初中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的思想方法探析

王林忠

數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，而數(shù)學(xué)方法是以數(shù)學(xué)為工具進(jìn)行科學(xué)研究的方法。數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的有機(jī)組成部分，是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，是把知識(shí)型轉(zhuǎn)化為能力數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，是實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育的的重要組成部分。初中數(shù)學(xué)教學(xué)，一方面是傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生掌握必備數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí);另一方面要更通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)這個(gè)載體，挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，更好地理解數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)，形成正確的數(shù)學(xué)觀念和一定的數(shù)學(xué)意識(shí)。初中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法很多，最基本最主要的有：數(shù)形結(jié)合的思想方法，分類討論的思想方法，對(duì)應(yīng)的思想和方法，整體的思想和方法，類比聯(lián)想的思想方法，化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，逆向思維的思想方法等。

一、數(shù)形結(jié)合的思想和方法

數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)（量）與（圖）形結(jié)合起來(lái)進(jìn)行分析、研究、解決問(wèn)題的一種思維策略。著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說(shuō)：“數(shù)與形本是相倚依，怎能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！边@充分說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要性?！皵?shù)形結(jié)合”的方法就是把數(shù)學(xué)問(wèn)題中的運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系等與幾何圖形與圖象結(jié)合起來(lái)進(jìn)行思考，從而使“數(shù)”與“形”各展其長(zhǎng)，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，相輔相成，使邏輯思維與形象思維完美的統(tǒng)一起來(lái)。

（一）由形思數(shù)，數(shù)形結(jié)合，用形解決數(shù)的問(wèn)題。

例如在有理數(shù)及其運(yùn)算數(shù)學(xué)中利用“數(shù)軸”這一圖形鞏固“具有相反意義的量”的概念，了解相反數(shù)、絕對(duì)值的概念，掌握有理數(shù)大小的道理，理解有理數(shù)加法、乘法的意義，掌握運(yùn)算法則等。實(shí)際上，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，也只有通過(guò)數(shù)形結(jié)合，才能較好地完成本章的學(xué)習(xí)任務(wù)。

（二）有數(shù)思形，形數(shù)結(jié)合，用數(shù)解決形的問(wèn)題。

例如應(yīng)用函數(shù)的圖像來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)。例如平面圖形及其位置關(guān)系中，用數(shù)量表示線段的長(zhǎng)度，用數(shù)量表示角的度數(shù)，利用數(shù)量的比較來(lái)進(jìn)行線段的比較、角的比較等。理解抽象的數(shù)、數(shù)量關(guān)系與函數(shù)關(guān)系式不能脫離直觀的圖形與圖象，同時(shí)對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)與理解也不能離開(kāi)從數(shù)量上刻畫(huà)圖形的大小、形狀。

二、分類的思想和方法

分類討論思想所謂分類討論是指對(duì)于復(fù)雜的對(duì)象，為了研究的需要。根據(jù)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異性，將對(duì)象區(qū)分為不同種類，通過(guò)研究各類對(duì)象的性質(zhì)，從而認(rèn)識(shí)整體的性質(zhì)的思想方式。分類思想在初中數(shù)學(xué)中有大量運(yùn)用，從初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的組織與展開(kāi)到數(shù)學(xué)概念的界定與劃分再到數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析與解決都大量運(yùn)用著分類思想。在教學(xué)中要使學(xué)生掌握分類的要點(diǎn)的方法：分類是按一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行的，分類的標(biāo)準(zhǔn)不同，分類的結(jié)果也不同;要注意分類的結(jié)果既無(wú)遺漏，也不能交叉重復(fù);分類要逐級(jí)逐次地進(jìn)行，不能越級(jí)化分，如不能把實(shí)數(shù)分為整數(shù)、分?jǐn)?shù)和無(wú)理數(shù)。要使各類總和等于討論的全集;分域的逐級(jí)性，有的問(wèn)題分類后還可以在每類中繼續(xù)分類。

