奇數(shù)階帶分布時(shí)滯微分方程最終正解的存在性

趙環(huán)環(huán),劉有軍

(山西大同大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 山西 大同 037009)

近年來,高階中立型微分方程與其所對應(yīng)的不等式最終有界正解的存在性受到了許多學(xué)者的關(guān)注,得到了一些較好的研究成果。2004年,歐陽自根等[1]研究了奇數(shù)階中立性微分方程

和相對應(yīng)的不等式

得到了它們存在最終正解的充要條件。

2013年,劉有軍等[2]研究了偶數(shù)階帶分布時(shí)滯微分方程

和相對應(yīng)的不等式

得到了它們存在最終正解的充要條件(這里n為偶數(shù))。

從上述方程的不斷發(fā)展過程和其證明過程可以看出,學(xué)者們對這類方程討論時(shí),將方程的階數(shù)分奇偶來分別討論,并且在證明過程中所用的方法差異很大,本文通過對文獻(xiàn)[1-2]認(rèn)真研讀和詳細(xì)分析后,將方程的階數(shù)由偶數(shù)改為奇數(shù),利用新的引理,克服了在算子構(gòu)造上的困難,同樣得到了它們最終正解存在的充要條件。為了相關(guān)工作,還認(rèn)真查閱了關(guān)于非振動(dòng)解存在性的著作和論文，如文獻(xiàn)[3-8]。

本文考慮奇數(shù)階帶分布時(shí)滯微分方程

(1)

和相對應(yīng)的不等式

(2)

(1)這里n=2k+1,k≥1是一個(gè)正整數(shù), 0

(2)r∈C([t0,),R+),r(t)>0,p∈C([t0,)×[a,b],R+),q∈C([t0,)×[c,d],R+);

(3)f(u)是關(guān)于u的單調(diào)不減的實(shí)函數(shù), 且有uf(u)>0。

定義1若方程(1)的一個(gè)解有任意大的零點(diǎn),則稱其為方程(1)的振動(dòng)解；否則,稱之為非振動(dòng)解。

定義2 若x(t)是方程(1)的解, 且存在充分大的T>t0,當(dāng)t≥T時(shí),x(t)≥0,則x(t)為方程(1)的一個(gè)最終正解。

(3)

證明本引理的證明過程和文獻(xiàn)[2]中引理1的證明十分相似,在這里不再贅述。證畢。

定理1設(shè)引理1的所有條件都成立, 且滿足條件(H)p(t,r)+q(t,σ)>0, 對充分大的t, 則方程(1)存在最終有界正解的充要條件是不等式(2)存在最終有界正解。

對(2)式從t到積分, 得y(n-1)()用(3)式, 有重復(fù)以上步驟n-1次, 再用到(3)式, 可得

用Toneelli's定理,交換積分次序, 得

即

(4)

選取T≥0, 使得(3)式成立, 且x(t-u)>0,t≥T。下面考慮函數(shù)集

Ω={z∈C([T-μ,),R+):0≤z(t)≤1,t≥T-μ}

且定義Ω上的算子S如下:

易知S是連續(xù)的。 由(4)式容易看出S是從Ω到Ω的一個(gè)映射, 對于任意的z∈Ω,都有(Sz)(t)>0,T-μ≤t

所以ω(t)≥0,t≥T是(1)式的一個(gè)非負(fù)解。

下面證明ω(t)>0,t≥T-μ, 否則設(shè)存在t*≥T, 使得ω(t)>0,T-μ≤t≤t*, 且ω(t*)=0。則

這暗含著p(t*,r)≡0,q(s,σ)f(ω(s-σ))≡0,這與(H)矛盾。 因此ω(t)是方程(1)的一個(gè)最終有界正解, 證畢。