從一道高考題所想到的

洪伍周

首先，讓我們共同思考一道廣東新課標(biāo)數(shù)學(xué)高考試卷的壓軸題.

21.（理科）設(shè)為實(shí)數(shù)，是方程的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列滿(mǎn)足，，（…）.

（1）證明：，;? （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

（3）若，，求的前項(xiàng)和.

（文科）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，，（…）.數(shù)列滿(mǎn)足…）是非零整數(shù)，且對(duì)任意的正整數(shù)和自然數(shù)，都有…。

（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;

（2）記…），求數(shù)列的前項(xiàng)和

這兩道題的關(guān)鍵是求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，要使學(xué)生能夠快速準(zhǔn)確地求解這類(lèi)題型，筆者認(rèn)為在平時(shí)課堂教學(xué)中應(yīng)對(duì)<<如何求解數(shù)列的通項(xiàng)公式>>這個(gè)專(zhuān)題進(jìn)行深入探索與研究。下面是筆者對(duì)求解數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法的點(diǎn)滴體會(huì)以期能拋磚引玉。

一、公式法

1、形如（ b為常數(shù)）型的問(wèn)題，解題時(shí)可用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解。此類(lèi)問(wèn)題解答較容易，略舉說(shuō)明。

2、形如型的問(wèn)題，可利 用（通過(guò)驗(yàn)證，若符合，則合并寫(xiě)）求解。

例題：? 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求.

解析：當(dāng)時(shí)，

時(shí) ，.

又時(shí)，;

。

二、觀察歸納法

例題：? ①、數(shù)列1，3，6，…，10，15，…，的一個(gè)通項(xiàng)公式.

②、1，1，2，2，3，3，…，的一個(gè)通項(xiàng)公式.

解析：① 通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：…，因而.

② 通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：n為奇數(shù)時(shí)，;n為偶數(shù)時(shí)，。

因而

.

三、迭加法

形如的問(wèn)題可使用迭加法消去中間項(xiàng)，求出。

例題：已知數(shù)列滿(mǎn)足，求出。

解析： 由

…

…

…

? 又，? 。

四、累積法

形如的問(wèn)題可使用累積法消去中間項(xiàng)，求出。

例題：已知數(shù)列滿(mǎn)足，求出。

解析：由，

….…

即…。

五、迭代法

形如的問(wèn)題，可使用迭代法（或構(gòu)造新數(shù)列法）求出。

例題：已知數(shù)列滿(mǎn)足求出。

解析：

， …… ，

…

。

六、數(shù)學(xué)歸納法：首先由已知遞推關(guān)系計(jì)算得出前幾項(xiàng)，據(jù)此猜想的表達(dá)式，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。

例題：已知數(shù)列滿(mǎn)足，求。

解析：由;

由此可猜想：。

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①? 當(dāng)時(shí) ，顯然成立.

②假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，? 即.

當(dāng)時(shí)，.

即當(dāng)時(shí)， 等式也成立.

由①②可知：本題猜想結(jié)論對(duì)于一切自然數(shù)都成立， 所以.

七、構(gòu)造新數(shù)列法

1、形如：的問(wèn)題，除了迭代法，還可用構(gòu)造新數(shù)列法求解。

例題：已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，求。

法一： 由

， 即。

為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列。

又

即。

法二：由，即。

數(shù)列{}是首項(xiàng)為，2為公比的等比數(shù)列。

即。

2.形如：（A，B不為0）且的問(wèn)題，可用構(gòu)造新數(shù)列的方法求解（將代入遞推式得，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列）。

例題：已知數(shù)列，其中，且當(dāng)時(shí)，。求。

解析：由。

數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列。

。

……

即。

。

3、形如：，型的問(wèn)題，可使用構(gòu)造新數(shù)列的方法求解。

例題：已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，求。

解析： 由，

.

數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列。

，? 即.

4. 形如：（p，q為常數(shù)）型的問(wèn)題，解題時(shí)可運(yùn)用構(gòu)造新數(shù)列的方法求解通項(xiàng)公式，主要的處理策略是兩邊除以.

當(dāng)然，除了以上列舉的四種題型外，還有一些問(wèn)題也是只要將題設(shè)進(jìn)行適當(dāng)?shù)葍r(jià)變形后，就能使用構(gòu)造新數(shù)列法求通項(xiàng)公式，這里就不一一枚舉.通過(guò)以上知識(shí)的講解后，學(xué)生對(duì)求解數(shù)列的通項(xiàng)公式的題目可能就得心應(yīng)手了.以下筆者利用上述方法來(lái)妙解本文開(kāi)頭引入的廣東數(shù)學(xué)高考試卷的壓軸題。

（文科）? 解析：（1）（其中1，屬于構(gòu)造新數(shù)列方法的第2種題型）.

（n≥3）?? 又a₂-a₁=1≠0，

是首項(xiàng)為1公比為的等比數(shù)列，

.（再使用迭加法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式）…

…

即.

由得，由得，...

同理可得當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，;

因此.????? （2）略解.

（理科） （1）略解.

（2） 由（1）可知

由

數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.

① ，②

當(dāng)時(shí)， ①-② 可得即

.

當(dāng)時(shí)，即.

數(shù)列是首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列.

， 即.

綜上：.

（3） 略解 .

筆者認(rèn)為：為了使學(xué)生能夠在新課標(biāo)區(qū)的高考中取得優(yōu)異的數(shù)學(xué)成績(jī)，做到以下兩點(diǎn)尤為重要.第一，強(qiáng)調(diào)學(xué)生務(wù)必熟悉教材知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系;第二，師生共同學(xué)習(xí)研究<<普通高中新課程教學(xué)要求>>，熟悉<<普通高中新課程教學(xué)要求>>對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的考試要求程度;然后再對(duì)必須延伸與拓展的知識(shí)點(diǎn)設(shè)置專(zhuān)題研究，師生共同探索，從而一旦考試中出現(xiàn)該知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用時(shí)，學(xué)生方能運(yùn)籌帷幄，不致于手忙腳亂，束手無(wú)策。