三、對(duì)應(yīng)的思想和方法

在解決實(shí)際問(wèn)題中，幾乎每個(gè)問(wèn)題都要用到“對(duì)應(yīng)”的思想方法。如每個(gè)問(wèn)題與已知條件的對(duì)應(yīng)，數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)變化等等。因此，讓學(xué)生掌握對(duì)應(yīng)的思想方法去分析問(wèn)題，是提高學(xué)生解決問(wèn)題能力的重要策略。

四、整體的思想和方法

整體思想就是考慮數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不是著眼于它的局部特征，而是把注意和和著眼點(diǎn)放在問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)上，通過(guò)對(duì)其全面深刻的觀察，從宏觀整體上認(rèn)識(shí)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，把一些彼此獨(dú)立但實(shí)質(zhì)上又相互緊密聯(lián)系著的量作為整體來(lái)處理的思想方法。簡(jiǎn)單地說(shuō)就是從整體去觀察、認(rèn)識(shí)問(wèn)題、從而解決問(wèn)題的思想。在數(shù)學(xué)思想中整體思想是最基本、最常用的數(shù)學(xué)思想。運(yùn)用整體思想，可以理清數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維障礙，可以使繁難的問(wèn)題得到巧妙的解決。它是數(shù)學(xué)解題中一個(gè)極其重要而有效的策略，是提高解題速度的有效途徑。整體思想在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有廣泛的應(yīng)用。

五、類比聯(lián)想的思想和方法

在數(shù)學(xué)中，類比是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定理和公式的重要手段，也是開(kāi)拓新領(lǐng)域和創(chuàng)造數(shù)學(xué)新分支的重要途徑。類比的特征是兩個(gè)對(duì)象的某些屬性是相同的，或者表面上毫無(wú)共同之處，只是在某種觀點(diǎn)上或某一抽象層次上是相似的，它的結(jié)論不是簡(jiǎn)單的模仿、復(fù)制，而是創(chuàng)造性設(shè)想。數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)在考慮某些問(wèn)題時(shí)常根據(jù)事物間的相似點(diǎn)提出假設(shè)和猜想，從而把已知事物的屬性類比推廣到類似的新事物中去，促進(jìn)發(fā)現(xiàn)新結(jié)論。

六、化歸與轉(zhuǎn)化的思想和方法

化歸意識(shí)是指在解決問(wèn)題的過(guò)程中，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之成為簡(jiǎn)單、熟知問(wèn)題的基本解題模式，它是使一種數(shù)學(xué)對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學(xué)對(duì)象的思想和方法。如有理數(shù)的減法運(yùn)算是利用了相反數(shù)的概念轉(zhuǎn)化為加法;學(xué)習(xí)方程和方程組時(shí)，通過(guò)逐步“消元”或“降次”的方法使“多元”轉(zhuǎn)化為“一元”“、高次”轉(zhuǎn)化為“低次”方程進(jìn)行求解;將多邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和進(jìn)行研究等問(wèn)題都是化歸思想的運(yùn)用，他們均采用將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”、將“陌生”轉(zhuǎn)化為“熟知”、將“復(fù)雜”轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單”的解題方法，其核心就是將有等解決問(wèn)題的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已有明確解決程序的問(wèn)題，以便利用已有的理論、技術(shù)來(lái)加以處理，從而培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系的、發(fā)展的、運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)觀察事物、認(rèn)識(shí)問(wèn)題。運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想解題方法大體上有以下途徑：一是直接轉(zhuǎn)化法，二是構(gòu)造法。

七、逆向思維的方法

所謂逆向思維就是把問(wèn)題倒過(guò)來(lái)或從問(wèn)題的方面思考或逆用某些數(shù)學(xué)公式、法則解決問(wèn)題。如絕對(duì)值等于2的數(shù)有幾個(gè)，平方得4的數(shù)是什么，是學(xué)習(xí)的絕對(duì)值、有理數(shù)的乘方后的逆運(yùn)用，還有分配律的逆用等。教學(xué)中要提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，克服單向思維定勢(shì)導(dǎo)致解題方法的刻板。

數(shù)學(xué)思想和方法不僅是上述幾種，這里不可能全面闡述。數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的有機(jī)組成部分，是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。因此在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和能力結(jié)構(gòu)，充分利用教材內(nèi)容對(duì)數(shù)學(xué)思想和方法反復(fù)滲透。