基于生活經(jīng)驗(yàn)的“勾股定理的應(yīng)用”教學(xué)設(shè)計(jì)

☉江蘇省無(wú)錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué) 李文杰

“勾股定理的應(yīng)用”一節(jié)的教學(xué)，不但能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)基本原理形成深刻認(rèn)識(shí)，而且能有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模、方程等思想.為了達(dá)成上述目的，本文指出教師應(yīng)該從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)設(shè)計(jì)各種情境，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.

一、提出問(wèn)題

勾股定理是一個(gè)應(yīng)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)原理，它兼具很強(qiáng)的代數(shù)性質(zhì)和幾何味道，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，需要學(xué)生充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模、方程等思想，積極發(fā)現(xiàn)并構(gòu)建直角三角形，并從中努力發(fā)掘各邊的具體特點(diǎn)，最終完成相關(guān)問(wèn)題的解決.由此可見(jiàn)，“勾股定理的應(yīng)用”一節(jié)的教學(xué)，不僅強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，更強(qiáng)調(diào)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和基本方法.

從實(shí)際問(wèn)題中提煉出直角三角形的模型，并展開(kāi)問(wèn)題探究，是本節(jié)課的重點(diǎn)所在，因此筆者認(rèn)為，教師應(yīng)該充分研究學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，并由此設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，指導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)探索，讓學(xué)生在問(wèn)題研究的過(guò)程中提升認(rèn)識(shí)水平，發(fā)展相關(guān)的數(shù)學(xué)研究能力.

二、教學(xué)片段展示

1.依托學(xué)生的校園生活實(shí)施導(dǎo)入

教學(xué)過(guò)程中，教師要善于從學(xué)生的校園生活出發(fā)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)思考.

師：每周一我們都有例行的升旗儀式，你知道我們學(xué)校的旗桿高度是多少嗎？有什么方法來(lái)對(duì)它進(jìn)行測(cè)量呢？通過(guò)今天有關(guān)勾股定理應(yīng)用的學(xué)習(xí)，你們將能很輕松地解決這個(gè)問(wèn)題.（教師通過(guò)ppt展示升旗儀式的場(chǎng)景）

師：之前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)勾股定理，請(qǐng)回顧一下它的基本內(nèi)容.

生：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

師：不錯(cuò)，勾股定理說(shuō)明的是直角三角形中三條邊的長(zhǎng)度關(guān)系，也就是說(shuō)，結(jié)合這個(gè)原理，若已知兩條邊可以確定第三條邊的長(zhǎng)度.在使用這個(gè)原理進(jìn)行問(wèn)題分析之前，我們要明確兩個(gè)問(wèn)題：（1）對(duì)應(yīng)三角形是直角三角形嗎？（2）這個(gè)直角三角形的哪條邊是斜邊？實(shí)際上，勾股定理不但能夠用于數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析，在生活中也有著非常廣泛的應(yīng)用.

2.結(jié)合典型生活實(shí)例展開(kāi)探究

在指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)原理進(jìn)行應(yīng)用研究時(shí)，教師要善于結(jié)合典型的生活實(shí)例創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)探索，并讓學(xué)生在探索過(guò)程中進(jìn)一步熟悉數(shù)學(xué)原理，提升問(wèn)題分析能力.

片段1：初步應(yīng)用.

問(wèn)題情境（1）：如圖1所示為一個(gè)太陽(yáng)能熱水器，已知其支架AB與BC垂直，且兩邊的長(zhǎng)度分別為90cm和120cm，請(qǐng)分析真空管AC的長(zhǎng)度.

學(xué)生結(jié)合題意展開(kāi)分析，從題目情境中提煉出直角三角形模型，由此將一個(gè)生活化的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問(wèn)題，這其實(shí)正是建模思想的訓(xùn)練.學(xué)生直接根據(jù)勾股定理，即可完成這個(gè)問(wèn)題的求解.

問(wèn)題情境（2）：如圖2所示為學(xué)校的一個(gè)花圃，它是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)和寬分別為4m和3m，但是由于部分學(xué)生調(diào)皮，喜歡避開(kāi)拐角走捷徑，因此就讓其中間形成了一條路，請(qǐng)分析：這樣走其實(shí)只少走了多少路？

師：通過(guò)題意的分析，你們看到了什么圖形？

生：一個(gè)直角三角形.

師：哪來(lái)的直角？

生：因?yàn)榛ㄆ允情L(zhǎng)方形的，四個(gè)角都是直角.

師：不錯(cuò)，你能求解這個(gè)問(wèn)題嗎？

學(xué)生經(jīng)過(guò)思考后，給出問(wèn)題的解決思路和結(jié)果.教師則順勢(shì)指出：實(shí)際上，踩踏草坪也沒(méi)有少走多少路，這是一種非常不道德的行為，應(yīng)堅(jiān)決予以制止.

片段2：逐步提升.

圖1

圖2

問(wèn)題情境（3）：校園中的荷花池是一道美麗的風(fēng)景，如圖3所示，微風(fēng)拂過(guò)，荷花搖曳，煞是動(dòng)人.在數(shù)學(xué)史上，曾經(jīng)有一個(gè)數(shù)學(xué)家通過(guò)一首小詩(shī)提出問(wèn)題：平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊；漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠(yuǎn)；能算諸君請(qǐng)解題，湖水如何知深淺？

教師讓學(xué)生閱讀問(wèn)題，要求學(xué)生提煉其中的數(shù)學(xué)信息，并給予一定的時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行深入思考.

