淺析《一次函數(shù)》中如何求“點(diǎn)的坐標(biāo)”

楊蘊(yùn)芳

【內(nèi)容摘要】本文通過例題講解，讓學(xué)生學(xué)會《一次函數(shù)》中求點(diǎn)坐標(biāo)的四種常見方法：作垂線求點(diǎn)法、單線求點(diǎn)法、雙線求點(diǎn)法和設(shè)點(diǎn)法，為解反比例函數(shù)，二次函數(shù)中類似問題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。通過一題多解，試讓學(xué)生通過探索，思考，比較，靈活選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生解題的靈活度和綜合解題能力。

【關(guān)鍵詞】求點(diǎn)的坐標(biāo) 作垂線求點(diǎn)法 單線求點(diǎn)法 雙線求點(diǎn)法和設(shè)點(diǎn)法

《一次函數(shù)》中求點(diǎn)的坐標(biāo)是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，是學(xué)生必須掌握的基本技能。由點(diǎn)的坐標(biāo)可求圖形的面積、周長，可求直線的解析式等等，故求點(diǎn)的坐標(biāo)也是本章的重點(diǎn)。但是由于求點(diǎn)坐標(biāo)的題目變化多，技巧多，題型多，故有的學(xué)生常常學(xué)完《一次函數(shù)》后，仍應(yīng)用生澀，對如何求“點(diǎn)的坐標(biāo)”望而生畏，故求點(diǎn)的坐標(biāo)也是本章的難點(diǎn)。下面舉例說明此類題目的求解方法，希望能讓學(xué)生系統(tǒng)理解，從而提升學(xué)生的解題能力，并為今后解決反比例函數(shù)和二次函數(shù)中此類題目打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

方法一：垂線段法

根據(jù)點(diǎn)到x（y）軸的距離等于該點(diǎn)的縱坐標(biāo)（橫坐標(biāo)）的絕對值，就可以轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)的坐標(biāo)。為了好稱呼，可叫這種方法為“作垂線求點(diǎn)法”。這是最常規(guī)的求點(diǎn)方法之一。即把求點(diǎn)的坐標(biāo)先轉(zhuǎn)化為求線段的長度，故這種求點(diǎn)方法滲透了轉(zhuǎn)化思想。以下題為例進(jìn)行說明。

例1：一次函數(shù)y=43x+4的圖像分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，在x軸上取一點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則這樣的點(diǎn)C有 個，C點(diǎn)的坐標(biāo)為 .

【思路探尋】：本題滲透了分類思想和數(shù)形結(jié)合思想。先根據(jù)等腰三角形這一條件，可以分為3大類：第一類：AB=AC;第二類：BA=BC;第三類：CA=CB;然后確定圖形，在x軸上大體確定點(diǎn)C的位置。前面兩類都可以輕易求得相關(guān)線段的長度，輕松解決，但第三類求線段的長度，卻不能直接用幾何方法求得，而是設(shè)x列方程的代數(shù)方法求得。體現(xiàn)了求線段的方法的多樣性，提升學(xué)生的應(yīng)變能力。

變式1：把“等腰三角形”改為“直角三角形”呢？

變式2：把“等腰三角形”改為△ABC的面積=4，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

【歸納點(diǎn)評】這道題讓學(xué)生體會到：求點(diǎn)的坐標(biāo)，首先能“定圖”先 “定圖”，圖形很直觀，通過數(shù)形結(jié)合，學(xué)生可以變抽象為具體，降低解題難度。接著優(yōu)先考慮“作垂線求點(diǎn)法”三部曲求點(diǎn)。同時，通過變式題，學(xué)生能及時消化、及時鞏固，提升了學(xué)生的解題能力和靈活應(yīng)用能力。

方法二：單線求點(diǎn)法

已知一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，且該點(diǎn)所在的直線的函數(shù)解析式已知時，可以把已知坐標(biāo)代入解析式求另一半坐標(biāo)。由于只需知道該點(diǎn)所在的一條直線的解析式即可，故稱這種方法為“單線求點(diǎn)法”。同學(xué)們喜歡叫“代一半求一半”。

例2：已知直線y=2x-1上有一點(diǎn)A，到x軸的距離為2，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。（由條件可直接求的一半的坐標(biāo)，代入直線的解析式，求另一半）

【思路探尋】這道題屬于易錯題，根據(jù)點(diǎn)到x軸的距離=點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值，求得yA=±2，再根據(jù)點(diǎn)A在直線y=2x-1上，可代入yA求得XA.很多學(xué)生因?yàn)闆]有看懂“距離”的含義，沒有分類導(dǎo)致失誤。這道題還可以改編為下面兩道變式題。從而開拓學(xué)生眼界，提升學(xué)生解題能力。

