(wèn)題的本原,進(jìn)而讓學(xué)生養(yǎng)成遇到問(wèn)題回歸概念的習(xí)慣。

后面關(guān)于已知兩點(diǎn)的向量的坐標(biāo)表示和平面向量關(guān)系中兩向量相等的坐標(biāo)表示的教學(xué)設(shè)計(jì)和設(shè)計(jì)意圖與坐標(biāo)運(yùn)算一致，就不再一一贅述。

4.課堂小結(jié)

設(shè)問(wèn)：接下來(lái)我們將學(xué)什么？本節(jié)課你的收獲是什么？

生10：平面向量平行和垂直的坐標(biāo)表示。

生11：向量的坐標(biāo)表示、坐標(biāo)運(yùn)算、向量相等的坐標(biāo)表示。

設(shè)問(wèn)：知識(shí)層面的沒(méi)有了，一節(jié)數(shù)學(xué)課中除了知識(shí)，還有什么值得我們收獲？（引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出思想方法）

生（部分）：特殊到一般、一般到特殊、數(shù)形結(jié)合。（這些是本節(jié)課用得最多的思想，還是不肯放棄，想讓學(xué)生說(shuō)出來(lái)）

設(shè)問(wèn)：還有遇到問(wèn)題無(wú)從下手時(shí)，怎么辦?

生12：回歸概念，從概念入手。

【設(shè)計(jì)意圖】類(lèi)比前面從形的層面研究向量，研究流程：定義→運(yùn)算→關(guān)系，明確本節(jié)課就是從數(shù)的層面對(duì)前面的知識(shí)進(jìn)行改造。小結(jié)不僅有知識(shí)層面的回顧，更有思想、方法的歸納，為學(xué)生的思維發(fā)展積淀和學(xué)生的可持續(xù)學(xué)習(xí)提供保障。

三、反思

1.潤(rùn)“知”——理解概念“透”

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)應(yīng)用的“根”和“本”，根深才能長(zhǎng)成參天大樹(shù)，本固才能立于不敗之地。數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，新的概念形成后，在概念的引領(lǐng)下可以推出運(yùn)算、性質(zhì)、關(guān)系等許多相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，使得知識(shí)體系更完整、更全面，學(xué)生習(xí)得知識(shí)也順理成章。概念是事物根本屬性的反映，是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，抓住了概念就是抓住了本質(zhì)，只有重視概念教學(xué)，才能把握數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂。

2.潤(rùn)“行”——建構(gòu)概念“精”

（1）“主線(xiàn)”精致

新課程理念中強(qiáng)調(diào)，突出數(shù)學(xué)主線(xiàn)，凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯。一節(jié)課要突出主線(xiàn)，有了主線(xiàn)，就有了“主心骨”，整體脈絡(luò)也清晰，沒(méi)有主線(xiàn)，知識(shí)就如一盤(pán)散沙。從教學(xué)環(huán)節(jié)層面有主線(xiàn)，從知識(shí)層面概念課也要有“主線(xiàn)”。以本節(jié)課為例，平面向量坐標(biāo)表示從定義，到向量的運(yùn)算（加、減法、數(shù)乘），再到向量的關(guān)系（相等、平行、垂直），向量章節(jié)向量的幾何表示也是如此。概念課教學(xué)有了主線(xiàn)貫穿，課就更加精致了。

（2）“活動(dòng)”精彩

概念的學(xué)習(xí)不是灌輸數(shù)學(xué)概念的內(nèi)容，而是帶領(lǐng)學(xué)生去建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，在此過(guò)程中必須創(chuàng)設(shè)合理的、精致的活動(dòng)。學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、計(jì)算、作圖、證明等基本活動(dòng)，更直觀(guān)地感受，更真實(shí)地體驗(yàn)，從而突破重點(diǎn)難點(diǎn)，掃除思維的障礙，從感性認(rèn)識(shí)向理性認(rèn)識(shí)飛躍，從而更深刻地理解概念。以本節(jié)課為例，本節(jié)課中為什么選擇正交基底呢？通過(guò)畫(huà)一畫(huà)，讓學(xué)生對(duì)比感知，學(xué)生很自然地選擇方便的正交基底。再比如，向量是在物理的背景下抽象而來(lái)，“形”的直觀(guān)感受強(qiáng)烈，突然用數(shù)也能表示具有方向的向量，這在學(xué)生的思維上是有跨度和難度的，因此從學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，選取了幾個(gè)用 表示的特殊的向量，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量和實(shí)數(shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)，向量可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示，然后再上升到一般情況。從特殊到一般的推理方式可以很好地突破學(xué)生的思維障礙，幫助學(xué)生理解。概念課教學(xué)有了“活動(dòng)”的引領(lǐng)，課堂形式多樣化,課堂自然精彩。

（3）“問(wèn)題”精準(zhǔn)

問(wèn)題是學(xué)生思維的源泉，更是思維的動(dòng)力。教學(xué)中，教師要將概念的理解轉(zhuǎn)化為精準(zhǔn)的驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題，學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中深度思考，提升能力。以本節(jié)課為例，已知，求學(xué)生有點(diǎn)懵，這時(shí)老師設(shè)置了一系列的追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生回歸概念本身，從而很快解決問(wèn)題。概念課教學(xué)不僅僅讓學(xué)生獲得知識(shí)本身，更重要的是通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成從基本概念出發(fā)思考問(wèn)題，解決問(wèn)題的習(xí)慣，提高解決問(wèn)題的能力。

3.潤(rùn)“果”——延伸概念“自然”

學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過(guò)學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀(guān)念、必備品格和關(guān)鍵能力。真正的概念學(xué)習(xí)過(guò)程也是學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不斷形成、發(fā)展的過(guò)程。在教學(xué)中要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)自然而然地滲透核心素養(yǎng)，讓學(xué)生在潛移默化中習(xí)得。本節(jié)課中，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算貫穿其中，可見(jiàn)概念課教學(xué)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的沃土，教師要讓核心素養(yǎng)在概念課教學(xué)的沃土上自然地生根、開(kāi)花、結(jié)果。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，除了獲取必要的數(shù)學(xué)知識(shí)和掌握必要的數(shù)學(xué)技能之外，更重要的是獲得基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。概念課蘊(yùn)含豐富，數(shù)學(xué)教師要與時(shí)俱進(jìn)，更新觀(guān)念，用自己精準(zhǔn)的理解設(shè)計(jì)精致的教學(xué)，讓學(xué)生在精彩的課堂中收獲精美的“數(shù)學(xué)”。