以臆測教學促進學生對分數(shù)意義的理解
——以“分數(shù)作為整數(shù)相除的結(jié)果”教學為例

◇蔡寶桂

一 “作為整數(shù)相除的結(jié)果”的分數(shù)意義

有關(guān)分數(shù)意義的研究，不論中外學者如何區(qū)分建構(gòu)意義的種類，都少不了“商”的意義，即對應于小學數(shù)學教材中分數(shù)意義之分類“作為整數(shù)相除的結(jié)果”。

首先，平均分情境是“總量÷單位數(shù)＝單位量”，如“3 個比薩平均分給4 個人，每人得到個比薩”，從問題記錄而言，除法算式表征為“3÷4=3 4 ”；反之以乘法算式表征則為“（）×4=3”，也就是“平均每個人分得個比薩，4 個人一共可分得3 個比薩”。因此其分數(shù)意義體現(xiàn)在“單位分量”上，對數(shù)概念的認知則發(fā)展為部分－整體關(guān)系，如圖1。

圖1：平均分情境下3÷4 的圖形表征

其次，測量情境即為包含除，也就是“總量÷單位量＝單位數(shù)”，如長7 厘米的緞帶，每4 厘米剪一段，可以剪一段剩下3 厘米，以段為單位這3 厘米又可以稱為段，所以算式可以寫成7÷4=1，意義溝通為7 是4 的1倍，也可以換成假分數(shù)，而理解此學習活動須具備 “分數(shù)倍”的概念，認知發(fā)展涉及“比例思維”，如圖2。

圖2：測量情境下7÷4 的圖形表征

二 學生學習所需具備的知識基礎(chǔ)

因此，四年級學生學習整數(shù)相除的結(jié)果為分數(shù)的意義前，須具備將分物視為“單位分量”的分數(shù)意義，也就是要從原本的“分幾份取幾份”的“部分-整體”的分數(shù)意義，對照整體量“1”這一單位，將每個單位分數(shù)都視為一個獨立可計數(shù)的量，建立單位分量的分數(shù)概念，如圖3。

圖3：從“部分-整體”擴展到“單位分量”

因此，教師教學時建議給定明確的大小單位，如大單位“1 張”、小單位“1 片”，讓學生在對應原有“部分-整體”的圖示表征（如圖4）中，最終發(fā)現(xiàn)小單位擺放的位置并不影響小單位的大小，進而認識到即使脫離1 張，仍然是可被獨立計數(shù)的單位分量。此時，學生對于分數(shù)的認識才由“分幾份取幾份”的描述詞，進展到對計數(shù)單位的認識，也才能以此作為分數(shù)數(shù)詞序列計數(shù)的基礎(chǔ)。

圖4：形成單位分量之“片”于“張”的操作流程圖

三 數(shù)學臆測教學案例摘要

以下分別從林碧珍(2018)的數(shù)學臆測教學模式中所提出的五階段分別進行說明。（“分數(shù)作為兩數(shù)相除的結(jié)果”的內(nèi)容安排在四年級）

（一）造例。

1.造例設(shè)計。

（1）利用學生不等分組的組內(nèi)人數(shù)(b)與限時分割彩紙張數(shù)(a)，達到全班造出多種分母(b)和分子(a)的分數(shù)。

2.造例活動。

為達到上述造例設(shè)計要求，班級學生的座位應以不等組的方式安排，再加上考慮限定時間內(nèi)，讓每組得以操作體驗“一回拿一張，一張分給幾個人”的數(shù)學結(jié)構(gòu)，所以每組須安排小幫手，負責提供彩紙，且同組的每張彩紙顏色都不同。組內(nèi)任務(wù)進行步驟說明如下：（如圖5）

步驟一：小幫手將一張圓形彩紙交給組內(nèi)其中一人。

步驟二：先對折再剪開，并將每小片分給組內(nèi)除小幫手外的每一個人。

步驟三：拿到紙片的同學，需在每小片彩紙上寫出幾分之幾張。

步驟四：一張圓形彩紙平分完后，小幫手再發(fā)一張新的圓形彩紙給組內(nèi)另一個人。

圖5：造例活動座位安排與角色分工示意圖

游戲結(jié)束后，可請學生數(shù)自己分得的彩紙，并讓其他組的學生從分得彩紙的結(jié)果，猜猜看：這組有幾個人在分彩紙？這組剛剛分下去幾張彩紙？作為引發(fā)學生進行后續(xù)一連串深入探究的動機。

3.造例匯總。

（1）請學生用算式記錄每一組分得彩紙的過程與結(jié)果，學生可能以乘法算式表示分得的結(jié)果，除法算式表示分的歷程或摘要記錄，如圖6。

圖6：算式記錄分得彩紙的過程或結(jié)果

（2）討論完每一組的算式記錄是過程還是結(jié)果后，教師再請學生“用一個算式把分彩紙的過程和結(jié)果記錄下來”，將學生對于造例活動的算式表征，推進到以一個除法算式摘要記錄的程度。

