淺談求解四階拋物方程的幾種方法

蔣超　周甜　胥康

摘 ? 要：高階拋物型方程問題在工程應(yīng)用和科學(xué)研究中占據(jù)著重要地位。本文主要針對四階拋物型方程混合問題，先后給出了Crank-Nicolson隱式差分格式、Saulyev非對稱差分隱格式和一種三層顯式差分格式。簡要闡述了這三種方法的構(gòu)造過程，并通過給出其穩(wěn)定性和截?cái)嗾`差分析，表明這三種方法在求解四階拋物型方程時(shí)是穩(wěn)定可靠的。

關(guān)鍵詞：四階拋物方程 ?隱式差分格式 ?顯示差分格式

中圖分類號：O175.26 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2019）06（b）-0045-02

1 ?問題背景

在科學(xué)和工程應(yīng)用中，拋物型方程[1-2]占據(jù)著重要地位，構(gòu)造可靠的差分格式求解拋物型方程一直是研究重點(diǎn)。雖然目前針對二階拋物方程的研究頗多，然而對高階拋物問題的研究同樣意義重大。本文針對四階拋物型方程[3-5]，給出并分析了3種可靠的差分格式。

2 ?Crank-Nicolson隱格式求解四階拋物方程

考慮如下的拋物型方程

（1）

先取空間步長，時(shí)間步長為τ，對網(wǎng)格進(jìn)行剖分，網(wǎng)格比。記號是函數(shù)u（x，t）在點(diǎn)處的數(shù)值逼近。邊界條件可處理為：

。用關(guān)于t的向前向后差商和關(guān)于x的二階中心差商近似代替和，得到兩種古典格式：

（2）

（3）

將上述（2）式和（3）式相加得到Crank-Nicolson隱格式：

由文獻(xiàn)可知其具局部截?cái)嗾`差為，且絕對穩(wěn)定。

3 ?Saulyev非對稱差分隱格式求解四階拋物方程

針對問題（1），結(jié)合中值定理可以構(gòu)造出如下的Saulyev非對稱差分隱格式：

（4）

（5）

（6）

（7）

通過Fouier方法可分析（4）、（5）在時(shí)穩(wěn)定，（6）、（7）絕對穩(wěn)定，且局部截?cái)嗾`差均為。

4 ?三層顯式差分格式[5，6]求解四階拋物方程

為了構(gòu)造三層顯式格式，需要添加耗散項(xiàng)得到方程。

其中為待定參數(shù)。類似于Crank-Nicolson隱格式的構(gòu)造過程，用關(guān)于t的向前向后差商及二階中心差商近似代替和，關(guān)于x的二階中心差商近似代替，得到如下格式：。

式中α為權(quán)數(shù)，和為中心差商。文獻(xiàn)證明了其是無條件穩(wěn)定的，且當(dāng)時(shí)，局部截?cái)嗾`差均為，當(dāng)α=1/2時(shí)，局部截?cái)嗾`差均為。

5 ?結(jié)語

四階拋物型方程問題在工程應(yīng)用和科學(xué)研究中占據(jù)著重要地位，本文針對四階混合問題，先后給出了Crank-Nicolson隱式差分格式、Saulyev非對稱差分隱格式和三層顯式差分格式。根據(jù)其構(gòu)造過程，及穩(wěn)定性與局部截?cái)嗾`差分析，可見這三種方法在求解四階拋物方程時(shí)是可靠的。

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