變式1：把“x軸”改為“y軸”呢？變式2：把“x軸”改為“坐標(biāo)軸”呢？通過變式題讓學(xué)生得到充分的思考，能及時鞏固。

【思路探尋】“單線求點(diǎn)法”求點(diǎn)坐標(biāo)的步驟可歸納為：第一步：根據(jù)條件求得點(diǎn)的一半坐標(biāo);第二步：求得點(diǎn)所在直線的解析式;第三步：代一半坐標(biāo)求一半坐標(biāo)。

方法三：雙線求點(diǎn)法

如果所求點(diǎn)為兩條直線的交點(diǎn)，兩直線的解析式已知或能求得，則可以利用直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的解，先解方程組，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)從而求得交點(diǎn)的坐標(biāo)。

例3：如圖，矩形ABOC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，5），D是OB的中點(diǎn)，E是OC上的一點(diǎn)，當(dāng)△ADE的周長最小時，E的坐標(biāo)是（ ）

【思路探尋】（1）確定點(diǎn)的位置：因?yàn)槎c(diǎn)A，D都在動點(diǎn)E運(yùn)動的直線y軸上，所以要作D點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D1，連接AD1，與y軸的交點(diǎn)就是E，此時，AE+DE最小;（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)：因?yàn)辄c(diǎn)E是直線AD1和直線y軸的交點(diǎn)，所以可用雙線法求交點(diǎn)的坐標(biāo)。

【歸納點(diǎn)評】雙線法求點(diǎn)的坐標(biāo)的步驟可歸納為：第一步：確認(rèn)是兩條直線的交點(diǎn);第二步：求得兩條直線的解析式;第三步：解方程組求交點(diǎn)的坐標(biāo)。

方法四：設(shè)點(diǎn)法

當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)所求點(diǎn)用上面的三種方法都無法解決時，可以考慮先設(shè)點(diǎn)的一個坐標(biāo)，然后看點(diǎn)在哪條已知直線上，代入表示出點(diǎn)的另一半坐標(biāo);接著，細(xì)心查找等量關(guān)系，利用代數(shù)方法（列方程）求解。

例4：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知正比例函數(shù)y=34x與一次函數(shù)y=-x+7的圖像交于點(diǎn)A.

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo);

（2）設(shè)x軸上一點(diǎn)P（a，0），過點(diǎn)P作x軸的垂線（垂線位于點(diǎn)A的右側(cè)），分別交y=34x和y=-x+7的圖像于點(diǎn)B、C，連接OC，若BC=75OA求△OBC的面積。

變式：把“垂線位于點(diǎn)A的右側(cè)”這一條件去掉，仍求點(diǎn)P的坐標(biāo)呢？

【解析】本題構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.（1）聯(lián)立兩一次函數(shù)的解析式求出 x、y 的值即可得出 A 點(diǎn)坐標(biāo);過點(diǎn) A 作 x 軸的垂線，垂足為 D，在 Rt△OAD 中根據(jù)勾股定理求出 OA 的長，故可得出 BC 的長， 根據(jù) P（a，0）可用 a表示出 B、C 的坐標(biāo)，由BC=75OA可得出a的值即可得出結(jié)論;變式題加深了難度，垂線可以在交點(diǎn)A的左右兩側(cè)，所以本題可以分類。滲透分類思想、拓展學(xué)生思維的同時可及時鞏固求點(diǎn)的方法。

【歸納】設(shè)點(diǎn)法求點(diǎn)的坐標(biāo)步驟：1設(shè)（設(shè)點(diǎn)的一個坐標(biāo)）;2列（找到等量關(guān)系列方程）;3解（解方程）;4答（答出點(diǎn)的坐標(biāo)）。

總之，求點(diǎn)的坐標(biāo)常用方法有四種：垂線段法;單線求點(diǎn)法;雙線求點(diǎn)法和設(shè)點(diǎn)法。教學(xué)中，綜合考慮上面四種常見求點(diǎn)的方法，再根據(jù)題目的特點(diǎn)，選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń忸}，可以事半功倍。同時，能提升學(xué)生綜合應(yīng)用能力，以及快速反應(yīng)能力、綜合解題能力。學(xué)生通過系統(tǒng)科學(xué)的練習(xí)，提高求點(diǎn)、求線段、求面積的靈活性和技能，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合的思想，提升學(xué)生的邏輯思維能力、空間想象能力和合情推理能力。通過本文的學(xué)習(xí)，學(xué)生在今后的《反比例函數(shù)》，《二次函數(shù)》學(xué)習(xí)中可以類比對比學(xué)習(xí)，利用化歸思想可以使學(xué)習(xí)掌握的更快更好。

（作者單位：江蘇省昆山市第二中學(xué)）