隨機(jī)變量分布函數(shù)計(jì)算的問題轉(zhuǎn)化方法

楊高翔 吳航航

(安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 陜西 安康 725000)

在隨機(jī)變量分布函數(shù)一節(jié)的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生都難以理解分布函數(shù)的概念，在計(jì)算隨機(jī)變量分布函數(shù)時感到無從下手。為幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)難點(diǎn)，文獻(xiàn)[1— 4]已從不同的方面就分布函數(shù)的教學(xué)問題進(jìn)行了探討。下面，針對隨機(jī)變量分布函數(shù)的計(jì)算問題，再介紹一種問題轉(zhuǎn)化方法。

關(guān)于隨機(jī)變量分布函數(shù)，教材[5]給出的定義是：設(shè)X為隨機(jī)變量，則下面這個函數(shù)就是X的分布函數(shù)。

F(x)=P(X≤x),x∈(-∞,+∞)

上述定義不僅包含了對離散型隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)規(guī)律的描述，也包含對連續(xù)型隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)規(guī)律的描述。

1 離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律如下，求X的分布函數(shù)F(x)。

X-1012P0.20.10.30.4

將問題轉(zhuǎn)化為：已知X=-1,0,1,2，且x∈(-∞,+∞)，求滿足不等式X≤x的X值有哪些。

【分析】 對于轉(zhuǎn)化后的問題，要得到滿足不等式X≤x的X值有哪些，則需討論x的取值情況。

當(dāng)x<-1時，滿足不等式X≤x的X值不存在；

當(dāng)-1≤x<0時，滿足不等式X≤x的X值為-1；

當(dāng)0≤x<1時，滿足不等式X≤x的X值為-1,0；

當(dāng)1≤x<2時，滿足不等式X≤x的X值為-1,0,1；

當(dāng)x≥2時，滿足不等式X≤x的X值為-1,0,1,2；

根據(jù)上述x的取值情況，結(jié)合隨機(jī)變量X的概率分布律，則容易得到隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。

當(dāng)x<-1時，因滿足不等式X≤x的X值不存在，所以X的分布函數(shù)為：

F(x)=P(X≤x)=0

當(dāng)-1≤x<0時，要滿足不等式X≤x，則X=-1；所以，X的分布函數(shù)為：

F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)

當(dāng)0≤x<1時，要滿足不等式X≤x，則X=-1,0；所以，X的分布函數(shù)為：

F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)+P(X=0)

=0.3

當(dāng)1≤x<2時，要滿足不等式X≤x，則X=-1,0,1；所以，X的分布函數(shù)為：

F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)=0.6

當(dāng)x≥2時，要滿足不等式X≤x，則X=-1,0,1,2；所以，X的分布函數(shù)為：

F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1.0

2 連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)如下，求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)。

將問題轉(zhuǎn)化為：已知函數(shù)f(t)在(-∞,+∞)上的表達(dá)式如下，求函數(shù)f(t)在(-∞,x)上的表達(dá)式，其中x∈R。

【分析】 對于轉(zhuǎn)化后的問題，要得到函數(shù)f(t)在(-∞,x)上的表達(dá)式，同樣需要討論x的取值情況。

當(dāng)x<0時，函數(shù)f(t)在(-∞,x)上的表達(dá)式為：

f(t)=0,t∈(-∞,x)

當(dāng)0≤x<1時，函數(shù)f(t)在(-∞,x)上的表達(dá)式為：

當(dāng)1≤x<2時，函數(shù)f(t)在(-∞,x)上的表達(dá)式為：

當(dāng)x≥2時，函數(shù)f(t)在(-∞,x)上的表達(dá)式為：

根據(jù)上述表達(dá)式，可非常容易地得到隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。

當(dāng)x<0時，隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：

當(dāng)0≤x<1時，隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：

當(dāng)1≤x<2時，隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：

當(dāng)x≥2時，隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：

把離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)計(jì)算問題，轉(zhuǎn)化為主要討論滿足一類不等式的取值問題；把連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)計(jì)算問題，轉(zhuǎn)化為主要討論已知函數(shù)在負(fù)半無窮區(qū)間上的表達(dá)式問題。通過這種問題轉(zhuǎn)化，計(jì)算隨機(jī)變量分布函數(shù)的問題就由難變易了。