（3）由教師匯總?cè)嘣炖诤诎迳?，讓學生依此提出后續(xù)的數(shù)學猜想。

（二）提出猜想。

教師進行個別觀察，并全班匯總后，發(fā)現(xiàn)的數(shù)學想法可分為以下幾類，舉例如下。

1.現(xiàn)象描述。（如圖7）

圖7

2.結(jié)果都是分數(shù)。（如圖8）

圖8

3.算式中的數(shù)字關(guān)系。（如圖9）

圖9

4.被除數(shù)與分子相同。（如圖10）

圖10

5.除數(shù)與分母相同。（如圖11）

圖11

6.被除數(shù)與分子、除數(shù)與分母。（如圖12）

圖12

7.數(shù)字大小的比較。（如圖13）

圖13

8.單位分量描述。（如圖14）

圖14

9.關(guān)系的推論。（如圖15）

圖15

（三）效化猜想。

1.猜想語言描述的精確性。

（1）學生只描述上、下，經(jīng)討論后認為應該用分母和分子的語言來描述才能更精確地表示。（如圖16）

圖16

（2）答案還是“分數(shù)”？

“答案是偶數(shù)”，有違學生在整數(shù)前提下進行奇偶分類。因此，須修正為“答案中的分母都是偶數(shù)”。 （如圖17）

圖17

“答案有兩個數(shù)”，是指有兩個答案？可能是因為答案用分數(shù)表示，所以分數(shù)線上下各有一個數(shù)，所以有“兩個數(shù)”。（如圖18）

圖18

2.修改或刪除錯誤猜想。

（1）“有幾個吐司”應該修正為“有幾個人來分吐司”，才能使猜想由錯誤變正確。（如圖19）

圖19

（2）“除法的余數(shù)加回去”，雖然知道學生想表達的是不寫整數(shù)商和余數(shù)，而是直接寫用分數(shù)商表示，但討論的當下，學生覺得“加回去”這個詞有錯，但又不知如何修正，所以這個猜想就被刪除了。（如圖20）

圖20

3.避免使用否定詞或限制性詞語，如在數(shù)大小比較中有關(guān) “有一些算式的結(jié)果，分母比較大、分子比較小”，雖然可找到分母大于分子的例子，但因為這句話用了“有一些”后，無法因錯誤而被推翻。所以，一開始就要反復提醒學生，這類詞不要出現(xiàn)在猜想中。

4.提出反例從而刪除猜想。

（1）如果討論的時間夠長，可不可能分超過10 張以上？一組人數(shù)多一點，超過10 人以上，如20÷23=就可以推翻類似以下這樣的猜想：數(shù)大小比較的猜想“每個數(shù)都不比10 大”、現(xiàn)象描述的“算式中沒有0”、“答案中的分母都是偶數(shù)”的猜想。

（2）每個“算式都沒有0”是數(shù)字中有無0 之外，還包含0 可否當被除數(shù)或除數(shù)，因此也可以以0÷3 舉反例，但對于學生而言，沒有東西卻要分給人，也是比較難以接受的，雖然它符合數(shù)學定義。

5.匯總猜想：在討論進行猜想的分類、檢驗與效化后，猜想大約被匯總為三大類：其中單位分量描述與關(guān)系的推論仍各為獨立的一類，前面7 項都被歸為一大類，并成為猜想一般化的討論題材。

（四）猜想一般化。

經(jīng)過學生對猜想進行檢驗、支持或應用擴充例子反駁的歷程后，最后提出一般化的猜想：所有整數(shù)除以整數(shù)(不包含0)，當答案用真分數(shù)或假分數(shù)表示時，被除數(shù)會變成分子，除數(shù)會變成分母。

（五）證明猜想一般化。

有關(guān)單位分量與關(guān)系推論的猜想，是學生成功證明此一般化猜想的重要題材，再加上一開始造例活動所提供的操作體驗，學生提出以下論證的觀點來說服他人，這個一般化猜想一定是對的，也提升了對被除數(shù)、除數(shù)和商的分子與分母之間意義的理解。進而發(fā)現(xiàn)，雖然之前認為被除數(shù)和分子、除數(shù)和分母都是相同的數(shù)，但這個一般化猜想中的“變”字，就點出了兩者之間意義的新解。

如被除數(shù)的“分幾張”，到了商的分子卻代表“分得幾個單位分量”，而除數(shù)的“分給幾人”，到了商的分母卻代表“被計數(shù)的單位分量”。（如圖21）

圖21

荷蘭學者斯特瑞夫蘭德(Streefland,1991)認為，極度低估學生學習分數(shù)時的復雜性與機械化取向的分數(shù)教育是分數(shù)教學與學習問題的兩個源頭。杰羅姆·布魯納(Jerome Seymour Bruner,1966)也曾說過：“任何學科均能以某種智慧上真實的形式，有效地教給任何發(fā)展階段中的任何一個兒童。”只要對應學生數(shù)學概念發(fā)展，用對分數(shù)意義的詮釋，加上學習者體驗、表征，進而邁入數(shù)學論證的學習模式，分數(shù)將不再是阻礙孩子數(shù)學學習的夢魘。