淺談向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)的證明

何小琴

摘 要：本文分別對(duì)向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的證明方法進(jìn)行了歸納，其中包括了定義法、矩陣秩法、方程組法、反證法、利用性質(zhì)定理以及利用極大無關(guān)組的證明方法。

關(guān)鍵詞：向量組;證明;線性相關(guān);線性無關(guān)

一、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念及其相關(guān)定義、定理

（四）反證法

反證法是我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中很常用到的方法，一些題目通過直接證明結(jié)論是比較不容易的，所以就可以從結(jié)論的反面入手，通過假設(shè)得到與結(jié)論相矛盾的結(jié)果，證得結(jié)論成立. 證明向量組線性相關(guān)性中反證法一般主要運(yùn)用于證明線性無關(guān)，首先假設(shè)這個(gè)向量組線性相關(guān)，接著根據(jù)定義推導(dǎo)出是否與題干中的條件矛盾，當(dāng)與條件矛盾時(shí)，則說明假設(shè)不成立，證明出該向量組是線性無關(guān)的.

（五）利用極大無關(guān)組證明

極大無關(guān)組是我們?cè)趯W(xué)習(xí)向量空間的重要一部分，這里我們可以利用極大無關(guān)組證明向量組線性無關(guān)，要運(yùn)用到的是當(dāng)向量組的極大線性無關(guān)組中向量個(gè)數(shù)與該向量組中所含向量的個(gè)數(shù)相等時(shí)，證得向量組線性無關(guān).

四、結(jié)語

本文首先是通過對(duì)向量組線性相關(guān)性的概念及相關(guān)定理進(jìn)行了解，再著重分別歸納了證明向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的方法，證明線性相關(guān)中歸納了定義法、矩陣秩法、方程組法和利用性質(zhì)定理證明，證明線性無關(guān)中歸納了定義法、矩陣秩法、方程組法、反證法、利用極大無關(guān)組證明，其中也對(duì)我們學(xué)習(xí)過的矩陣的秩以及齊次線性方程組的解有了更深刻的理解和運(yùn)用，通過本次歸納總結(jié)讓我們以后的代數(shù)問題解決中起到一定的幫助，也對(duì)今后同學(xué)們的學(xué)習(xí)也能起到點(diǎn)撥的作用。

同時(shí)我通過本次課題研究，對(duì)課題的國內(nèi)外相關(guān)資源的搜索和了解，加強(qiáng)了我的學(xué)科知識(shí)，拓展了向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)證明的思維見解，為自己今后的學(xué)習(xí)和工作打下了良好的基礎(chǔ)，使我受益匪淺.

參考文獻(xiàn)：

[1]張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2007.6.

[2]研究生入學(xué)考試輔導(dǎo)用書編委會(huì).考研數(shù)學(xué)命題人復(fù)習(xí)全書[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2014.3.

[3]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.09.