師：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合詩(shī)的內(nèi)容，將幾何圖形畫(huà)在紙面上，并將已知條件和所求量標(biāo)記在圖形的邊側(cè).

當(dāng)學(xué)生完成任務(wù)后，教師將部分學(xué)生繪制的圖形通過(guò)實(shí)物展臺(tái)投影出來(lái)，讓學(xué)生相互比對(duì)，并校準(zhǔn)認(rèn)識(shí).

師：在上述圖形中，貌似只是已知一條邊，我們?cè)趺创_定其他邊呢？

生：利用方程處理，設(shè)一條邊為x，則另外一條邊可以表示為x+0.5.

師：很好，方程思想是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵性思路，請(qǐng)大家繼續(xù)完善思路，并求得結(jié)果.

學(xué)生完成問(wèn)題的分析，教師則要求學(xué)生進(jìn)一步總結(jié)解題的思路和基本步驟.

片段3：能力升華.

問(wèn)題情境（4）：我們還是回歸導(dǎo)入階段的問(wèn)題，你能設(shè)法測(cè)定學(xué)校操場(chǎng)上旗桿的高度嗎？為你提供的工具包括旗桿、升旗繩子和皮尺，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)方案，并結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明相關(guān)計(jì)算過(guò)程.

教師引導(dǎo)學(xué)生從荷花的問(wèn)題中尋找啟發(fā)和靈感，并安排學(xué)生進(jìn)行合作探究.師：大家的討論是否已經(jīng)有結(jié)果了？請(qǐng)進(jìn)行展示.生：將繩子拉直，然后可以構(gòu)建出一個(gè)直角三角形.師：說(shuō)得不夠形象，你能到黑板上畫(huà)出圖形，并進(jìn)行說(shuō)明嗎？

圖3

生：（板演繪圖）將繩子向著側(cè)邊拉，這樣就可以形成如圖4所示的直角三角形.

圖4

師：的確形成了一個(gè)直角三角形，可是這個(gè)三角形中只能直接測(cè)定地面上的那條邊，其他的邊（旗桿長(zhǎng)和繩子長(zhǎng)）都無(wú)法測(cè)定，怎么解決問(wèn)題呢？

生：可以利用方程思想，先將繩子豎直著拉，這樣可以確定繩子比旗桿長(zhǎng)多少，后邊的問(wèn)題處理與荷花的問(wèn)題處理相似.

師：大家同意他的做法嗎？

其他學(xué)生紛紛表示贊同.

3.課堂小結(jié)

師：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲和體會(huì)呢？

學(xué)生展開(kāi)總結(jié)，基本內(nèi)容包括以下幾點(diǎn)：（1）加深了對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí)，并掌握了基本的方法；（2）對(duì)生活化的問(wèn)題情境要善于提煉信息，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模完成問(wèn)題分析；（3）如果直角三角形中只知道一條邊的具體長(zhǎng)度，則可以結(jié)合勾股定理通過(guò)建立方程完成問(wèn)題分析；（4）運(yùn)用勾股定理解決問(wèn)題，關(guān)鍵是要發(fā)現(xiàn)直角三角形，如果沒(méi)有現(xiàn)成的直角三角形，就需要構(gòu)建直角三角形.

三、教學(xué)反思

如何更加有效地激活學(xué)生是教學(xué)設(shè)計(jì)最重要也是最基本的目的所在.在本課的設(shè)計(jì)中，教師從學(xué)生的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，多方位設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，有效引發(fā)學(xué)生的共鳴，讓學(xué)生更加主動(dòng)地參與到問(wèn)題的探究中來(lái).

首先，本課的設(shè)計(jì)著眼于學(xué)生的興趣激起，教師依據(jù)對(duì)教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)，從學(xué)生的校園生活出發(fā)，發(fā)掘有關(guān)聯(lián)的教學(xué)素材，創(chuàng)設(shè)更加鮮活的情境，將重點(diǎn)內(nèi)容融入其中，讓整個(gè)教學(xué)更加生動(dòng)且流暢，學(xué)生的學(xué)習(xí)也更加投入且主動(dòng).

其次，本課側(cè)重于用實(shí)際問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生探究，充分訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，讓學(xué)生在真實(shí)的場(chǎng)景中理解知識(shí)的真正價(jià)值，感受最純粹的數(shù)學(xué)探究過(guò)程.而且在設(shè)計(jì)過(guò)程中，教師還積極貫徹“由淺入深、循序漸進(jìn)”的教學(xué)原則，設(shè)計(jì)逐級(jí)提升的問(wèn)題臺(tái)階，讓學(xué)生充分感受問(wèn)題的發(fā)展，并獲得相應(yīng)的提升.

最后，教師在教學(xué)過(guò)程中還遵循“不憤不啟，不悱不發(fā)”的教學(xué)原理，為學(xué)生的自主思考和合作學(xué)習(xí)搭建平臺(tái)，放手讓學(xué)生展開(kāi)深度分析和探索，當(dāng)學(xué)生的思路受阻時(shí)，教師沒(méi)有替代學(xué)生的思考，而是進(jìn)行啟發(fā)，或組織學(xué)生討論，由此引導(dǎo)學(xué)生突破認(rèn)識(shí)的瓶頸，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的突破.在這樣的課堂上，學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，他們的能力得到了切實(shí)的提升.